1S – Exercices révisions – Les vecteurs

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle quelconque.
On place :

  • le point $P$ symétrique de $A$ par rapport à $B$,
  • le point $Q$ symétrique de $B$ par rapport à $C$,
  • le point $R$ symétrique de $C$ par rapport à $A$.

On appelle $I$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[PQ]$.
On appelle $G$ et $H$ les entres de gravité des triangles $ABC$ et $PQR$.
On choisit le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AC}\right)$.

  1. Déterminer les coordonnées des points $A, B$ et $C$.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point $I$, puis celles du point $G$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées des points $R, P, Q$ et $K$.
    $\quad$
  4. Démontrer que les points $G$ et $H$ sont confondus.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Dans le repère $\left(A;\vec{AB};\vec{AC}\right)$ les coordonnées des différents points sont :
    $$A(0;0) \qquad B(1;0) \qquad C(0;1)$$
    $\quad$
  2. $I$ est le milieu de $[BC]$ donc ses coordonnées sont : $$\begin{cases} x_I = \dfrac{0+1}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\y_I = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$$
    $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. Par conséquent $\vec{AG} = \dfrac{2}{3} \vec{AI}$.
    Par conséquent $\begin{cases} x_G = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} – 0\right) = \dfrac{1}{3} \\\\y_G = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} – 0\right) = \dfrac{1}{3} \end{cases}$
    $\quad$
  3. $P$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Donc $B$ est le milieu de $[AP]$ et $\vec{AB} = \vec{BP}$.
    Ainsi $\begin{cases} 1 – 0 = x_P – 1 \\\\0 = y_P – 0 \end{cases}$ donc $P(2;0)$.
    $\quad$
    $R$ est le symétrique de $C$ par rapport à $A$. Donc $\vec{RA} = \vec{AC}$.
    Par conséquent $\begin{cases} -x_R = 0 \\\\-y_R = 1 \end{cases}$. On a ainsi $R(0;-1)$.
    $\quad$
    $Q$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$. Donc $\vec{CQ} = \vec{BC}$.
    Par conséquent $\begin{cases} x_Q = -1 \\\\y_Q – 1 = 1 \end{cases}$. D’où $Q(-1;2)$.
    $\quad$
    $K$ est le milieu de $[PQ]$. D’où :
    $$\begin{cases} x_K=\dfrac{2 – 1}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\y_K = \dfrac{0 + 2;2}{2} = 1 \end{cases}$$
    $\quad$
  4. $H$ est le centre de gravité du triangle $PQR$. Ainsi $\vec{RH} = \dfrac{2}{3}\vec{RK}$.
    Par conséquent $$\begin{cases} x_H = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} – 0\right) \\\\y_H – (-1) = \dfrac{2}{3}(1 – (-1)) \end{cases} \ssi \begin{cases} x_H = \dfrac{1}{3} \\\\y_H = \dfrac{1}{3} \end{cases}$$.
    Donc $G$ et $H$ sont confondus.

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Exercice 2

On se place dans un repère $\Oij$.
On considère les points $A\left(-\dfrac{7}{2};2\right)$, $B(-2;5)$, $C\left(5;\dfrac{13}{2}\right)$ et $D\left(3;\dfrac{5}{2}\right)$.

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$.
    $\quad$
  2. En déduire que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.
    $\quad$
  3. On définit le point $I$ par l’égalité  $\vec{IA} = \dfrac{3}{4}\vec{ID}$.
    Montrer que les coordonnées de $I$ sont $\left(-23;\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  4. Les points $I, B$ et $C$ sont-ils alignés?
    $\quad$
  5. $J$ et $K$ étant les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD]$, déterminer les coordonnées de $J$ et $K$.
    $\quad$
  6. En déduire que les points $I, J$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\vec{AB} \left(-2 + \dfrac{7}{2};5 – 2\right)$ soit $\vec{AB}\left(\dfrac{3}{2};3\right)$.
    $\quad$
    $\vec{CD}\left(3 – 5;\dfrac{5}{2} – \dfrac{13}{2}\right)$ soit $\vec{CD}(-2;-4)$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{3}{2} \times (-4) – 3 \times (-2) = -6 + 6 =0$. Ainsi $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires. $ABCD$ est donc un trapèze.
    Puisque $\vec{AB} = -\dfrac{3}{4}\vec{CD}$, ce n’est pas un parallélogramme.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{align*}
    \vec{IA} = \dfrac{3}{4} \vec{ID} & \ssi \begin{cases} -\dfrac{-7}{2} – x_I = \dfrac{3}{4} \left(3 – x_I\right) \\\\2 – y_I = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{5}{2} – y_I\right) \end{cases} \\\\
    & \ssi \begin{cases} -14 – 4x_i = 9 – 3x_I \\\\8 – 4y_I = \dfrac{15}{2} – 3y_I \end{cases} \\\\
    &\ssi \begin{cases} -23 = x_I \\\\ \dfrac{1}{2} = y_I \end{cases}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  4. $\vec{IB}\left(-2 + 23;5 – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vec{IB} \left(21;\dfrac{9}{2}\right)$
    $\quad$
    $\vec{IC}\left(5 + 23;\dfrac{13}{2} – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vec{IC}(28;6)$.
    $\quad$
    Or $21 \times 6 – 28 \times \dfrac{9}{2} = 0$. Les deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $I$, $B$ et $C$ sont alignés.
    $\quad$
  5. $J$ est le milieu de $[AB]$ donc $\begin{cases} x_J = \dfrac{-\dfrac{7}{2} – 2}{2} = -\dfrac{11}{4} \\\\y_J = \dfrac{2+5}{2} = \dfrac{7}{2} \end{cases}$.
    $K$ est le milieu de $[CD]$ donc $\begin{cases} x_K = \dfrac{5 + 3}{2} = 4 \\\\y_K=\dfrac{\dfrac{13}{2}+\dfrac{5}{2}}{2} = \dfrac{9}{2} \end{cases}$.
    $\quad$
    On a ainsi $\vec{IJ}\left(-\dfrac{11}{4} + 23;\dfrac{7}{2} – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vec{IJ}\left(\dfrac{81}{4};3\right)$.
    $\quad$
    Et $\vec{IK} \left(4+23;\dfrac{9}{2} – \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vec{IJ}\left(27;4\right)$.
    Or $\dfrac{81}{4} \times 4 – 3 \times 27 = 0$. Donc les vecteurs sont colinéaires et les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$

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Exercice 3

$ABC$ est un triangle quelconque.

  1. Placer les points $H$ et $G$ tels que :$\vec{AH} = -\dfrac{3}{4}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AC}$ $\quad$ $\vec{BG} = -\dfrac{7}{4}\vec{AB} + \dfrac{3}{2}\vec{BC}$
    $\quad$
  2. On choisit le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AC}\right)$.
    a. Donner les coordonnées des points $A,B$ et $C$ dans ce repère.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées des points $H$ et $G$ dans ce repère.
    $\quad$
  3. Les points $A, G$ et $H$ sont-ils alignés?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    1s - exercices - les vecteurs - ex 3
  2. a. $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$
    $\quad$
    b. $H\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}\right)$
    $$\begin{align*} \vec{AG} &= \vec{AB} + \vec{BG} \\\\
    &= \vec{AB} – \dfrac{7}{4}\vec{AB} + \dfrac{3}{2}\vec{BC} \\\\
    &=-\dfrac{3}{4}\vec{AB} + \dfrac{3}{2}\left(\vec{BA} + \vec{AC}\right) \\\\
    &= -\dfrac{3}{4}\vec{AB} – \dfrac{3}{2}\vec{AB} + \dfrac{3}{2}\vec{AC} \\\\
    &= -\dfrac{9}{4}\vec{AB} + \dfrac{3}{2}\vec{AC}
    \end{align*}$$
    Donc $G\left(-\dfrac{9}{4};\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. On a ainsi $\vec{AG}\left(-\dfrac{9}{4};\dfrac{3}{2}\right)$ et $\vec{AH}\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}\right)$.
    Par conséquent $\vec{AG} = 3\vec{AH}$.
    Les deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $A$, $G$ et $H$ sont alignés.

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Exercice 4

Dans un repère $\Oij$ , on donne les points $A(2;5)$, $B(4;-2)$, $C(-5;1)$ et $D(-1;6)$.

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ et $\vec{AD}$.
    $\quad$
  2. Que peut-on dire des droites $(BC)$ et $(AD)$?
    $\quad$
  3. Le point $K$ est tel que $\vec{BK} = \dfrac{1}{2}\vec{BA}+\dfrac{1}{4}\vec{BC}$.
    Déterminer alors les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[BC]$.
    $\quad$
  5. Que peut-on dire des points $I,K$ et $A$?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\vec{BA}(-2;7)$, $\vec{BC}(-9;3)$ et $\vec{AD}(-3;1)$.
    $\quad$
  2. On a ainsi $\vec{BC}=3\vec{AD}$. Les droites $(BC)$ et $(AD)$ sont donc parallèles.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{align*}
    \vec{BK} = \dfrac{1}{2}\vec{BA} + \dfrac{1}{4}\vec{BC} & \ssi \begin{cases} x_K – 4 = \dfrac{1}{2} \times (-2) + \dfrac{1}{4} \times (-9) \\\\y_K + 2 = \dfrac{1}{2} \times 7 + \dfrac{1}{4} \times 3 \end{cases} \\\\
    & \ssi \begin{cases} x_K= \dfrac{3}{4} \\\\y_K = \dfrac{9}{4} \end{cases}
    \end{align*}$$
  4. $I$ est le milieu de $[BC]$ donc $$\begin{cases} x_I = \dfrac{4 – 5}{2} = -\dfrac{1}{2} \\\\y_I=\dfrac{-2 + 1}{2} = -\dfrac{1}{2} \end{cases}$$
    $\quad$
  5. $\vec{IK} \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2};\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vec{IK}\left(\dfrac{5}{4};\dfrac{11}{4}\right)$.
    $\quad$
    $\vec{IA}\left(2 + \dfrac{1}{2};5 + \dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vec{IA}\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2}\right)$.
    Par conséquent $\vec{IA} = 2 \vec{IK}$.
    Les deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $I$, $K$ et $A$ sont alignés.

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Exercice 5

Écrire un algorithme qui permet de déterminer si deux vecteurs, dont l’utilisateur fournit les coordonnées, sont colinéaires.

Correction Exercice 5

Variables :
$\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$ nombres réels
Initialisation :
$\quad$ Afficher “Coordonnées du premier vecteur”
$\quad$ Saisir $a$
$\quad$ Saisir $b$
$\quad$ Afficher “Coordonnées du second vecteur”
$\quad$ Saisir $c$
$\quad$ Saisir $d$
Traitement et sortie :
$\quad$ Si $ad-bc=0$ alors
$\qquad$ Afficher “Les vecteurs sont colinéaires”
$\quad$ Sinon
$\qquad$ Afficher “Les vecteurs ne sont pas colinéaires”
$\quad$ Fin Si

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