2nd – Géométrie dans le plan 2 – Ex2 correction

Exercice 2

Tracer un triangle $ABC$ sachant que $BC = 5$ cm, $CA = 4,5$ cm et $AB = 4$ cm.

Placer le point $N$ de la demi-droite $[BC)$ sachant que $BN = 8$.

Tracer le parallélogramme $ACNM$. Les droites $(AB)$ et $(MN)$ se coupent en un point $O$.

  1. Calculer $OA$.
    $\quad$
  2. Calculer $ON$.
    $\quad$
  3. Soit $P$ le point du segment $[ON]$ tel que $NP = 2,7$.
    Montrer que $(PC)//(OB)$.

Correction

2nd - geometrie-plan2-ex2

  1. Dans le triangle $BON$ :
    – $A \in [OB]$ et $C \in [BN]$
    – les droites $(AC)$ et $(ON)$ sont parallèles puisque $AMNC$ est un parallélogramme.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $$ \dfrac{BA}{BO} = \dfrac{BC}{BN} = \dfrac{AC}{ON}$$
    Soit $\dfrac{4}{BO} = \dfrac{5}{8}$ d’où $5BO = 4 \times 8$ et $BO = \dfrac{32}{5} = 6,4$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $BON$ :
    – $A \in [OB]$ et $M \in [ON]$
    – Les droites $(AM)$ et $(NB)$ sont parallèles
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{AM}{BN}$$
    Soit $\dfrac{6,4 – 4}{6,4} = \dfrac{OM}{OM + 4,5}$ d’où $2,4(OM + 4,5) = 6,4OM$ soit $2,4OM  + 10,8 = 6,4 OM$
    Par conséquent $4OM = 10,8$ et $OM = \dfrac{10,8}{4} = 2,7$.
    Comme $ON = OM + 4,5 = 2,7 + 4,8$ $=7,2$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $NOB$ :
    – $P \in [ON]$ et $C \in [BN]$
    – $\dfrac{NC}{BN} = \dfrac{8-5}{8}$ $=\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{NP}{NO} = \dfrac{2,7}{7,2}$ $=\dfrac{27}{72}$ $=\dfrac{3}{8}$.
    Par conséquent $\dfrac{NC}{BN} = \dfrac{NP}{NO}$
    D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites $(CP)$ et $(BO)$ sont parallèles.