2nd – équations – Ex 1

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 4x – 5$

  1. Montrer que $f(x) = (x – 1)(x + 5)$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f(x) = (x + 2)^2 -9$.
    $\quad$
  3. Choisir l’expression la mieux adaptée pour répondre aux questions :
    a. Résoudre $f(x) = 0$.
    $\quad$
    b. Calculer $f\left( \sqrt{5}\right)$.
    $\quad$
    c. Résoudre $f(x) = -9$.

Correction

  1. $(x – 1)(x + 5) $ $= x^2 + 5x – x – 5$ $ = x^2 + 4x – 5 $ $= f(x)$
    $\quad$
  2. $(x + 2)^2 – 9 $ $= x^2 + 4x + 4 – 9$ $=x^2 + 4x – 5$ $=f(x)$
    $\quad$
  3. a. On utilise la forme factorisée (question 1).
    $ f(x) = 0  \Leftrightarrow (x – 1)(x + 5) = 0 $
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    $x – 1 = 0$ ou $x + 5 = 0$
    $x= 1$ ou $x = -5$
    L’équation possède donc deux solutions : $1$ et $-5$.
    $\quad$
    b. On utilise l’expression fournie par l’énoncé (les calculs seront plus simples à faire)
    $f\left( \sqrt{5}\right)$ $ = \left( \sqrt{5}\right) ^2 + 4\sqrt{5} – 5$ $ = 5 + 4\sqrt{5} – 5$ $ = 4\sqrt{5}$
    $\quad$
    c. On utilise l’expression de la question 2 (forme canonique)
    $f(x) = -9 \Leftrightarrow (x + 2)^2 – 9 = -9$ $\Leftrightarrow (x + 2)^2 = 0$ $\Leftrightarrow x + 2 =0$
    La solution de l’équation est $-2$