1S – Exercices révisions – Probabilités

Exercice 1

Une maladie atteint $3\%$ d’une population de $20~000$ individus.
On appelle “malade” l’individu atteint de cette maladie et “bien portant” celui qui ne l’est pas.
On dispose d’un test pour la détecter.
Ce test donne les résultats suivants :

  • Chez les individus malades, $95\%$ des tests sont positifs.
  • Chez les individus bien portants, $2\%$ des tests sont positifs.

On note les événements suivants :

  • $M$ : “être malade”
  • $T$ “avoir un test positif”

On rencontre une personne au hasard de cette population.

  1. Calculer $p(T)$, $p(T \cap M)$ et $p(M \cup T)$.
    $\quad$
  2. Sachant que la personne rencontrée est malade, calculer la probabilité que son test soit négatif.
    $\quad$
  3. Sachant que la personne rencontrée a un test positif, calculer la probabilité qu’elle ne soit pas malade.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $3\%$ des $20~0000$ correspondent à $600$ personnes malades.
    $95\%$ de $600$ donnent $570$ malades ayant un test positif.
    $2\%$ de $19~400$ donnent $377$ bien portants ayant un test positif.
    On peut ainsi construire le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    & \text{Malades} & \text{Bien portants} & \text{Total} \\\\
    \hline
    \text{Test positif} & 570 & 388 & 958 \\\\
    \hline
    \text{Test négatif} & 30 & 19~012 & 19~042 \\\\
    \hline
    \text{Total} & 600 & 19~400 & 20~000 \\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    Ainsi $p(T) = \dfrac{958}{20~000} = 0,0475$
    $p(T \cap M) = \dfrac{570}{20~000} = 0,0285$
    $p(T \cup L) = p(T) + p(M) – p(T \cap M) = \dfrac{988}{20~000}$
    $\quad$
  2. La probabilité cherchée est $p_1 = \dfrac{30}{600} = 0,05$
    $\quad$
  3. La probabilité cherchée est $p_2 = \dfrac{388}{958} = \dfrac{194}{479}$

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Exercice 2

Une urne contient $20$ boules numérotées de $1$ à $20$. On tire une boule au hasard.
On note les événements suivants :

  • $A$ : “le numéro sorti est un multiple de $3$”
  • $B$ : “le numéro sorti est strictement supérieur à $5$”

Calculer : $p(A), p(B), p\left(\overline{A}\right),p\left(\overline{B}\right), p\left(\overline{A \cap B}\right)$, $P\left(\overline{A} \cup \overline{B}\right), p\left(\overline{A \cup B}\right)$ et $p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$.

Correction Exercice 2

Puisque les tirages se font au hasard, nous sommes en présence d’une situation d’équiprobabilité.
Décrivons les différents événements :
$A : \lbrace 3,6,9,12,15,18\rbrace$ donc $\overline{A} : \lbrace1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20 \rbrace$
$B : \lbrace6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\rbrace$ donc $\overline{B} = \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace$

Ainsi $p(A) = \dfrac{6}{20} = 0,3$
$p(B) = \dfrac{15}{20} = 0,75$
$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A) = 0,7$
$p\left(\overline{B}\right) = 1 – p(B) = 0,25$

$p(A \cap B) = \dfrac{5}{20} = 0,25$ donc $p\left(\overline{A \cap B}\right) = 1 – p(A \cap B) = 0,75$

$p\left(\overline{A} \cup \overline{B}\right) = \dfrac{15}{20} = 0,75$

$\begin{align*} p\left(\overline{A \cup B}\right) &= 1 – p(A \cup B)  \\\\
& = 1 – \left(p(A) + p(B) – p(A \cup B)\right) \\\\
& = 1 – (0,3+0,75-0,25) \\\\
& = 0,2
\end{align*}$

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = \dfrac{4}{20} = 0,2$

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Exercice 3

Le coût de fabrication d’une tablette d’une marque donnée est de $200$ euros.
Un mauvais réglage sur une machine qui les fabrique est à l’origine de deux types de défauts noté A et B.
Une tablette peut avoir les deux défauts en même temps.

  • $10\%$ des tablettes possèdent le défaut A
  • $7\%$ des tablettes possèdent le défaut B
  • $2\%$ des tablettes possèdent les deux défauts.

Avant la commercialisation des tablettes, au prix unitaire de $500$ euros, celles-ci sont testées. Celles qui présentent des défauts sont réparées.
Corriger le défaut A coûte $50$ euros et corriger le défaut B coûte $100$ euros.

  1. Une tablette est prise au hasard. Quel bénéfice le fabriquant peut-il espérer de sa vente?
    $\quad$
  2. S’il vend $10$ millions de tablettes, quel bénéfice global peut-il espérer?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Résumons la situation à l’aide d’un tableau :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{défaut} & \text{A} & \text{B} & \text{A et B} & \text{aucun} \\\\
    \hline
    \text{probabilité} & 0,1 & 0,07 & 0,02 & 0,81 \\\\
    \hline
    \text{bénéfice} & 250 & 200 & 150 & 300 \\\\
    \hline
    \end{array}$$
    On appelle $X$ la variable aléatoire associée au bénéfice.
    On a ainsi $E(X) = 0,1 \times 250 + 0,07 \times 200 + 0,02 \times 150 + 0,81 \times 300 = 285$
    Ainsi le fabriquant peut espérer un bénéfice de $285$ euros par tablette.
    $\quad$
  2. S’il en vend $10$ millions, le bénéfice global sera de $285 \times 10^6 = 285$ millions d’euros.

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Exercice 4

Un commercial contacte par téléphone des clients éventuels. Il sait qu’il y a $2\%$ de chance que la personne contactée lui passe commande.
Ce commercial appelle $n$ personnes. On assimile la situation à un tirage avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes qui a passé commande.

  1. Quelle loi suit $X$? Justifier et donner ses paramètres.
    $\quad$
  2. Donner la valeur de $E(X)$.
    $\quad$
  3. Déterminer la valeur de $n$ pour que $E(X) = 5$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. Si $n = 250$, donner une valeur approchée au millième de $P(X = 5)$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Les $n$ personnes contactées l’ont été aléatoirement, indépendamment les unes des autres. Le tirage est assimilé à un tirage avec remise. Pour chaque personne contactée, il n’y a que deux issues : elle passe ou non une commande. La probabilité que la personne contactée passe une commande est de $0,02$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n;0,02)$.
    $\quad$
  2. $E(X) = 0,02n$
    $\quad$
  3. On résout l’équation $0,02n = 5$ soit $n = 250$.
    Cela signifie que si le commercial souhaite avoir une moyenne de $5$ commandes, il doit contacter $250$ personnes.
    $\quad$
  4. On a $P(X=5) = \binom{250}{5}\times 0,02^5 \times 0,98^{245} \approx 0,177$
    $\quad$

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Exercice 5

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\dfrac{1}{3}$.

  1. Calculer son espérance et son écart-type.
    $\quad$
  2. Calculer $P(X \ge 2)$. Donner une valeur approchée au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $E(X) = np = 3$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{2}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} P(X \ge 2) &= 1 – P(X < 2) \\\\
    &= 1 – \left(P(X= 0) + P(X = 1)\right) \\\\
    &= 1 – \left(\binom{9}{0} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} + \binom{9}{1} \times \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^8 \right) \\\\
    & \approx 0,857
    \end{align*}$$

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Exercice 6

Écrire un algorithme permettant d’afficher, pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ fournis par l’utilisateur, les probabilités $P(X\le k)$ pour $k$ variant de $0$ à $n$.

Correction Exercice 6

Variables :
$\quad$ $n$ et $k$ nombres entiers
$\quad$ $p$ et $S$ nombres réels
Initialisation :
$\quad$ Saisir le nombre $n$
$\quad$ Saisir le nombre $p$
$\quad$ $k$ prend la valeur $0$
$\quad$ $S$ prend la valeur $0$
Traitement et sortie :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S + \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$
$\qquad$ afficher $S$
$\quad$ Fin Pour

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Exercice 7

Une urne contient $10$ boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne $2$ euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd $3$ euros.

On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

Les deux questions de l’exercice sont indépendantes.

  1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l’urne.
    a. Démontrer que : $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$.
    $\quad$
    b. Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable $X$.
    $\quad$
    c. Vérifier que l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut : $$E(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.$$
    $\quad$
    d. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l’espérance mathématique est strictement positive.
    $\quad$
  2. Le joueur tire $20$ fois successivement et avec remise une boule de l’urne. Les tirages sont indépendants.
    Déterminer la valeur minimale de l’entier $n$ afin que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge au cours de ces $20$ tirages soit strictement supérieure à $0,999$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. a. L’événement $\lbrace{X = -1\rbrace}$ correspond à un tirage bicolore :
    Au premier tirage, la probabilité d’obtenir une boule blanche est de $\dfrac{10}{10+n}$. La probabilité d’obtenir ensuite une boule rouge est de $\dfrac{n}{n+9}$.
    La probabilité d’obtenir une boule blanche puis une boule rouge est donc de $\dfrac{10n}{(10+n)(9+n)}$.
    $\quad$
    Au premier tirage, la probabilité d’obtenir une boule rouge est de $\dfrac{n}{10+n}$. La probabilité d’obtenir ensuite une boule blanche est de $\dfrac{10}{n-1+10} = \dfrac{10}{n+9}$.
    La probabilité d’obtenir une boule rouge puis une boule blanche est donc de $\dfrac{10n}{(10+n)(9+n)}$.
    $\quad$
    Finalement $P(X=-1) = 2 \times \dfrac{10n}{(10+n)(9+n)} = \dfrac{20n}{(n+10)(n+9)}$
    $\quad$
    b. $P(X = 4) = \dfrac{10\times 9}{(10+n)(9+n)} = \dfrac{90}{(10+n)(9+n)}$
    $P(X = -6) = \dfrac{n(n-1)}{(10+n)(9+n)}$
    $\quad$
    c. $\quad$
    $$\begin{align*}
    E(X) & = -1 \times \dfrac{20n}{(n+10)(n+9)}+ 4 \times \dfrac{90}{(10+n)(9+n)} + (-6) \times \dfrac{n(n-1)}{(10+n)(9+n)} \\\\
    & = \dfrac{-20n+360 -6n(n-1)}{(10+n)(9+n)} \\\\
    & = \dfrac{-20n+360-6n^2+6n}{(10+n)(9+n)} \\\\
    & = \dfrac{-6n^2-14n+360}{(10+n)(9+n)}
    \end{align*}$$
    $\quad$
    d. Le signe de $E(X)$ ne dépend que de celui de $-6n^2-14n+360$.
    $\Delta = 8836 = 94^2$.
    Les racines sont $n_1 = \dfrac{14 – 94}{-12} = \dfrac{20}{3} \approx 6,7$ et $n_2=\dfrac{14+94}{-12} = -9$.
    Puisque $a=-6<0$, $E(X)$ est positif entre les racines trouvées. Or $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Par conséquent $E(X)$ est strictement positive pour $n\in[2;6]$
    $\quad$
  2. les $20$ tirages sont aléatoires, indépendants et aléatoires. A chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : la boule est rouge ou ne l’est pas. A chaque tirage, la probabilité d’obtenir une boule rouge est de $\dfrac{n}{10+n}$.
    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules rouges tirées. Ainsi $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\left(20;\dfrac{n}{10+n}\right)$.
    On veut que :
    $$\begin{align*} P(X \ge 1) > 0,999 &\ssi 1 – P(X = 0) > 0,999 \\\\
    & \ssi P(X = 0) < 0,001 \\\\
    & \ssi \binom{20}{0} \times \left( \dfrac{10}{10+n}\right)^{20} < 0,001
    \end{align*}$$
    A l’aide de la calculatrice on trouve $n \ge 5$.

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Exercice 8

Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement : “le $n$-ième sondage est positif” est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l’événement $V_{n}$.

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :

  • si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d’être aussi positif;
  • si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d’être aussi négatif.

On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : $p_{1} = 1$.

  1. Calculer les probabilités des événements suivants :
    a. $A$ : “les $2^{\e}$ et $3^{\e}$ sondages sont positifs”;
    $\quad$
    b. $B$ : “les $2^{\e}$ et $3^{\e}$ sondages sont négatifs”.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le $3^{\e}$ sondage soit positif.
    $\quad$
  3. $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé :
    1s - exercices révisions - probabilités - ex8
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on admet que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$.
    On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} – 0,2$.
    a. Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
    $\quad$
    b. Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Conjecturer la valeur de la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. a. $p(A) = 0,6 \times 0,6 = 0,36$
    $\quad$
    b. $p(B) = 0,4 \times 0,9 = 0,36$
    $\quad$
  2. On étudie les différents cas :
    — le deuxième sondage est positif : la probabilité que le troisième sondage le soit aussi est $p(A) = 0,36$
    — le deuxième sondage est négatif : la probabilité que le troisième sondage soit positif est de $0,4 \times 0,1 = 0,04$.
    Par conséquent $p_3 = 0,36 + 0,04 = 0,4$
    $\quad$
  3. $\quad$
    1s - exercices révisions - probabilités - ex8 cor
  4. a. $\quad$
    $$\begin{align*}
    u_{n+1} &= p_{n+1} – 0,2 \\\\
    & = 0,5p_n + 0,1 – 0,2 \\\\
    & = 0,5p_n – 0,1 \\\\
    & = 0,5p_n – 0,5 \times 0,2 \\\\
    &= 0,5(p_n – 0,2) \\\\
    &= 0,5u_n
    \end{align*}$$
    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_1 = 1 – 0,2 = 0,8$.
    $\quad$
    b. Ainsi $u_n = 0,8 \times 0,5^{n-1}$ et $p_n = u_n + 0,2 = 0,2 + 0,8 \times 0,5^{n-1}$.
    $\quad$
    c. La probabilité $p_n$ semble tendre vers $0,2$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

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