2nd – Méthode 1 – Repérage dans le plan

Fiche méthode

Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Le but : On connait les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère. On veut montrer que c’est un parallélogramme.

Comment : On va montrer que les deux diagonales ont le même milieu.
Pour cela on va utiliser la propriété suivante :

 Propriété : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.
Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

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Exemple : Dans un repère $(O;I,J)$ on donne les points suivants :
$A(0;2)$, $B(-1;-1)$, $C(4;-2)$ et $D(5;1)$
On peut commencer par placer les points dans un repère pour mieux se représenter la situation
2nd - fiches méthode - repérage1

On appelle $M\left(x_M;y_M\right)$ le milieu de $[AC]$ avec $A(0;2)$ et $C(4;-2)$
$\begin{cases} x_M = \dfrac{0 + 4}{2} = 2\\\\y_M=\dfrac{2 + (-2)}{2} = 0 \end{cases}$

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On appelle $N\left(x_N;y_N\right)$ le milieu de $[BD]$ avec $B(-1;-1)$ et $D(5;1)$
$\begin{cases} x_N = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2 \\\\y_N = \dfrac{-1 + 1}{2} = 0 \end{cases}$

On constate donc que les points $M$ et $N$ ont les mêmes coordonnées. Ils sont donc confondus.

Par conséquent, les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se croisent en leur milieu et c’est un parallélogramme.

Remarque : Quand plusieurs points sont donnés, il peut être utile de recopier ceux dont on aura besoin dans les calculs et éviter ainsi les “erreurs d’énoncé”.

 

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