2nd – Exercices – Fonctions homographiques

Exercice 1

Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :

  1. Une fonction homographique est toujours définie sur $\R^{*} = ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Une fonction homographique peut-être définie sur $\R$ privé de $1$ et $3$.
    $\quad$
  3. La fonction $x \mapsto \dfrac{2-x}{10-x}$ est une fonction homographique.
    $\quad$
  4. La fonction $x \mapsto \dfrac{x^2+1}{x+4}$ est une fonction homographique.
    $\quad$
  5. Une équation quotient $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$ admet pour solution $ -\dfrac{b}{a}$ et $-\dfrac{d}{c}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Faux. Par exemple $f : x \mapsto \dfrac{x – 3}{x + 1}$ est définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Faux. La seule valeur pour laquelle une fonction homographique n’est pas définie est celle qui annule le dénominateur. Celui, étant un polynôme du premier degré, ne s’annule qu’une seule fois.
    $\quad$
  3. Vrai. En effet en utilisant la notation $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ on a : $a=-1$, $b=2$, $c=-1$ et $d=10$.
    Donc $ad-bc = -10 -(-2) = -8 \neq 0$ et $c\neq 0$.
    $\quad$
  4. Faux. Le numérateur n’est pas de la forme $ax+b$ mais $ax^2+b$.
    $\quad$
  5. Faux. $\dfrac{ax+b}{cx+d} = 0 \Leftrightarrow ax+b = 0$ et $cx+d \neq 0$ $\Leftrightarrow x = -\dfrac{b}{a}$ et $x \neq -\dfrac{d}{c}$
    $\quad$

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Exercice 2

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions homographiques?

  1. $f:x\mapsto \dfrac{2x}{x+7}$
    $\quad$
  2. $g:x\mapsto \dfrac{2x-4}{x-2}$
    $\quad$
  3. $h:x \mapsto \dfrac{3x+8}{4+\sqrt{2}}$
    $\quad$
  4. $i:x \mapsto 5 – \dfrac{2x}{x – 8}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On utilisera la notation $\dfrac{ax+b}{cx+d}$

  1. $a=2$, $b=0$, $c=1$ et $d=7$. On a bien $c \neq 0$ et $ad-bc = 14 \neq 0$.
    $f$ est bien une fonction homographique.
    $\quad$
  2. $a=2$, $b=-4$, $c=1$ et $d=-2$. On a bien $c \neq 0$ mais $ad-bc=-4 -(-4) = 0$.
    $g$ n’est pas une fonction homographique.
    $\quad$
  3. $a=3$, $b=8$, $c=0$ et $d=4+\sqrt{2}$.
    Puisque $c = 0$, la fonction $h$ n’est pas homographique.
    $\quad$
  4. $i(x) = \dfrac{5(x-8) – 2x}{x – 8} = \dfrac{5x – 40 – 2x}{x – 8} = \dfrac{3x – 40}{x – 8}$
    $a=3$, $b=-40$, $c=1$ et $d=-8$. On a bien $c \neq 0$ et $ad-bc = -24 + 40 = 16 \neq 0$.
    $i$ est bien une fonction homographique.
    $\quad$

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Exercice 3

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :

$$f(x) = 2 + \dfrac{3}{x – 5} \qquad g(x) = 3 – \dfrac{x}{x – 7}$$

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$ et $g$.
    $\quad$
  2. Démontrer que ces fonctions sont des fonctions homographiques.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f$ est définie quand $x – 5\neq 0$. Par conséquent $\mathscr{D}_f =]-\infty;5[\cup]5;+\infty[$.
    $g$ est définie quand $x – 7\neq 0$. Par conséquent $\mathscr{D}_g =]-\infty;7[\cup]7;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $f(x) = \dfrac{2(x – 5) + 3}{x – 5} = \dfrac{2x – 10 + 3}{x – 5} = \dfrac{2x – 7}{x -5}$
    On a ainsi $a = 2$, $b=-7$, $c=1$ et $d=-5$. On a bien $c \neq 0$ et $ad-bc = -10 + 7 = -3\neq 0$.
    Par conséquent, $f$ est bien une fonction homographique.
    $\quad$
    $g(x) = \dfrac{3(x – 7) – x}{x – 7} = \dfrac{3x – 21 – x}{x -7} = \dfrac{2x – 21}{x – 7}$
    On a ainsi $a = 2$, $b=-21$, $c=1$ et $d=-7$. On a bien $c \neq 0$ et $ad-bc = -14 + 21 = 7 \neq 0$
    Par conséquent $g$ est bien une fonction homographique.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(x) = g(x) & \Leftrightarrow \dfrac{2x-7}{x-5} = \dfrac{x – 21}{x – 7} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x – 7}{x – 5} – \dfrac{2x – 21}{x -7} = 0\\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{(2x – 7)(x – 7)}{(x-5)(x-7)} – \dfrac{(2x – 21)(x – 5)}{(x-7)(x-5)} = 0\\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x^2-14x-7x+49}{(x-5)(x-7)} – \dfrac{2x^2-10x-21x+105}{(x-7)(x-5)} = 0\\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{10x-56}{(x-5)(x-7)} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow 10x – 56 = 0 \text{ et } x \neq 5 \text{ et } x \neq 7 \\\\
    & \Leftrightarrow x = 5,6
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est donc $5,6$.

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Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;6[\cup]6;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2x-12}$.

  1. Reproduire et compléter le tableau de valeur suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&4&5&5,5&6,5&7&8 \\
    \hline
    f(x) & & & & & & & \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement puis retrouver par le calcul l’antécédent de $-\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&4&5&5,5&6,5&7&8 \\
    \hline
    f(x) &-\dfrac{1}{12} &-\dfrac{1}{4} &-\dfrac{1}{2} &-1 &1 &\dfrac{1}{2} &\dfrac{1}{4} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    2nd - exo - fct homographique - 4
  3. Graphiquement, un antécédent de $-\dfrac{1}{3}$ semble être $4,5$.
    On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} f(x) = -\dfrac{1}{3} & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x-12}= -\dfrac{1}{3} \\\\
    & \Leftrightarrow 1 \times (-3) = 2x – 12 \text{ et } x \neq 6 \\\\
    & \Leftrightarrow -3 + 12 = 2x \text{ et } x \neq 6 \\\\
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{2}
    \end{align*}$
    L’antécédent de $-\dfrac{1}{3}$ est donc $\dfrac{9}{2}$.

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Exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. $\dfrac{2x – 5}{x – 6} \ge 0$
    $\quad$
  2. $\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0$
    $\quad$
  3. $\dfrac{3x}{4x+9} > 0$
    $\quad$
  4. $\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0$
    $\quad$
Correction Exercice 5

Dans chacun des cas, nous allons étudier le signe du numérateur et du dénominateur puis construire le tableau de signes associé.

  1. $2x – 5 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{2}$ et $2x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}$.
    $x – 6>0 \Leftrightarrow x >6$ et $x – 6=0 \Leftrightarrow x =6$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd - exo - fct homographique - 5.1
    Par conséquent la solution de l’inéquation est $\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right] \cup]6;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $5x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{5}$ et $5x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}$.
    $-3x + 1 > 0 \Leftrightarrow x< \dfrac{1}{3}$ et $-3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x= \dfrac{1}{3}$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd - exo - fct homographique - 5.2
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2}{5};+\infty\right[$.
    $\quad$
  3. $3x > 0\Leftrightarrow x > 0$ et $3x = 0\Leftrightarrow x = 0$.
    $4x+9 > 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{9}{4}$ et $4x+9 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{9}{4}$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd - exo - fct homographique - 5.3
    Par conséquent la solution de l’inéquation est $\left]-\infty;-\dfrac{9}{4}\right[\cup]0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $2x – 10 > 0\Leftrightarrow x > 5$ et $2x – 10=0 \Leftrightarrow x = 5$.
    $11x+2 > 0 \Leftrightarrow x >-\dfrac{2}{11}$ et $11x+2 = 0 \Leftrightarrow x =-\dfrac{2}{11}$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd - exo - fct homographique - 5.4
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-\dfrac{2}{11};5\right]$.
    $\quad$

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Exercice 6

On s’intéresse à la fonction $f$ définie par $f(x) =\dfrac{x+4}{x+1}$

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$
    $\quad$
  2. Démontrer que $f$ est une fonction homographique.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout $x$ différent de $-1$, on a $f(x) = 1 + \dfrac{3}{x+1}$.
    $\quad$
  4. Soient $u$ et $v$ deux réels distincts et différents de $-1$. Etablir que $f(u) – f(v) = \dfrac{3(v-u)}{(u+1)(v+1)}$.
    $\quad$
  5. En déduire les variations de $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Il ne faut pas que $x + 1 =0$. Par conséquent $\mathscr{D}_f=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $a=1$, $b=4$, $c=1$ et $d= 1$. On a bien $c \neq 0$ et $ad – bc = 1 – 4 = -3 \neq 0$.
    $\quad$
  3. $1+\dfrac{3}{x+1} = \dfrac{x+1 + 3}{x+1} = \dfrac{x+4}{x+1} = f(x)$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} f(u)-f(v) & = 1 + \dfrac{3}{u+1} – \left(1 + \dfrac{3}{v+1} \right) \\\\
    & = \dfrac{3}{u+1} – \dfrac{v+1} \\\\
    & = \dfrac{3(v+1) – 3(u+1)}{(u+1)(v+1)} \\\\
    & = \dfrac{3(v-u)}{(u+1)(v+1)}
    \end{align*}$
  5. Si $u<v<-1$ alors :
    • $v-u > 0$
    • $u+1<0$ et $v+1<0$ donc $(u+1)(v+1)>0$
    Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1[$.
    $\quad$
    Si $-1<u<v$ alors :
    • $v-u > 0$
    • $u+1>0$ et $v+1>0$ donc $(u+1)(v+1)>0$
    Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-1;+\infty[$.

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