Puissances

Puissances de 10

Exercice 1

Écrire les nombres suivants sous forme d’une puissance de $10$.

$$\begin{array}{lclclcl}
10~000&\phantom{aaa}&0,000~1&\phantom{aaa}&0,1 \\
-1~000~000&&0,000~01 && \dfrac{1}{1~000~000} \\
-\dfrac{1}{1~000}& & & &
\end{array}$$

Correction Exercice 1

$10~000 = 10^4$

$0,000~1 = 10^{-4}$

$0,1=10^{-1}$

$-1~000~000=-10^6$

$0,000~01 = 10^{-5}$

$\dfrac{1}{1~000~000} =\dfrac{1}{10^6}=10^{-6}$

$-\dfrac{1}{1~000}=-\dfrac{1}{10^3}=-10^{-3}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Écrire sous forme décimale :

$A=10^4$

$B=10^{-2}$

$C=3,076\times 10^7$

$D=5\times 10^{-5}$

$E=3\times 10^{-1}-1,2\times 10^{-2}$

Correction Exercice 2

$A=10^4 = 10~000$

$B=10^{-2}=0,01$

$C=3,076\times 10^7 = 3,076 \times 10~000~000 = 30~760~000$

$D=5\times 10^{-5} = 5\times 0,000~01 = 0,000~05$

$E=3\times 10^{-1}-1,2\times 10^{-2} = 0,3-0,012 = 0,288$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Écrire sous forme décimale :

$A=10^{-15}\times 10^{17}$

$B=3 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-8}$

$C=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-8}}$

$D=\dfrac{0,3\times 10^3\times 5\times 10^{-9}}{4\times 10^{-10}}$

Correction Exercice 3

$A=10^{-15}\times 10^{17} = 10^{-15+17}=10^2 = 100$

$B=3 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-8}=6\times 10^{6-8}=6\times 10^{-2}=0,06$

$C=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-8}}=2,5\times 10^{-7+8}=25$

$\begin{align*} D&=\dfrac{0,3\times 10^3\times 5\times 10^{-9}}{4\times 10^{-10}} \\
&=\dfrac{1,5}{4}\times \dfrac{-6}{10^{-10}} \\
&=0,375\times 10^4\\
&=3~750
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$A=2\times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-10}$

$B=\left(10^{-4}\right)^3$

$C=3\times \left(10^2\right)^3 \times \left(5\times 10^{-8}\right)^2$

$D=\dfrac{10^5}{10^{-3}}$

$E=\dfrac{0,9\times 10^{-7}}{3\times 10^3}$

$F=\dfrac{4\times 10^{-3}\times 15\times 10^2}{5\times 10^8}$

Correction Exercice 4

$A=2\times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-10}=6\times 10^{-5-10}=6\times 10^{-15}$

$B=\left(10^{-4}\right)^3 = 10^{4\times 3}=10^{-12}$

$\begin{align*} C&=3\times \left(10^2\right)^3 \times \left(5\times 10^{-8}\right)^2 \\
&= 3 \times 10^6\times 25\times 10^{-16}\\
&=75\times 10^{-10}\\
&=7,5\times 10^{-9}
\end{align*}$

$D=\dfrac{10^5}{10^{-3}} = 10^{5-(-3)}=10^8$

$\begin{align*} E&=\dfrac{0,9\times 10^{-7}}{3\times 10^3} \\
&=0,3\times 10^{-7-3} \\
&=0,3\times 10^{-10} \\
&=3 \times 10^{-11}
\end{align*}$

$\begin{align*} F&=\dfrac{4\times 10^{-3}\times 15\times 10^2}{5\times 10^8} \\
&= \dfrac{4\times 15}{5} \times 10^{-3+2-8} \\
&=12\times 10^{-9} \\
&=1,2 \times 10^{-8}
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Calculer en utilisant les puissances de $10$:

$A=0,000~07\times 0,000~005\times 60~000$

$B=0,002\times 400 \times 0,000~03 \times 200~000$

$C=12~000 \times 0,002 \times 3~000\times 0,000~000~5$

$D=11~000~000 \times 0,5\times 200\times 0,000~3\times 0,005$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=0,000~07\times 0,000~005\times 60~000 \\
&= 7\times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^4 \\
&= 210 \times 10^{-5-6+4} \\
&=2,1\times 10^{-5} \\
&= 0,000~021
\end{align*}$

$\begin{align*} B&=0,002\times 400 \times 0,000~03 \times 200~000 \\
&=2\times 10^{-3} \times 4 \times 10^2 \times 3 \times 10^{-5} \times 2\times 10^{5} \\
&=48 \times 10^{-3+2-5+5} \\
&=48 \times 10^{-1} \\
&=4,8
\end{align*}$

$\begin{align*} C&=12~000 \times 0,002 \times 3~000\times 0,000~000~5 \\
&=1,2 \times 10^4\times 2 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-7} \\
&=36 \times 10^{4-3+3-7} \\
&=36 \times 10^{-3} \\
&=0,036
\end{align*}$

$\begin{align*} D&=11~000~000 \times 0,5\times 200\times 0,000~3\times 0,005 \\
&=1,1 \times 10^7 \times 5 \times 10^{-1} \times 2 \times 10^2 \times 3 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-3} \\
&=165 \times 10^{7-1+2-4-3} \\
&=165 \times 10 \\
&=1~650
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Puissances d’un nombre quelconque

Exercice 6

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un nombre relatif et $n$ un entier naturel, chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lcl}
2^5\times 2^6 &\phantom{aaa} & (-3)^4\times (-3)^5 \\
(-7)^2 \times (-7)^4 && (-5)^4\times (-5) \\
(-8)^2 \times 8^7 && 4^2\times (-4)^3 \\
(-3)^4 \times (-5)^4 & & (-2)^4\times 3^4 \\
(-5)^3 \times 2^3 && (-4)^5 \times (-2)^5 \\
\left((-3)^5\right)^3&& \left((-6)^7\right)^4
\end{array}$$

Correction Exercice 6

$2^5\times 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$

$(-3)^4\times (-3)^5 = (-3)^{4+5}=(-3)^9$
On peut aussi écrire $-3^9$ car l’exposant est impair.

$(-7)^2 \times (-7)^4 = (-7)^{2+4}=(-7)^6$
On peut aussi écrire $7^6$ car l’exposant est pair.

$(-5)^4\times (-5) = (-5)^{4+1}=(-5)^5$
On peut aussi écrire $-5^5$ car l’exposant est impair.

$(-8)^2 \times 8^7 = 8^2\times 8^7 = 8^9$

$4^2\times (-4)^3 =4^2 \times \left(-4^3\right) = -4^5$

$(-3)^4 \times (-5)^4 =\left(-3 \times (-5)\right)^4 = 15^4 $

$(-2)^4\times 3^4 =(-2 \times 3)^4 = (-6)^4 = 6^4$

$(-5)^3 \times 2^3 = (-5 \times 2)^3=(-10)^3=-10^3$

$(-4)^5 \times (-2)^5 =\left(-4 \times (-2)\right)^5 = 8^5$

$\left((-3)^5\right)^3 = (-3)^{5\times 3}=(-3)^{15} = -3^{15}$

$\left((-6)^7\right)^4=(-6)^{7 \times 4} = (-6)^{28}=6^{28}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible :

$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3$

$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3$

$C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 \times \left(-\dfrac{14}{4}\right)^2$

$D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3 \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^3$

Correction Exercice 7

$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$

$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 = -\dfrac{3^3}{4^3}=-\dfrac{27}{64}$

$\begin{align*}C&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 \times \left(-\dfrac{14}{4}\right)^2 \\
&=\left(-\dfrac{3 \times 14}{7 \times 4}\right)^2 \\
&=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \\
&=\dfrac{3^2}{2^2} \\
&=\dfrac{9}{4}
\end{align*}$

$\begin{align*} D&=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3 \times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^3 \\
&=\left(-\dfrac{4 \times 7}{7 \times 2}\right)^3 \\
&= (-2)^3 \\
&=-8
\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 8

Écrire sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :

$$\begin{array}{lcl}
A=4^{-3}&\phantom{aaa}& B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\
C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}&&D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\
E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}&&F=\dfrac{2^3}{2^{-2}} \\
G=\dfrac{-9^4 \times 9^{-2}}{9^2}&&H=\dfrac{-6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \end{array}$$

Correction Exercice 8

$A=4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}$

$B=\dfrac{7^9}{7^{11}} = \dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$

$C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{4^2}{5^2}=\dfrac{16}{25} $

$D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} =-\left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = -\dfrac{3^3}{2^3} = -\dfrac{27}{8}$

$E=\dfrac{5^{-1}}{5^2} =5^{-3}= \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125}$

$F=\dfrac{2^3}{2^{-2}} =2^{3-(-2)}=2^5=32$

$G=\dfrac{-9^4 \times 9^{-2}}{9^2} = -9^{4-2-2} = -9^0=-1$

$\begin{align*} H&=\dfrac{-6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \\
&=-6^{5-4-3-(2-5)} \\
&=-6^{1} \\
&=-6
\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9

Calculer :

$I=\dfrac{2\times 2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4 \times 5^4 \times 5^{-3} \times 5 \times 5}$

$J=\dfrac{\left(5^2\times 11^{-5}\right)^{-3}}{\left(11^5\times 5^{-3}\right)^2} \times \left(\dfrac{(11 \times 5)^2}{5^2\times 11^4}\right)^3$

Correction Exercice 9

$\begin{align*} I&=\dfrac{2\times 2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4 \times 5^4 \times 5^{-3} \times 5 \times 5} \\
&= \dfrac{2^2 \times 3^3}{3^4 \times 5^{3}} \\
&=\dfrac{2^2}{3 \times 5^3} \\
&=\dfrac{4}{375}
\end{align*}$

$\begin{align*} J&=\dfrac{\left(5^2\times 11^{-5}\right)^{-3}}{\left(11^5\times 5^{-3}\right)^2} \times \left(\dfrac{(11 \times 5)^2}{5^2\times 11^4}\right)^3 \\
&= \dfrac{5^{-6} \times 11^{15} \times 11^6 \times 5^6}{11^{10}\times 5^{-6} \times 5^6 \times 11^{12}} \\
&=\dfrac{11^{21}}{11^{22}} \\
&=11^{-1} \\
&=\dfrac{1}{11}
\end{align*}$

[collapse]