2nd – Exercices corrigés – généralités sur les fonctions

Exercice 1

 

  1. Dans chacun des cas, représenter sur une droite graduée l’appartenance à l’intervalle.
    a. $x \in ]-\infty;5[$.
    $\quad$
    b. $x\in [1;4[$
    $\quad$
    c. $x\in [2;+\infty[$
    $\quad$
  2. Traduire chaque inégalité sous la forme de l’appartenance à un intervalle.
    a. $ -2>x $
    $\quad$
    b. $5 \le x$
    $\quad$
    c. $4 < x < 8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. a. 2nd - exo - généralités fonctions 3- ex1
    b. 2nd - exo - généralités fonctions 3- ex1-2

    c. 2nd - exo - généralités fonctions 3- ex1-3
  2. a. $x\in ]-\infty;-2[$
    $\quad$
    b. $x\in [5;+\infty[$
    $\quad$
    c. $x\in]4;8[$

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Exercice 2

 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=5x-1$.

  1. Déterminer les images des nombres $-1$ et $2$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(1)$ et $f(3)$.
    $\quad$
  3. Déterminer par le calcul les antécédents de $0$ et $9$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On veut calculer $f(-1) = 5 \times (-1) – 1 = -6$.
    On calcule également $f(2) = 5 \times 2 -1 = 9$.
    $\quad$
  2. $f(1) = 5 \times 1 – 1 = 4$
    $f(3) = 5 \times 3 -1 = 14$
    $\quad$
  3. On cherche les valeurs de $x$ telles que $5x-1 = 0$
    soit $5x=1$
    donc $x=\dfrac{1}{5}$
    L’antécédent de $0$ est $\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
    On cherche les valeurs de $x$ telles que $5x-1 = 9$
    soit $5x=10$
    donc $x=\dfrac{10}{5}$
    L’antécédent de $9$ est $2$.

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Exercice 3

 

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.
Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

2nd - exo - généralités fonctions 3- ex3 (1)

 

  1. Déterminer graphiquement $f(3)$ et $f(6)$
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) de $2$, $0$ et $-3$.
    $\quad$
Correction Exercice 3




2nd - exo - généralités fonctions 3- ex3-cor

 

  1. $f(3) \approx 0,9$ et $f(6) = -0,9$
    $\quad$
  2. Les antécédents de $2$ sont, environ, $-3,8$ et $10,5$.
    Les antécédents de $0$ sont $-3$, $1$, $5$ et $10$.
    $-3$ ne possède aucun antécédent.

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Exercice 4

 

On possède un récipient en forme de cône dont la hauteur est $20$ cm et le rayon $5$ cm.

  1. Représenter un patron de récipient conique à l’échelle souhaitée.
    $\quad$
  2. On suppose qu’on remplit d’eau ce récipient jusqu’à une hauteur $x$ et on appelle $V_1$ la fonction associée à ce volume d’eau.
    a. Pour quelles valeurs de $x$ peut-on définir $V_1$.
    $\quad$
    b. Exprimer $V_1(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    c. Quel est le volume d’eau quand $x=10$ cm.
    $\quad$
    d. Quelle hauteur d’eau correspond à un volume de $36\pi$ cm$^3$.
    aide : on pourra calculer le cube d’entiers naturels
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Puisque la hauteur du cône est de $20$ cm et son rayon $5$ cm, il s’agit des longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle.
    La génératrice du cône est l’hypoténuse de ce triangle.
    D’après le théorème de Pythagore sa longueur $L$ vérifie : $L^2 = 20^2+5^2 = 425$
    Ainsi $L = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \approx 20,6$ cm.
    Déterminons maintenant l’angle $\alpha$ de l’arc de cercle du patron du cône.
    La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à son angle.
    $$\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{angle}&180& \alpha \\\\
    \hline
    \text{Longueur de l’arc}&\pi\times L&2\pi\times 5 \\\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ainsi $\alpha = \dfrac{10\pi \times 180}{\pi \times L} = \dfrac{180}{5\sqrt{17}} \approx 87,31°$
    2nd - exo - généralités fonctions 3- ex4
  2. a. $x$ ne peut pas prendre de valeurs négatives ni être supérieur à $20$ donc $x\in[0;20]$.
    $\quad$
    b. Déterminons le rayon du cercle correspondant au disque de base.
    2nd - exo - généralités fonctions 3- ex4-2
    Dans les triangles $ADC$ et $AEB$ :
    – les droites $(DC)$ et $(EB)$ sont parallèles
    – $E \in [AD]$ et $B\in[AC]$
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{EB}{DC}$
    Donc $\dfrac{x}{20} = \dfrac{r}{5}$
    Par conséquent $r=\dfrac{x}{4}$
    On a $V_1(x) = \dfrac{\pi\times \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 \times x}{3} = \dfrac{\pi}{48}x^3$.
    $\quad$
    c. Si $x=10$ alors $V_1(10) =\dfrac{1~000\pi}{48} = \dfrac{125\pi}{6}$ cm$^3$.
    $\quad$
    d. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} V_1(x)=1~152\pi & \ssi \dfrac{\pi}{48}x^3 = 36\pi\\\\
    &\ssi \dfrac{1}{48}x^3 = 36\\\\
    &\ssi x^3 = 36 \times 48 \\\\
    &\ssi x^3=1~728 \\\\
    &\ssi x= 12
    \end{align*}$

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