3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 4 – Racines carrées

Racines carrées

Exercice 1

Mettre sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels ($b$ étant le plus petit possible).

  1. $\sqrt{50}$
    $\quad$
  2. $\sqrt{8}$
    $\quad$
  3. $\sqrt{32}$
    $\quad$
  4. $\sqrt{12}$
    $\quad$
  5. $\sqrt{48}$
    $\quad$
  6. $\sqrt{27}$
Correction Exercice 1

  1. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25}\times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
    $\quad$
  2. $\sqrt{8}=\sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
    $\quad$
  3. $\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16}\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}$
    $\quad$
  4. $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
    $\quad$
  5. $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}$
    $\quad$
  6. $\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{9}\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}$

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$\quad$

Exercice 2

Simplifier l’écriture de :

  1. $A=\sqrt{3}\times \sqrt{6}$
    $\quad$
  2. $B=\sqrt{5}\times \sqrt{20}$
    $\quad$
  3. $C=\sqrt{12}\times \sqrt{27}$
    $\quad$
  4. $D=\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}$
    $\quad$
  5. $E=\sqrt{98}\times \sqrt{50}$
    $\quad$
  6. $F=\sqrt{15}\times \sqrt{135}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $A=\sqrt{3}\times \sqrt{6} = \sqrt{3\times 6}=\sqrt{3\times 3\times 2}=3\sqrt{2}$
    $\quad$
  2. $B=\sqrt{5}\times \sqrt{20}=\sqrt{5\times 20}=\sqrt{100}=10$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=\sqrt{12}\times \sqrt{27}\\
    &=\sqrt{12\times 27} \\
    &=\sqrt{3\times 4 \times 9 \times 3} \\
    &= 3 \times 2 \times 3 \\
    & = 18
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}D&=\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8} \\
    &= \sqrt{3 \times 6 \times 8} \\
    &= \sqrt{3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 4} \\
    &= 3 \times 2 \times 2 \\
    &=12
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*}E&=\sqrt{98}\times \sqrt{50} \\
    &= \sqrt{49 \times 2} \times \sqrt{25 \times 2} \\
    &=7\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \\
    &=35 \times 2 \\
    &=70
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} F&=\sqrt{15}\times \sqrt{135} \\
    &= \sqrt{15} \times \sqrt{9 \times 15} \\
    &= 15 \times 3 \\
    &= 45
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 3

Simplifier l’écriture de :

  1. $A=2\sqrt{2}\times \sqrt{50}$
    $\quad$
  2. $B=\sqrt{15}\times 3\times \sqrt{10}$
    $\quad$
  3. $C=2\sqrt{27}\times 6\sqrt{3}$
    $\quad$
  4. $D=3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\times 2\sqrt{2}$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=2\sqrt{2}\times \sqrt{50} \\
    &= 2\sqrt{2 \times 50} \\
    &= 2\sqrt{100} \\
    &= 2 \times 10 \\
    &= 20
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} B&=\sqrt{15}\times 3\times \sqrt{10} \\
    &=\sqrt{3 \times 5} \times 3 \times \sqrt{2 \times 5} \\
    &=3 \times 5 \sqrt{3 \times 2} \\
    &=15\sqrt{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=2\sqrt{27}\times 6\sqrt{3} \\
    &=12 \sqrt{27 \times 3} \\
    &=12 \sqrt{81} \\
    &=12 \times 9 \\
    &=108
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\times 2\sqrt{2} \\
    &= 6 \times 2 \times \sqrt{8} \\
    &=12 \sqrt{4 \times 2} \\
    &= 24 \sqrt{2}
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

Simplifier les sommes suivantes :

  1. $A=5\sqrt{3}-5\sqrt{28}-\sqrt{7}$
    $\quad$
  2. $B=7\sqrt{2}-\sqrt{18}-2\sqrt{32}$
    $\quad$
  3. $C=2\sqrt{12}-4\sqrt{75}+3\sqrt{27}$
    $\quad$
  4. $D=\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50}$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=5\sqrt{3}-5\sqrt{28}-\sqrt{7} \\
    &=5\sqrt{3}-5\sqrt{4\times 7}-\sqrt{7} \\
    &=5\sqrt{3}-10\sqrt{7}-\sqrt{7} \\
    &=5\sqrt{3}-11\sqrt{7}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} B&=7\sqrt{2}-\sqrt{18}-2\sqrt{32} \\
    &=7\sqrt{2}-\sqrt{9 \times 2}-2\sqrt{16 \times 2} \\
    &=7\sqrt{2}-3\sqrt{2}-8\sqrt{2} \\
    &=-4\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=2\sqrt{12}-4\sqrt{75}+3\sqrt{27} \\
    &=2\sqrt{4 \times 3}-4\sqrt{25 \times 3}+3\sqrt{9 \times 3} \\
    &=4\sqrt{3}-20\sqrt{3}+9\sqrt{3} \\
    &=-7\sqrt{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50} \\
    &=\sqrt{4 \times 2}-\sqrt{16 \times 2}+\sqrt{25 \times 2} \\
    &=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}+5\sqrt{2} \\
    &=3\sqrt{2}
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 5

Simplifier l’écriture de :

  1. $A=\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{50}}$
    $\quad$
  2. $B=2\sqrt{\dfrac{2}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}}$
    $\quad$
  3. $C=\sqrt{\dfrac{8}{5}}\times \sqrt{40}$
    $\quad$
  4. $D=\sqrt{\dfrac{9}{10}}\times \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{81}}$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\sqrt{\dfrac{8}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{50}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{9\times 25}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9 \times 25}} \\
    &=\dfrac{2}{3 \times 5} \\
    &=\dfrac{2}{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} B&=2\sqrt{\dfrac{2}{27}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}} \\
    &=2\times \sqrt{\dfrac{2 \times 3}{27 \times 8}} \\
    &=2\times \sqrt{\dfrac{1}{9\times 4}} \\
    &=2\times \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9} \times \sqrt{4}} \\
    &=2\times \dfrac{1}{3 \times 2} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=\sqrt{\dfrac{8}{5}}\times \sqrt{40} \\
    &=\sqrt{\dfrac{8\times 40}{5}} \\
    &=\sqrt{8\times 8} \\
    &=8
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\sqrt{\dfrac{9}{10}}\times \dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{81}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{9\times 40}{10 \times 81}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{9}} \\
    &=\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 6

Ecrire les nombres suivants sans le symbole racine carré au dénominateur.

Exemple : $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

  1. $\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{21}}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}}$
Correction Exercice 6

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{21}}&= \dfrac{\sqrt{4} \times \sqrt{7}}{\sqrt{3}\times \sqrt{7}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}&=\dfrac{3\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{4\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}&=\dfrac{4\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \\
    &=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}&=\dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{6}-\sqrt{3 \times 6}}{3 \times 6} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{18}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}}&=\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3\sqrt{10}} \times \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{20}-2\sqrt{50}}{3\times 10} \\
    &= \dfrac{\sqrt{4 \times 5}-2\sqrt{25 \times 2}}{30} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{5}-10\sqrt{2}}{30} \\
    &=\dfrac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}}&=\dfrac{10\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2\sqrt{15}} \times \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} \\
    &=\dfrac{10\sqrt{90}-3\sqrt{150}}{2\times 15} \\
    &=\dfrac{30\sqrt{10}-15\sqrt{6}}{30} \\
    &=\dfrac{2\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}
    \end{align*}$

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$\quad$

Exercice 7

Développer à l’aide des identités remarquables

  1. $A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  2. $B=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  3. $C=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$
    $\quad$
  4. $D=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  5. $E=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  6. $F=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right)$
    $\quad$
  7. $G=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2$
    $\quad$
  8. $H=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right)$
    $\quad$
  9. $I=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  10. $J=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$
Correction Exercice 7

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\times \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=3-2\sqrt{15}+5 \\
    &=8-2\sqrt{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}B&=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\times 3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=2+6\sqrt{10}+9\times 5 \\
    &=2+6\sqrt{10}+45 \\
    &=47+6\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2 \\
    &=2-3 \\
    &=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}\times \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=5-2\sqrt{10}+2 \\
    &=7-2\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} E&=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4 \times 5+12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20+12\sqrt{10}+18 \\
    &=38+12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}F&=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right) \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2-9 \\
    &=9\times 2-9 \\
    &=18-9\\
    &=9
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2 \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2+2\times 3\sqrt{2}\times 1+1^2 \\
    &=9 \times 2+6\sqrt{2}+1 \\
    &=18+6\sqrt{2}+1 \\
    &=19+6\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} H&=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right) \\
    &=\left(2\sqrt{3}\right)^2-1^2 \\
    &=4\times 3-1\\
    &=12-1\\
    &=11
    \end{align*}$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*}I&=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4\times 5-12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20-12\sqrt{10}+18\\
    &=38-12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*} J&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=3-2\\
    &=1
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$