1S – Exercices révisions – Les suites

Exercice 1

Les suites suivantes sont-elles croissantes? décroissantes?

  1. $u_n = n^2 + 5n + 4 \qquad n \in \N$
    $\quad$
  2. $v_n = \dfrac{-2n+3}{n+1} \qquad n \in \N$
    $\quad$
  3. $w_n = \sqrt{2n + 5} \qquad n \in \N$
    $\quad$
  4. $t_n = \dfrac{2^n}{n} \qquad n \in \N^*$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $$\begin{align*}
    u_{n+1} – u_n & = (n+1)^2 + 5(n+1) + 4 – \left(n^2 +5n +4\right) \\\\
    & = n^2 + 2n + 1 + 5n + 5 + 4 – n^2 – 5n – 4 \\\\
    & = 2n + 6
    \end{align*}$$
    Or $n \ge 0$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$ et la suite $(u_n)$ est croissante.
    $\quad$
  2. $$\begin{align*}
    v_{n+1} – v_n & = \dfrac{-2(n+1) + 3}{n + 2} – \dfrac{-2n + 3}{n + 1} \\\\
    & = \dfrac{-2n + 1}{n + 2} – \dfrac{-2n + 3}{n+ 1 } \\\\
    & = \dfrac{(-2n + 1)(n + 1) – (-2n + 3)(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} \\\\
    & = \dfrac{-2n^2 + 2n + n + 1 -\left(-2n^2 – 4n + 3n + 6\right)}{(n+1)(n+2)} \\
    & = \dfrac{4n – 5}{(n + 1)(n + 2)}
    \end{align*}$$
    Puisque $n \ge 0$, le signe du quotient ne dépend que de celui du numérateur.
    Or $4n – 5$ peut prendre des valeurs positives et négatives pour $n \in \N$.
    La suite $(u_n)$ n’est donc ni croissante, ni décroissante.
    $\quad$
  3. Tous les termes de la suite $(w_n)$ sont positifs.
    $$\begin{align*}
    \dfrac{w_{n+1}}{w_n} &= \dfrac{\sqrt{2(n+1) + 5}}{\sqrt{2n + 5}} \\\\
    & = \sqrt{\dfrac{2n + 7}{2n + 5}} \\\\
    & > 1
    \end{align*}$$
    Donc la suite $(w_n)$ est croissante
    $\quad$
  4. $$\begin{align*}
    t_{n+1} – t_n & = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} – \dfrac{2^n}{n} \\\\
    & = 2^n \left(\dfrac{2}{n+1} – \dfrac{1}{n}\right) \\\\
    & = 2^n \dfrac{2n – (n + 1)}{n(n+1)} \\\\
    & = 2^n \dfrac{n – 1}{n(n + 1)}
    \end{align*}$$
    Puisque $n \ge 1$ alors $t_{n+1} – t_n \ge 0$ et la suite $(t_n)$ est croissante.

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Exercice 2

$(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $2$.

  1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_5$ et $u_{10}$.
    $\quad$
  3. Calculer les sommes suivantes :
    a. $S_1 = u_0+u_1+\ldots+u_5$
    $\quad$
    b. $S_2 = u_1+u2+\ldots+u_{10}$
    $\quad$
    c. $S_3 = u_5+u_6+\ldots+u_{10}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $u_n = 5 + 2n$
    $\quad$
  2. $u_5 = 5 + 2 \times 5 = 15$ et $u_{10} = 5 + 2 \times 10 = 25$.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{align*}
    S_1 & = (5 – 0 + 1)\dfrac{u_0 + u_5}{2} \\\\
    & = 6 \dfrac{5 + 15}{2} \\\\
    & = 60
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b.
    $$\begin{align*}
    S_2 & = (10 – 1 + 1)\dfrac{u_1 + u_{10}}{2} \\\\
    & = 10 \dfrac{7 + 25}{2} \\\\
    & = 160
    \end{align*}$$
    $\quad$
    c.
    $$\begin{align*}
    S_3 & = (10 – 5 + 1)\dfrac{u_5 + u_{10}}{2} \\\\
    & = 6 \dfrac{15 + 25}{2} \\\\
    & = 120
    \end{align*}$$
    $\quad$

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Exercice 3

Reprendre l’exercice précédent en utilisant la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $3$.
$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $u_n = 1 \times 3^n = 3^n$
    $\quad$
  2. $u_5 = 3^5 = 243$ et $u_{10} = 3^{10} = 59~049$
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{align*}
    S_1 & = 1 \times \dfrac{1 – 3^{5 – 0 + 1}}{1 – 3} \\\\
    & = \dfrac{1 – 3^6}{-2} \\\\
    & = 364
    \end{align*}$$
    b.
    $$\begin{align*}
    S_2 & = 3 \times \dfrac{1 – 3^{10 – 1 + 1}}{1 – 3} \\\\
    & = 3 \times \dfrac{1 – 3^{10}}{-2} \\\\
    & = 88~572
    \end{align*}$$
    $\quad$
    c.
    $$\begin{align*}
    S_3 & = 243 \times \dfrac{1 – 3^{10 – 5 + 1}}{1 – 3} \\\\
    & = 243 \times \dfrac{1 – 3^6}{-2} \\\\
    & = 88~452
    \end{align*}$$
    $\quad$

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Exercice 4

Soit la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = 10\\u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n + 1\end{cases}$.

  1. Calculer $u_1,u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
  2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n – 3$.
    Calculer $v_0,v_1,v_2$ et $v_3$
    $\quad$
  3. Déterminer la nature de la suite $(v_n)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
    $\quad$
  4. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Calculer $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$ et en déduire $S’_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $u_1 = \dfrac{2}{3} \times 10 + 1 = \dfrac{23}{3}$
    $\quad$
    $u_2 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{23}{3} + 1 = \dfrac{55}{9}$
    $\quad$
    $u_3 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{55}{9} + 1 = \dfrac{137}{27}$
    $\quad$
  2. $v_0 = 10 – 3 = 7$
    $\quad$
    $v_1 = \dfrac{23}{3} – 3 = \dfrac{14}{3}$
    $\quad$
    $v_2 = \dfrac{55}{9} – 3 = \dfrac{28}{9}$
    $\quad$
    $v_3 = \dfrac{137}{27} – 3 = \dfrac{56}{27}$
    $\quad$
  3. Montrons que la suite $(v_n)$ est géométrique.
    $$\begin{align*}
    v_{n+1} &= u_{n+1} – 3 \\\\
    & = \dfrac{2}{3}u_n + 1 – 3\\\\
    & = \dfrac{2}{3}u_n – 2 \\\\
    & = \dfrac{2}{3}u_n – \dfrac{2}{3} \times 3 \\\\
    & = \dfrac{2}{3}\left(u_n – 3\right) \\\\
    & = \dfrac{2}{3}v_n
    \end{align*}$$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0 = 7$.
    $\quad$
  4. On a ainsi $v_n = 7 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.
    Donc $u_n = v_n + 3 = 7 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + 3$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $$\begin{align*}
    S_n & = 7 \times \dfrac{ 1 – \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}}{1 – \dfrac{2}{3}} \\\\
    & = 21 \left(1 – \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} \right)
    \end{align*}$$
    Ainsi $S’n = S_n + 3(n+1) = 21 \left(1 – \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right) + 3(n+1)$
    $\quad$

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Exercice 5

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 0$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4}$ pour tout entier naturel $n$.
On définit la suite $(v_n)$ par $v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 3}$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer $u_1,u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
  2. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $u_1 = \dfrac{0 + 3}{0 + 4} = \dfrac{3}{4}$
    $\quad$
    $u_2= \dfrac{2 \times \dfrac{3}{4} + 3}{\dfrac{3}{4} + 4} = \dfrac{18}{19}$
    $u_3 = \dfrac{2 \times \dfrac{18}{19} + 3}{\dfrac{18}{19} + 4} = \dfrac{93}{94}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*}
    v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1} – 1}{u_{n+1} + 3} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} – 1}{\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} + 3} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{2un + 3 – \left(u_n + 4\right)}{u_n + 4}}{\dfrac{2u_n + 3 + 3\left(u_n + 4\right)}{u_n + 4}} \\\\
    &= \dfrac{u_n -1}{5u_n + 15} \\\\
    & = \dfrac{1}{5} \dfrac{u_n – 1}{u_n + 3} \\\\
    & = \dfrac{1}{5} v_n
    \end{align*}$$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0 = – \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. On a ainsi $v_n = -\dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $$\begin{align*}
    v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 3} & \ssi v_n\left(u_n + 3\right) = u_n – 1 \\\\
    & \ssi u_n\left(v_n – 1\right) = -3v_n – 1 \\\\
    & \ssi u_n = \dfrac{-3v_n – 1}{v_n – 1}
    \end{align*}$$
    Ainsi $u_n = \dfrac{\left(\dfrac{1}{5}\right)^n – 1}{-\dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n – 1}$
    $\quad$

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Exercice 6

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 12$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+5}{3}$.

  1. Calculer $u_1,u_2$ et $u_3$. Fournir le résultat sous forme fractionnaire.
    $\quad$
  2. Démontrer que la suite $(u_n)$ n’est ni arithmétique , ni géométrique.
    $\quad$
  3. On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n – 5$.
    a. Calculer $v_0, v_1, v_2$ et $v_3$ sous forme fractionnaire.
    $\quad$
    b. Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    $\quad$
    c. En déduire que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on indiquera la raison.
    $\quad$
    d. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On considère un repère orthonormé d’unité graphique $1$ cm.
    a. Tracer les droites d’équation $y=x$ et $y=\dfrac{2x+5}{3}$.
    $\quad$
    b. Placer sur l’axes des abscisses, à l’aide de ces droites, $u_0,u_1,u_2$ et $u_3$.
    $\quad$
    c. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $u_1 = \dfrac{2 \times 12 + 5}{3} = \dfrac{29}{3}$
    $\quad$
    $u_2 = \dfrac{2 \times \dfrac{29}{3} + 5}{3} = \dfrac{73}{9}$
    $\quad$
    $u_3 = \dfrac{2 \times \dfrac{73}{9} + 5}{3} = \dfrac{191}{27}$
    $\quad$
  2. $u_1 – u_0 = – \dfrac{7}{3}$ et $u_2 – u_1 = – \dfrac{14}{9}$
    La suite $(u_n)$ n’est donc pas arithmétique.
    $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{29}{36}$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{73}{87}$
    La suite $(u_n)$ n’est donc pas géométrique.
    $\quad$
  3. a. $v_0 = 12 – 5 = 7$
    $\quad$
    $v_1 = \dfrac{29}{3} – 5 = \dfrac{14}{3}$
    $\quad$
    $v_2 = \dfrac{73}{9} – 5 = \dfrac{28}{9}$
    $\quad$
    $v_3 = \dfrac{191}{27} – 5 = \dfrac{56}{27}$
    $\quad$
    b. $\quad$
    $$\begin{align*}
    v_{n+1} &=u_{n+1} – 5 \\\\
    & = \dfrac{2u_n + 5}{3} – 5 \\\\
    & = \dfrac{2u_n – 10}{3} \\\\
    & = \dfrac{2}{3}\left(u_n – 5\right) \\\\
    & = \dfrac{2}{3} v_n
    \end{align*}$$
    $\quad$
    c. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0 = 7$.
    $\quad$
    d. On a ainsi $v_n = 7 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ et $u_n = 5 + 7 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$
    $\quad$
  4. a.
    1s - exercices révisions - les suites - ex6

    sur le graphique
    $\quad$
    b. La limite de la suite $(u_n)$ semble être la solution de l’équation $x=\dfrac{2x+5}{3}$ c’est-à-dire $5$.
    $\quad$

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Exercice 7

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.$$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.

  1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 – u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $\quad$
    $$\begin{align*}
    u_{n+1} – u_n &= \dfrac{1 + 3u_n}{3 + u_n} – u_n \\\\
    & = \dfrac{1 + 3u_n – u_n(3 + u_n)}{3 + u_n} \\\\
    & = \dfrac{1 – u_n^2}{3 + u_n} \\\\
    & = \dfrac{\left(1 – u_n\right)\left(1 + u_n\right)}{3 + u_n}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  2. On sait que $u_n>1$. Par conséquent $1-u_n <0$, $1+u_n > 0$ et $3 + u_n > 0$.
    $\quad$
    Donc $u_{n+1} – u_n < 0$ et la suite $(u_n)$ est décroissante.

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Exercice 8

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.$$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l’algorithme suivant :
    Entrée :
    $\quad$ Soit un entier naturel non nul $n$
    Initialisation :
    $\quad$Affecter à $u$ la valeur $2$
    Traitement et sortie :
    $\quad$ POUR $i$ allant de $1$ à $n$
    $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$
    $\qquad$ Afficher $u$
    $\quad$ FIN POUR
    $\quad$
    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    i&1&2& 3\\\\
    \hline
    u&&&\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l’infini.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} – 1}{u_{n} + 1}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    b. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 – v_{n}}$.
    $\quad$
Correction Exercice

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    i&1&2& 3\\\\ \hline
    u&0,8&1,077&0,976\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. La suite $(u_n)$ ne semble ni croissante, ni décroissante mais donne l’impression d’osciller autour de $1$.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{align*}
    v_{n+1} & = \dfrac{u_{n+1} – 1}{u_{n+1} + 1} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{1 + 0,5u_n}{0,5 + u_n} – 1}{\dfrac{1 + 0,5u_n}{0,5 + u_n} + 1} \\\\
    &= \dfrac{0,5 – 0,5u_n}{1,5 + 1,5u_n} \\\\
    &= \dfrac{-0,5}{1,5} \dfrac{u_n – 1}{u_n + 1} \\\\
    & = -\dfrac{1}{3} \dfrac{u_n – 1}{u_n + 1} \\\\
    & = -\dfrac{1}{3} v_n
    \end{align*}$$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    b. $v_0 = \dfrac{2 – 1}{2 + 1} = \dfrac{1}{3}$.
    Donc $v_n = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    $\quad$
    c. On $\left|v_n\right| = \dfrac{1}{3^{n+1}} < \dfrac{1}{3}$ pour tout $n$.
    Ainsi $v_n \neq 1$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    d. $\quad$
    $$\begin{align*}
    v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 1} & \ssi v_n \left(u_n + 1\right) = u_n – 1 \\\\
    & \ssi u_n \left(v_n – 1\right) = -1 – v_n \\\\
    & \ssi u_n = \dfrac{-1 – v_n}{v_n – 1} \\\\
    & \ssi u_n = \dfrac{1 + v_n}{1 -v_n}
    \end{align*}$$
    $\quad$

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Exercice 9

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = -4$ et $u_{n+1} = – \dfrac{3}{4}u_n + 3$ pour tout $n \in \N$.

  1. Calculer les $7$ premiers termes de la suite. Que pouvez-vous conjecturer sur le sens de variation de la suite et sur sa limite?
  2. a. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour $n \in \N$, par $v_n = u_n – \dfrac{12}{7}$.
    Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac{3}{4}$. Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Soit $\displaystyle S_n = \sum_{i=0}^n u_i = u_0+u_1+\ldots+u_n$.
    Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 9

  1. $u_0 = -4$ , $u_1 = 6$, $u_2 = -\dfrac{3}{2}$, $u_3 = \dfrac{33}{8}$, $u_4 = -\dfrac{-3}{32}$, $u_5 = \dfrac{393}{128}$, $u_6 = \dfrac{357}{512}$
    La suite $(u_n)$ n’est ni croissante, ni décroissante mais semble tendre vers $1,7$.
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{align*}
    v_{n+1} &= u_{n+1} – \dfrac{12}{7} \\\\
    &= -\dfrac{3}{4}u_n + 3 – \dfrac{12}{7} \\\\
    & = -\dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{9}{7} \\\\
    &= -\dfrac{3}{4} \left(u_n – \dfrac{12}{7}\right)
    \end{align*}$$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0 = -\dfrac{40}{7}$
    $\quad$
    b. On a ainsi, pour tout entier naturel $n$, $v_n = -\dfrac{40}{7} \left(-\dfrac{3}{4}\right)^n$ et donc $u_n = -\dfrac{40}{7} \left(-\dfrac{3}{4}\right)^n + \dfrac{12}{7}$.
    $\quad$
    c. Calculons :
    $$\begin{align*}
    S’_n &= \sum_{i=0}^n v_n \\\\
    &= -\dfrac{40}{7} \dfrac{1 – \left(-\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1 + \dfrac{3}{4}} \\\\
    &= -\dfrac{160}{49}\left(1 – \left(-\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)
    \end{align*}$$
    Par conséquent $S_n = -\dfrac{160}{49}\left(1 – \left(-\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right) + \dfrac{12}{7}(n+1)$
    $\quad$

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Exercice 10

Une personne lance une “superballe” pour la faire rebondir au sol. Après le premier rebond la balle atteint $10$ mètres de hauteur. A chaque rebond la balle perd $30\%$ de hauteur.

  1. Au bout de combien de rebonds le mouvement de celle-ci ne sera plus perceptible (rebond de moins de $1$ mm).
    $\quad$
  2. Sachant que la balle a été lancée d’une hauteur initiale de $1,50$ m, quelle distance la balle aura-t-elle parcourue au total?
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. On appelle $h_n$ la hauteur maximale, en mètre, de la balle à chaque rebond $n$.
    On a ainsi $h_1 = 10$ et $h_{n+1} = 0,7h_n$ pour tout $n\in \N^*$
    Par conséquent $h_n = 10 \times 0,7^{n-1}$ pour $n\in \N^*$.
    On cherche la valeur de $n$ telle que $10 \times 0,7^{n-1} < 10^{-3}$.
    La calculatrice nous fournit : $n= 27$
    $\quad$
  2. La distance totale est donc de :
    $$\begin{align*}
    D &= 1,5 + 2 \displaystyle \sum_{n=1}^{26} h_n + h_27 \\\\
    & = 1,5 + 2 \times 10 \times \dfrac{1 – 0,7^{26}}{1 – 0,7} + 10 \times 0,7^{27}
    \end{align*}$$

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