2nd – Variations de fonctions et extremum

Exercice 1

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$.


2nd - variations - ex1

 

  1. Déterminer son ensemble de définition.
    $\quad$
  2. Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Quel est le maximum de la fonction $f$ sur :
    a. son ensemble de définition
    $\quad$
    b. $[-3;2]$
    $\quad$
  4. Quel est le minimum de la fonction $f$ sur :
    a. son ensemble de définition
    $\quad$
    b. $[2;4]$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f = [-3;4]$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    2nd - variations - ex1-cor
  3. a. Son maximum sur $[-3;4]$ est $3$ atteint pour $x= 4$.
    $\quad$
    b. Son maximum sur $[-3;2]$ est $2$ atteint pour $x= -3$.
    $\quad$
  4. a. Son minimum sur $[-3;4]$ est $-2$ atteint pour $x = 0$.
    $\quad$
    b. Son minimum sur $[2;4]$ est $0$ atteint pour $x= 2$.

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$\quad$

Exercice 2

Indiquez les erreurs dans les tableaux de variation suivants :

Tableau 1

2nd - variations - ex2a

 

Tableau 2

2nd - variations - ex2b

 

Correction Exercice 2

Tableau 1 : La fonction en peut pas décroitre de la valeur $-1$ à la valeur $1$.  Elle ne peut pas croitre de la valeur $1$ à la valeur $\dfrac{4}{5}$. Elle ne peut pas non plus décroitre de la valeur $\dfrac{4}{5}$ à la valeur $2$.

Tableau 2 : $\dfrac{7}{2}$ n’est pas compris entre $-3$ et $2$. La fonction ne peut pas croitre de $3$ à $2$.

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$\quad$

Exercice 3

Voici le tableau de variation d’une fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-3;4]$.

2nd - variations - ex3

  1. Décrire les variations de la fonction$g$.
    $\quad$
  2. Comparer lorsque cela est possible :
    • $g(-3)$ et $g(-1)$
    • $g(1)$ et $g(3)$
    $\quad$
  3. Lire le maximum de $g$ sur $[0;4]$ et le minimum de $g$ sur $[-3;4]$.
    $\quad$
  4.  Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement la fonction $g$.
Correction Exercice 3

  1. La fonction $g$ est décroissante sur les intervalles $[-3;0]$ et $[2;4]$ et croissante sur $[0;2]$.
    $\quad$
  2. $-3$ et $-1$ appartiennent tous les deux à l’intervalle $[-3;0]$ sur lequel la fonction $g$ est décroissante.
    Par conséquent $g(-3) > g(-1)$.$\quad$
    $1$ et $3$ n’appartiennent pas à un intervalle sur lequel la fonction $g$ est monotone. On ne peut donc pas comparer leur image.
    $\quad$
  3. Le maximum de la fonction $g$ sur  $[0;4]$ est $0$. Il est atteint pour $x=2$.
    $\quad$
    Le minimum de la fonction $g$ sur $[-3;4]$ est $-4$. Il est atteint pour $x= 0$.
  4. Une représentation possible (il en existe une infinité) est :
    2nd - variations - ex3 cor

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