2nd – cours – Variations de fonctions

Variations de fonctions

I Généralités

Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu’un repère $(O;I,J)$.

 Définition 1 : La fonction $f$ est dite croissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \le f(b)$.

Remarqueon constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig1

Définition 2 : La fonction $f$ est dite décroissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \ge f(b)$.

Remarque : La fonction $f$ change donc alors l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig2

 

 Définition 3 : On fonction est dite constante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a $f(a) = f(b)$.

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales.

2nd - cours - variations de fonctions - fig3

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$. Cela signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ on a $f(a) < f(b)$ (respectivement $f(a) > f(b)$). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

$\quad$

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :
2nd - cours - variations de fonctions - fig4
Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

  • L’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[$ ou $\R$
  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1[$
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$
  • $f(1) = -4$

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche “montante” et la décroissance par une flèche “descendante”. Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction $f$ change de variations.

 Définition 4 : On dit qu’une fonction $f$ est (strictementmonotone sur un intervalle $I$ si elle soit (strictement) croissante soit (strictement) décroissante sur l’intervalle $I$.
 Définition 5 : On dit que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \le f(a)$.

Exemple : 

2nd - cours - variations de fonctions - fig5

 

La fonction $f$ admet pour maximum $3$; il est atteint pour $x = 2$.

 Définition 6 : On dit que la fonction $f$ admet un minimum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \ge f(a)$.

Exemple :

2nd - cours - variations de fonctions - fig6

La fonction $f$ admet pour minimum $-2$; il est atteint pour $x=4$.

Définition 7 : On dit que la fonction $f$ admet un extremum sur l’intervalle $I$, si elle possède un minimum ou un maximum sur cet intervalle.

II Fonctions linéaires et affines

 Définition 8 : Une fonction $f$ définie sur $\R$ est dit affine s’il existe deux réels $a$ et $b$ tel que, pour tout réel $x$, on ait $f(x) = ax+b$.
Si $b= 0$ la fonction $f$ est alors dite linéaire.
Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur.
Le nombre $b$ est appelé l’ordonnée à l’origine.

Exemple : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x + 1$ est une fonction affine.

 Propriété 1 : La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère du plan est une droite.
 Propriété 2 : (Réciproque) Dans un repère du plan, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.

Remarque 1 : Le cas des droites parallèles à l’axe des ordonnées sera abordé dans le chapitre sur les équations de droites.

Remarque 2 : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

La représentation graphique de la fonction définie dans l’exemple précédent est :

2nd - cours - variations de fonctions - fig7

Propriété 3 : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$

Remarque : Cette propriété permet, connaissant les coordonnées de deux points d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées (ou l’image de deux réels par la fonction $f$) de retrouver l’expression algébrique d’une fonction affine.

Exemple : On considère une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4$
La fonction $f$ est affine. On appelle $a$ son coefficient directeur.
D’après la propriété précédente on a alors :
$$\begin{align*} a &= \dfrac{f(5) – f(2)}{5 – 2} \\\\
&= \dfrac{4 – 3}{3} \\\\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align*}$$

Remarque : On aurait également pu faire le calcul $\dfrac{f(2) – f(5)}{2 – 5}$. On aurait obtenu la même valeur pour $a$.

 Propriété 4 : Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur $a$.

  • Si $a > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
  • Si $a = 0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\R$
  • Si $a < 0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$

Remarque : Il y a en fait équivalence entre le signe de $a$ et les variations de la fonction $f$.

Preuve Propriété 4

On considère que la fonction affine $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = ax + b$ (où $b$ est un réel).
Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v$. Nous allons essayer de comparer $f(u)$ et $f(v)$ afin de déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Pour cela nous allons chercher le signe de $f(u) – f(v)$.
$$\begin{align*} f(u) – f(v) & = (au+b)-(av+b) \\\\
&= au + b-av-b \\\\
&= au-av \\\\
&= a(u-v)
\end{align*}$$
On sait que $u<v$. Par conséquent $u-v < 0$.

Ainsi

  • si $a > 0$ alors $a(u-v) <0$. Par conséquent $f(u)-f(v) <0$ soit $f(u) < f(v)$.
    La fonction $f$ est donc bien croissante sur $\R$.
  • si $a = 0$ alors $a(u-v) = 0$. Par conséquent $f(u)-f(v) = 0$ soit $f(u) = f(v)$.
    la fonction $f$ est donc bien constante sur $\R$.
  • si $a<0$ alors $a(u-v) >0$. Par conséquent $f(u)-f(v) > 0$ soit $f(u) > f(v)$.
    La fonction $f$ est donc bien décroissante sur $\R$.

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Exemple : 

2nd - cours - variations de fonctions - fig8

 

Exemples d’étude de signes de fonctions affines :

  • On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x-2$.
    On cherche tout d’abord à résoudre
    $\begin{align*} f(x) = 0 &\ssi 3x-2 = 0 \\\\
    & \ssi 3x = 2 \\\\
    & \ssi x = \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) > 0$.
    $\begin{align*} f(x) > 0 &\ssi 3x-2 > 0 \\\\
    & \ssi 3x > 2 \\\\
    & \ssi x > \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig9
  • On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = -2x-4$.
    On cherche tout d’abord à résoudre
    $\begin{align*} g(x) = 0 &\ssi -2x-4 = 0 \\\\
    & \ssi -2x = 4 \\\\
    & \ssi x = \dfrac{4}{-2} \\\\
    & \ssi x= -2
    \end{align*}$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x) > 0$.
    $\begin{align*} g(x) > 0 &\ssi -2x-4 > 0 \\\\
    & \ssi -2x > 4 \\\\
    & \ssi x \color{red}{<} \dfrac{4}{-2}  \quad \color{red}{\text{car } -2<0}\\\\
    & \ssi x< -2
    \end{align*}$
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig10

Les autres cours de 2nd sont ici.