2nd – Exercices – Fonction inverse

Exercice 1

Utiliser le tableau de variations ou la représentation graphique de la fonction inverse pour dire à quel intervalle appartient $\dfrac{1}{x}$ lorsque :

  1. $x \in [2;7]$
    $\quad$
  2. $x \in ]0;5]$
    $\quad$
  3. $x \in \left]-2;- \dfrac{1}{5}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{7};\dfrac{1}{2}\right]$
    $\quad$
  2. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{5};+\infty \right[$
    $\quad$
  3. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[-5;- \dfrac{1}{2}\right[$

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$\quad$

Exercice 2

  1. On sait que $x \ge 0$. Comparer $\dfrac{1}{x+7}$ et $\dfrac{1}{x + 2}$.
    $\quad$
  2. On sait que $x \le 0$. Comparer $\dfrac{1}{x – 6}$ et $\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. On sait que $x \ge 3$. Comparer $\dfrac{1}{4x – 2}$ et $\dfrac{1}{10}$.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. On a $x+7  > x + 2 \ge 0$
    La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. Par conséquent $\dfrac{1}{x + 7} < \dfrac{1}{x+2}$.
    $\quad$
  2. On a $x – 6 < x – \sqrt{10} < 0$
    La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$. Par conséquent $\dfrac{1}{x – 6} >\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. $x \ge 3 \Leftrightarrow 4x \ge 12$ $\Leftrightarrow 4x – 2 \ge 10$.
    La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. Par conséquent $\dfrac{1}{4x – 2} \le \dfrac{1}{10}$.

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$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction inverse $f$.

Calculer les images par $f$ des réels suivants :

  1. $\dfrac{5}{7}$
    $\quad$
  2. $-\dfrac{1}{9}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{4}{9}$
    $\quad$
  4. $10^{-8}$
    $\quad$
  5. $10^4$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $f\left(\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{7}{5}$
    $\quad$
  2. $f\left(-\dfrac{1}{9}\right) = -9$
    $\quad$
  3. $f\left(\dfrac{4}{9}\right) = \dfrac{9}{4}$
    $\quad$
  4. $f\left(10^{-8}\right) = 10^8$
    $\quad$
  5. $f\left(10^4\right) = 10^{-4}$

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$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Si $3 \le x \le 4$ alors $\dfrac{1}{3} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Si $-2 \le x \le 1$ alors $-0.5 \le \dfrac{1}{x} \le 1$.
    $\quad$
  3. Si $1 \le \dfrac{1}{x} \le 10$ alors $0,1 \le x \le 1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. Affirmation fausse. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. On a donc  $\dfrac{1}{3} \ge \dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Affirmation fausse. La fonction inverse n’est pas définie en $0$. On doit donner un encadrement quand $-2 \le x < 0$ et un autre quand $0 < x \le 1$.
    $\quad$
  3. Affirmation vraie. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.

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$\quad$

Exercice 5

On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2}{x – 4} + 3$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
    $\quad$
  2. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;4[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]4;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variations de $f$.

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. Le dénominateur ne doit pas s’annuler. Par conséquent $f$ est définie sur $\mathscr{D}_f=]-\infty;4[\cup]4;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v<4$.
    On a alors $u-4 < v-4 < 0$
    Puisque la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ on obtient : $\dfrac{1}{u-4} > \dfrac{1}{v-4}$
    $\quad$
    Donc $\dfrac{2}{u-4} > \dfrac{2}{v-4}$
    $\quad$
    Finalement $\dfrac{2}{u-4} + 3 > \dfrac{2}{v-4} + 3$ et $f(u) > f(v)$
    $\quad$
    La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;4[$.
    $\quad$
  3. Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $4<u<v$.
    On a alors $0<u-4 < v-4 $
    Puisque la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$ on obtient : $\dfrac{1}{u-4} > \dfrac{1}{v-4}$
    $\quad$
    Donc $\dfrac{2}{u-4} > \dfrac{2}{v-4}$
    $\quad$
    Finalement $\dfrac{2}{u-4} + 3 > \dfrac{2}{v-4} + 3$ et $f(u) > f(v)$
    $\quad$
    La fonction $f$ est décroissante sur $]4;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex5

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$\quad$

Exercice 6

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. $\dfrac{1}{x} \ge -3$
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{x} \ge 2$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{x} \le 1$

$\quad$

Correction Exercice 6

Pour résoudre ces inéquations il est préférable de s’aider de la courbe de la fonction inverse ou de son tableau de variations.

  1. $\mathscr{S} = \left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right] \cup ]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\mathscr{S} = \left]0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. $\mathscr{S} = ]-\infty;0[\cup [1;+\infty[$.

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$\quad$

Exercice 7

Compléter :

  1. Si $x < -1$ alors $\ldots < \dfrac{1}{x} < \ldots$.
    $\quad$
  2. Si $1 \le x \le 2$ alors $\ldots \le \dfrac{1}{x} \le \ldots$.

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. Si $x < -1$ alors $-1< \dfrac{1}{x} < 0$.
    $\quad$
  2. Si $1 \le x \le 2$ alors $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{x} \le 1$.

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$\quad$

Exercice 8

Dans un repère orthonormé on considère deux points $A(3;2)$ et $B(7;-2)$.

  1. Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement l’hyperbole d’équation $y = \dfrac{4}{x}$.
    $\quad$
  3. Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $x^2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)$.
    $\quad$
  4. Quelles sont les coordonnées des points d’intersection de cette hyperbole et de la droite $(AB)$?
    Retrouver ces résultats par le calcul.

$\quad$

Correction Exercice 8

  1. Une équation de la droite $(AB)$ est de la forme $y = ax+b$.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $a= \dfrac{-2 – 2}{7 – 3} = -1$.
    Par conséquent une équation de cette droite est de la forme $y = -x + b$.
    On sait que $A$ appartient à cette droite. Par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation.
    $2 = -3 + b \Leftrightarrow b = 5$.
    $\quad$
    Une équation de $(AB)$ est donc $y = -x + 5$.
    On vérifie que les coordonnées de $B$ vérifient également cette équation : $-7 + 5 = -2$
    $\quad$
  2. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex8

    $\quad$
  3. $(x-1)(x-4) = x^2 – x – 4x + 4 = x^2  – 5x + 4$
    $\quad$
  4. Graphiquement, les points d’intersection des deux courbes sont les poins de coordonnées $(1;4)$ et $(4;1)$.
    Les points d’intersection vérifient $\dfrac{4}{x} = -x + 5$  $\Leftrightarrow4 = -x^2 + 5x$ $\Leftrightarrow x^2 – 5x + 4 = 0$.
    D’après la question précédente cela revient à résoudre $(x – 1)(x  – 4) = 0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses produits au moins est nul :
    $x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x – 4 =0 \Leftrightarrow x = 4$.
    Si $x= 1$ alors $y = \dfrac{4}{1} = 4$.
    Si $x = 4$ alors $y = \dfrac{4}{4} = 1$.
    On retrouve ainsi les points identifiés graphiquement.

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$\quad$

Exercice 9

  1. Représenter dans un même repère orthonormé les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante :
    $f(x) = \dfrac{2}{x}$ pour tout réel $x$ non nul.
    $\quad$
    $g(x) = 2x – 3$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Vérifier que les points $A(2;1)$ et $B\left(-\dfrac{1}{2};-4\right)$ sont communs à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  3. En déduire, graphiquement, les solutions de l’inéquation $f(x) \le g(x)$.

$\quad$

Correction Exercice 9

  1. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex9
  2. $\dfrac{2}{2} = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times 2 – 3 = 4 – 3 = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
    $\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times \dfrac{-1}{2} – 3 = -1 – 3 = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
  3. Par conséquent $f(x) \le g(x)$ sur $\left[-\dfrac{1}{2};0\right[\cup [2;+\infty[$.

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