1S - Exercices révisions

Exercice 1

Déterminer, dans chacun des cas, l’ensemble de définition de la fonction:

$x \mapsto \dfrac{2x + 3(x^2 – 1)}{3}$
$\quad$
$x \mapsto \dfrac{2x+1}{3(x^2 – 1)}$
$\quad$
$x \mapsto x + \sqrt{2x -3}$
$\quad$
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
$\quad$
$x \mapsto \dfrac{x(x+5)}{x^2+x}$
$\quad$
$x \mapsto \dfrac{4x}{\sqrt{x – 5}}$
$\quad$
$x \mapsto \dfrac{\sqrt{3x+2}}{\sqrt{2-x}}$
$\quad$

Correction Exercice 1

Cette fonction est définie sur $\R$.
$\quad$
Il ne faut pas que $x^2-1 = 0$ c’est-à-dire $x$ doit être différent de $-1$ et $1$.
L’ensemble de définition est donc $\R\setminus \lbrace -1;1\rbrace$.
$\quad$
Il faut que $2x-3\pg 0$ soit $ x\pg \dfrac{3}{2}$.
L’ensemble de définition est donc $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
$\quad$
Il faut que $x>0$.
L’ensemble de définition est donc $]0;+\infty[$.
$\quad$
Il ne faut pas que $x^2+x = 0$. Or $x^2+x = x(x+1)$.
Donc l’ensemble de définition est $\R\setminus\lbrace -1;0 \rbrace$.
$\quad$
Il faut que $x – 5 > 0$ soit $x > 5$.
L’ensemble de définition est donc $]5;+\infty[$.
$\quad$
Il faut que $3x+2 \pg 0$ et $2-x>0$.
$3x + 2\pg 0 \Leftrightarrow x \pg -\dfrac{2}{3}$
$2-x>0 \Leftrightarrow x <2$.
L’ensemble définition est donc $\left[-\dfrac{2}{3};2\right[$.

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, calculer $f'(x)$ en précisant l’ensemble de définition de $f$ et son ensemble de dérivabilité.

$f(x) = 4x^3 – 5x^2 + x – 1$
$\quad$
$f(x) = 5x^3 – \dfrac{1}{x} + 3\sqrt{x}$
$\quad$
$f(x) = (x^2 + 1)(x^3 – 2x)$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{2x^2-3}{x^2 + 7}$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{2x – 1}{x + 1}$
$\quad$
$f(x) = -x + 2 + \dfrac{2}{3x}$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{1}{x + x^2}$
$\quad$
$f(x) = (2x + 1)^2$
$\quad$
$f(x) = \sqrt{x}(5x – 3)$
$\quad$

Correction Exercice 2

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
$$\begin{align*}
f'(x) & = 4 \times 3x^2 -5 \times 2x + 1 \\
& = 12x^2 – 10x + 1
\end{align*}$$
$\quad$
Pour que $f$ soit définie, il faut que $x \neq 0$ et $x \pg 0$. Donc $\mathscr{D}_f = ]0;+\infty[$.
La fonction inverse est dérivable sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$. De plus la fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Donc $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
$$\begin{align*}
f'(x) &= 15x^2 – \dfrac{-1}{x^2} + 3 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
&= 15x^2 + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x}}
\end{align*}$$
$\quad$
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
$$\begin{align*}
f'(x) &= 2x\left(x^3 – 2x\right) + \left(x^2+1\right)\left(3x^2-2\right) \\
&= 2x^4-4x^2 + 3^x4-2x^2+3x^2-2 \\
& = 5x^4-3x^2 – 2
\end{align*}$$
$\quad$
$f$ est définie et dérivable sur $\R$ car $x^2+7 > 0$ pour tout réel $x$.
$$\begin{align*}
f'(x) &= \dfrac{4x\left(x^2+7\right) – 2x\left(2x^2-3\right)}{\left(x^2+7\right)^2} \\
&=\dfrac{4x^3 + 28x -4x^3 + 6x}{\left(x^2+7\right)^2} \\
&= \dfrac{34x}{\left(x^2+7\right)^2}
\end{align*}$$
$\quad$
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.
$$\begin{align*}
f'(x) &=\dfrac{2(x+1) – (2x – 1)}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{2x + 2 – 2x + 1}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{3}{(x+1)^2}
\end{align*}$$
$\quad$
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
$$\begin{align*}
f'(x) &= – 1 + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{-1}{x^2} \\
&= -1 – \dfrac{2}{3x^2}
\end{align*}$$
$\quad$
Pour que $f$ soit définie et dérivable il faut que $x+x^2 \neq 0$. Or $x+x^2 = x(x+1)$.
Donc $f$ est définie et dérivable sur $\R\setminus\lbrace -1;0\rbrace$.
$$f'(x) = -\dfrac{1 + 2x}{\left(x+x^2\right)^2}$$
$\quad$
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
$f(x)=(2x+1)(2x+1)$
$$\begin{align*}
f'(x) &= 2(2x+1) + (2x+1)\times 2 \\
& = 4(2x+1) \\
&= 8x + 4
\end{align*}$$
$\quad$
La fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$.
$$\begin{align*}
f'(x)&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(5x-3) + 5\sqrt{x} \\
&= \dfrac{5x-3 + 10x}{2\sqrt{x}} \\
& = \dfrac{15x-3}{2\sqrt{x}}
\end{align*}$$

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$\quad$

Exercice 3

Déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-x^2-x$.

$\quad$

Correction Exercice 3

La fonction $f$ est une fonction polynomiale définie sur $\R$; elle est donc également dérivable sur $\R$.

$f'(x) = 3x^2 – 2x – 1$.

$\Delta= 16$. Les racines sont $-\dfrac{1}{3}$ et $1$.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 – 3x + 1$.

1. Préciser le domaine de définition de $f$.
  $\quad$
2. Calculer $f'(x)$ puis étudier son signe suivant les valeurs de $x$.
  $\quad$
3. En déduire les variations de $f$.
  $\quad$
4. Quels sont les points de la courbe $\mathscr{C}$, représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé, pour lesquels le coefficient directeur de la tangente est égal à $9$.
  $\quad$

Correction Exercice 4

$f$ est une fonction polynomiale. Elle est donc définie et dérivable sur $\R$.
$\quad$
$f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x – 1)(x+1)$
$\quad$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$
On cherche donc les valeurs de $x$ telles que :
$$\begin{align*}
f'(x) = 9 &\ssi 3x^2-3 = 9 \\
& \ssi 3x^2 – 12 = 0 \\
& \ssi 3(x^2 – 4)= 0 \\
& \ssi 3(x-2)(x+2) = 0
\end{align*}$$
Ainsi le coefficient directeur des tangentes à la courbe $\mathscr{C}$ aux points d’abscisse $-2$ et $2$ est égal à $9$.

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$\quad$

Exercice 5

Voici la représentation graphique d’une fonction $f$. Les tangentes en $A(1;1)$ et $B(0;1)$ ont également été représentées.

Déterminer graphiquement $f'(0)$ et $f'(1)$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en $B$. Donc $f'(0) = -1$.

$f'(1)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en $A$. Donc $f'(1) = 2$.

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$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ au point $x_0$.

$f(x) = x^3$ $\qquad$ $x_0 = 1$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ $\qquad$ $x_0 = -2$
$\quad$
$f(x) = \sqrt{x} + x^2$ $\qquad$ $x_0 = 3$
$\quad$
$f(x) = \dfrac{x – 1}{-2x + 3}$ $\qquad$ $x_0 = -1$
$\quad$

Correction Exercice 6

On utilise la formule suivante $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ pour déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $a$.

$f'(x)=3x^2$ donc $f'(1) = 3$ et $f(1) = 1$.
$\quad$
Ainsi une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ est $y= 3(x-1)+1$ soit $y= 3x-2$.
$\quad$
$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(-2) = -\dfrac{1}{4}$ et $f(-2) = -\dfrac{1}{2}$.
Ainsi une équation de la tangente au point d’abscisse $-2$ est $y= -\dfrac{1}{4}(x+2) – \dfrac{1}{2}$ soit $y=-\dfrac{1}{4}x – 1 $
$\quad$
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 2x$ donc $f'(3) = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} + 6 = \dfrac{\sqrt{3}}{6} + 6$ et $f(3) = \sqrt{3} + 9$.
Ainsi une équation de la tangente au point d’abscisse $3$ est $y= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}+6\right)(x-3) + \sqrt{3} + 9$ soit $y= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}+6\right)x + \dfrac{\sqrt{3}}{2} – 9$
$\quad$
$f'(x) = \dfrac{(-2x+3) -(x-1) \times (-2)}{(-2x+3)^2} = \dfrac{1}{(-2x+3)^2}$ donc $f'(-1) = \dfrac{1}{25}$ et $f(-1) = -\dfrac{2}{5}$.
Ainsi une équation de la tangente au point d’abscisse $-1$ est $y=\dfrac{1}{25}(x+1) – \dfrac{2}{5}$ soit $y= \dfrac{1}{25}x – \dfrac{9}{25}$.

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$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{-x^2 + 2x -1}{x}$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\Oij$.

Déterminer les réels $a,b$ et $c$ tels que $f(x) = ax+b+\dfrac{c}{x}$.
$\quad$
Déterminer l’expression algébrique de la dérivée $f’$ de $f$.
$\quad$
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
$\quad$
Déterminer les abscisses des points de $\mathscr{C}$ où la tangente :
a. est horizontale
$\quad$
b. admet un coefficient directeur égal à $3$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $-2$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $\mathscr{C}$ avec les axes du repère.
$\quad$

Correction Exercice 7

$ax+b+\dfrac{c}{x} = \dfrac{ax^2+bx+c}{x}$.
On veut que $\dfrac{ax^2+bx+c}{x} = \dfrac{-x^2+2x-1}{x}$ donc $\begin{cases} a= -1 \\b=2 \\c=-1 \end{cases}$.
Donc $f(x)= -x + 2 + \dfrac{-1}{x}$
$\quad$
$f$ dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle et dont le dénominateur ne s’annule pas.
$f'(x) = -1 + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{-x^2 + 1}{x^2} = \dfrac{(1-x)(1+x)}{x^2}$
$\quad$
Le signe de la dérivée ne dépend que de celui de son numérateur.
a. Les points de $\mathscr{C}$ pour lesquels la tangente est horizontale sont ceux d’abscisse $-1$ et $1$.
$\quad$
b. On cherche donc les valeurs de $x$ pour lesquels :
$$\begin{align*}
f'(x) = 3 &\ssi -1 + \dfrac{1}{x^2} = 3 \\
& \ssi \dfrac{1}{x^2} = 4 \\
& \ssi x^2 = \dfrac{1}{4} \\
& \ssi x= -\dfrac{1}{2} \text{~ou~} x= \dfrac{1}{2}
\end{align*}$$
Les points de $\mathscr{C}$ pour lesquels le coefficient directeur de la tangente vaut $3$ sont ceux d’abscisse $-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
Une équation de la tangente à la courbe est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
$f'(-2) = -\dfrac{3}{4}$ et $f(-2) = \dfrac{9}{2}$
Ainsi une équation de la tangente au point d’abscisse $-2$ est $-\dfrac{3}{4}(x+2) + \dfrac{9}{2}$ soit $y= -\dfrac{3}{4}x+3$
$\quad$
La fonction $f$ n’étant pas définie en $0$, la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des ordonnées n’ont pas de point d’intersection.
Pour trouver les abscisses des points de d’intersection de $\mathscr{C}$ avec l’axe des abscisses, on doit résoudre l’équation $f(x)=0$ soit $-x^2+2x-1=0$.
Or $-x^2+2x-1 = -(x-1)^2$.
Le point d’intersection de $\mathscr{C}$ avec l’axe des abscisses est donc le point de coordonnées $(1;0)$.
$\quad$
Remarque : On pouvait directement avoir cette information avec le tableau de variations.

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$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2x^2 + ax + b}{x^2 + 6x + 9}$ où $a$ et $b$ sont des réels donnés.

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer $a$ et $b$ pour que la représentation graphique de $f$ passe par $A\left(2;\dfrac{6}{5}\right)$ et admette en ce point une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
$\quad$
On suppose que $a=4$ et $b=14$.
a. Étudier les variations de $f$ et construire la représentation graphique de $f$.
$\quad$
b. En utilisant le graphique, déterminer suivant les valeurs de $m$, le nombre de solutions de l’équation $x^2(2 – m) + 2x(2 – 3m)+14 – 9m = 0$.
$\quad$

Correction Exercice 8

$x^2+6x+9 = (x+3)^2$.
Donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;-3[\cup]-3;+\infty[$.
$\quad$
On veut que $f(2) = \dfrac{6}{5}$ et que $f'(2) = 0$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f$ entant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
$$\begin{align*}
f'(x) &= \dfrac{(4x+a)\left(x^2+6x+9\right) – (2x + 6)\left(2x^2+ax+b\right)}{\left(x^2+6x+9\right)^2} \\
&= \dfrac{4x^3+24x^2+36x+ax^2+6ax+9a – \left(4x^3+2ax^2+2bx+12x^2+6ax+6b\right)}{\left(x^2+6x+9\right)^2} \\
&= \dfrac{(12-a)x^2 + (36 – 2b)x + 9a – 6b}{\left(x^2+6x+9\right)^2}
\end{align*}$$
Ainsi $f(2) = \dfrac{8 + 2a + b}{25}$. Or on veut que $f(2) = \dfrac{6}{5}$
Cela signifie donc que $\dfrac{8 + 2a + b}{25} = \dfrac{6}{5} \ssi 2a +b = 22$
On a également $f'(2) = \dfrac{(12-a) \times 4 + (36 – 2b) \times 2 + 9a – 6b}{25^2}$ or $f'(2) = 0$.
Cela signifie donc que $(12-a) \times 4 + (36 – 2b) \times 2 + 9a – 6b = 0 $ soit $5a-10b=-120$
On résout donc le système $\begin{cases} 2a + b = 22 \\5a – 10b = -120 \end{cases}$. On obtient ainsi $\begin{cases} a=4 \\b=14 \end{cases}$.
Donc $f(x) = \dfrac{2x^2+4x+14}{x^2+6x+9}$ et $f'(x) = \dfrac{8\left(x^2+x-6\right)}{\left(x^2+6x+9\right)^2}$.
$\quad$
a. Le signe de la dérivée ne dépend que de celui de son numérateur.
$\Delta = 25$ et les racines de $x^2+x-6$ sont $2$ et $-3$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
b. On cherche à résoudre pour un réel $m$ donné l’équation :
$$\begin{align*}
f(x) = m &\ssi \dfrac{2x^2+4x+14}{x^2+6x+9} = m \\\\
& \ssi \dfrac{2x^2+4x+14}{x^2+6x+9} – m = 0 \\\\
& \ssi \dfrac{2x^2+4x+14}{x^2+6x+9} – \dfrac{mx^2+6mx+9m}{x^2+6x+9} = 0 \\\\
& \ssi \dfrac{(2-m)x^2+(4-6m)x + 14-9m}{x^2+6x+9} = 0\\\\
& \ssi (2-m)x^2 + 2(2-3m)x+14-9m = 0 \text{~et~} x \in \mathscr{D}_f
\end{align*}$$
Graphiquement, on recherche donc le nombre de points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec la droite d’équation $y=m$ en fonction de $m$.
$\quad$
Si $m< \dfrac{6}{5}$ alors il n’y a pas de point d’intersection et donc pas de solution à l’équation.
$\quad$
Si $m=\dfrac{6}{5}$ il y un point d’intersection et donc une solution à l’équation.
$\quad$
Si $\dfrac{6}{5} < m < 2$ il y a deux point d’intersection et donc deux solutions à l’équation.
$\quad$
Si $m=2$ il y a un point d’intersection et donc une solution à l’équation.
$\quad$
Si $m>2$ il y a deux point d’intersection et donc deux points d’intersection.

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$\quad$

Exercice 9

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 3}$.

Étudier les variations de $f$.
$\quad$
Tracer sa courbe représentative dans un repère.
$\quad$
Montrer que la fonction $f$ admet un minimum sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et un maximum sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$

Correction Exercice 9

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
$$\begin{align*}
f'(x) &= \dfrac{x^2+3 – x \times 2x}{\left(x^2+3\right)^2} \\\\
&=\dfrac{3-x^2}{\left(x^2+3\right)^2}
\end{align*}$$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui du numérateur.
Or $3-x^2 = 0 \ssi x \in \lbrace -\sqrt{3};\sqrt{3}\rbrace$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivants :
$\quad$
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$est décroissante sur $\left]-\infty;-\sqrt{3}\right]$ et croissante sur $\left[\sqrt{3};0\right]$. Elle admet donc un minimum en $-\sqrt{3}$.
La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\sqrt{3}\right]$ et décroissante sur $\left[\sqrt{3};+\infty\right[$. Elle admet donc un maximum en $\sqrt{3}$.

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$\quad$

Exercice 10

Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -15x^4 + 80x^3 + 150x^2 – 3511$ admet un maximum.

$\quad$

Correction Exercice 10

$f$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.

$f'(x) = -60x^3 + 240x^2 + 300x = 60x\left(-x^2+4x+5\right)$.

Cherchons les racines de $-x^2+4x+5$.

$\Delta = 36$, les racines sont $-1$ et $5$.

On peut donc construire le tableau de variations suivant :

La fonction $f$ admet donc un maximum en $5$ qui vaut $864$.

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$\quad$

Exercice 11

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

Démontrer que, pour tout $x$ strictement positif, on a $\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \pg 2$.

Correction Exercice 11

Étudions les variations de la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-2$.

La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivable sur cet intervalle.

$$\begin{align*}
g'(x) &= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} – \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \\\\
&= \dfrac{x-1}{2x\sqrt{x}}
\end{align*}$$

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

Par conséquent $g(x) \pg 0$ et donc $f(x) \pg 2$.

Remarque : On pouvait également simplement étudier les variations de $f$.

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$\quad$

Exercice 12

Écrire un algorithme, qui permet de calculer les coefficients de la fonction dérivée d’une fonction polynomiale $f$ de degré $n$ et des coefficients de $f$.

Pour faciliter la saisie des coefficients de $f$, on pourra utiliser un tableau $C$ de taille $n$ (les éléments sont numérotés de $0$ à $n-1$ en général).

Exemple : si $f(x) = 3x^2 – 4x + 1$. On fournit à l’algorithme $n=2$ et les coefficients $C[0] = 1$, $C[1] = -4$ et $C[2] = 3$.

$\quad$

Correction Exercice 12

Variables :
$\quad$ $n$ est un entier naturel
$\quad$ $C$ est un tableau de réels de taille $n$
Initialisation :
$\quad$ Saisir $n$
$\quad$ Pour $i$ allant de $0$ à $n$
$\qquad$ Saisir $C[i]$
$\quad$ Fin Pour
Traitement :
$\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
$\qquad$ Afficher Le coefficient de la dérivée du terme de degré $i-1$” est
$\qquad$ Afficher $C[i] \times i$
$\quad$ Fin Pour

[collapse]

$\quad$