Amérique du Nord – juin 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : obligatoire et spécialité .

Exercice 1

Partie A

1. $\quad$
   
2. D’après l’arbre de pondéré on a :
   $p(C\cap T)=0,52 \times 0,75 = 0,39$.
   $\quad$
3. a. On a $p(T)=0,7$
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(T)=p(T\cap G)+p(T\cap C)+p(T\cap D) &\ssi 0,7=0,28+0,39+p(T\cap D) \\
   &\ssi P(T\cap D)=0,03
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut calculer :$p_D(T) =\dfrac{p(T\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0,03}{0,2}=0,15$.
   

Partie B

1. $p(120<V<130)\approx 0,409$
   $\quad$
2. On veut calculer $p(V \geqslant 138) = 0,5-P(120\leqslant V\leqslant 138) \approx 0,008$.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

1. Le $1^{\text{er}}$ février 2016, le nombre d’abonnés est égal à $4~000 \times (1-0,08)+8~000=11~680$.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de }U&4&11,7&18,7&25,2&31,2&36,7&41,8 \\
   \hline
   \text{Valeur de } N&0&1&2&3&4&5&6\\
   \hline
   \text{Condition }U<40&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{fausse}\\
   \hline
   \end{array}$
   b. L’algorithme affichera donc $6$.
   C’est donc le $1^{\text{er}}$ juillet 2016 que la société comptera plus de $40~000$ abonnés.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-100 \\
   &=0,92u_n+8-100 \\
   &=0,92u_n-92 \\
   &=0,92\left(u_n-100\right) \\
   &=0,92v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,92$. et de premier terme $v_0=4-100=-96$.
   $\quad$
   b. Donc $v_n=-96\times 0,92^n$.
   $\quad$
   c. On a $u_n=v_n+100=100-96\times 0,92^n$.
   $\quad$
4. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que :
   $\begin{align*} u_n > 70 &\ssi 100-96\times 0,92^n > 70 \\
   &\ssi -96\times 0,92^n > -30 \\
   &\ssi 0,92^n < \dfrac{30}{96} \\
   &\ssi 0,92^n < 0,312~5 \\
   &\ssi n\ln 0,92 < \ln 0,312~5 \\
   &\ssi n > \dfrac{\ln 0,312~5}{\ln 0,92} \\
   &\ssi n\geqslant 14
   \end{align*}$
   C’est donc le $1^{\text{er}}$ mars 2017 que la société comptera plus de $70~000$ abonnés.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

1. a.
   
   $\quad$
   b. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1 \\0,06&0,94\end{pmatrix}$
   $\quad$
   c. $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$ $ \times \begin{pmatrix} 0,9&0,1 \\0,06&0,94\end{pmatrix}$ $ = \begin{pmatrix}0,9&0,1\end{pmatrix}$
   $\quad$
2. Dans l’algorithme 1, lors du calcul de $b$, la valeur de $a$ a été modifiée et correspond alors à $a_{n+1}$ et non plus à $a_n$.
   Dans l’algorithme 2, la variable $c$ permet de garder en mémoire la valeur de $a_n$.
   C’est donc cet algorithme qui permet de répondre au souhait du directeur.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
   Or :
   $\begin{align*} a_{n+1}&=0,9a_n+0,06b_n  \\
   &=0,9a_n+0,06\left(1-a_n\right) \\
   &=0,9a_n+0,06-0,06a_n \\
   &=0,84a_n+0,06
   \end{align*}$
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,375 \\
   &=0,84a_n+0,06-0,375 \\
   &=0,84a_n-0,315 \\
   &=0,84\left(u_n+0,375\right)-0,315 \\
   &=0,84u_n+0,315-0,315 \\
   &=0,84u_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,84$ et de premier terme $u_0=1-0,375=0,625$.
   $\quad$
   c. Ainsi $u_n=0,625\times 0,84^n$
   Et $a_n=0,375+u_n=0,375+0,625\times 0,84^n$.
   $\quad$
4. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que :
   $\begin{align*} a_n <0,5 &\ssi 0,375+0,625\times 0,84^n < 0,5 \\
   &\ssi 0,625 \times 0,84^n < 0,125 \\
   &\ssi 0,84^n < 0,2 \\
   &\ssi n\ln 0,84 < \ln 0,2 \\
   &\ssi n > \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,84} \\
   &\ssi n \geqslant 10
   \end{align*}$
   C’est donc à partir de 2020 que la proportion d’abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à $50\%$.
   $\quad$

Exercice 3

1. Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[10;50]$.
   Alors $p(15\leqslant X \leqslant 20) = \dfrac{20-15}{50-10}=\dfrac{1}{8}$
   Réponse b
   $\quad$
2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
   $200\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=100$
   Soit $\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=0,5$
   Donc $1-\dfrac{x}{100}=\sqrt{0,5}$
   D’où $\dfrac{x}{100}=1-\sqrt{0,5}$
   Et $x\approx 29$.
   Réponse c
   $\quad$
3. La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[8;12]$.
   Donc toutes les primitives de $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont croissantes sur l’intervalle $[8;12]$.
   Réponse d
   $\quad$
4. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
   Son amplitude est donc $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
   Ainsi $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,56-0,51=0,05$
   Donc $\dfrac{2}{0,05}=\sqrt{n}$ soit $\sqrt{n}=40$ et $n=1~600$
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : Etude d’une fonction

1. a. $f$ est dérivable sur $]0;1,5]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} f'(x)&=9\times 2x\left(1-2\ln x\right) + 9x^2\times \dfrac{-2}{x} \\
   &=18x-36x\ln x-18x \\
   &=-36x\ln x
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. Sur l’intervalle $]0;1,5]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
   Or $\ln x > 0\ssi x>1$.
   Donc :
   • $f'(x)>0$ sur $]0;1[$
   •  $f'(x)=.$ si $x=1$
   •  $f'(x)<0$ sur $]1;1,5]$
   $\quad$
   c. La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $]0;1]$ et décroissante sur l’intervalle $[1;1,5]$.
   $\quad$
2. $f\prime\prime(x)=-36\left(\ln x+1\right)$
   La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;1,5]$ et $\ln \e^{-1}+1=0$.
   Par conséquent $f\prime\prime(x)$ s’annule une seule fois en changeant de signe pour $x=\e^{-1}$.
   La courbe représentative de la fonction $f$ admeter un point d’inflexion dont l’abscisse est $\e^{-1}$.
   $\quad$
3. a. $F$ est une fonction dérivable sur $]0;1,5]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x\in]0;1,5]$, on a :
   $\begin{align*} F'(x)&=10+15x^2-18x^2\ln x -6x^3\times \dfrac{1}{x} \\
   &=10+15x^2-18x^2\ln x-6x^2 \\
   &=10+9x^2-18x^2\ln x \\
   &=9x^2\left(1-2\ln x\right) +10\\
   &=f(x) \end{align*}$
   Ainsi $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;1,5]$.
   $\quad$
   b.
   $$\begin{align*} \int_1^{1,5}f(x)\mathrm{d}x &=F(1,5)-F(1) \\
   &=31,875-20,25\ln 1,5-15 \\
   &=16,875-20,25\ln 1,5 \\
   &\approx  8,66
   \end{align*}$$
   $\quad$

Application économique

Proposition 1 : vraie
$f(1) = 19$ et $f(1,5)\approx 13,83$.
Or $\dfrac{3}{4}\times 19 = 14,25 > f(1,5)$

Proposition 2 : fausse
La valeur moyenne de l’action sur l’intervalle $[1;1,5]$ est donnée par :
$m= \displaystyle \dfrac{1}{1,5-1}\int_1^{1,5}f(x)\mathrm{d}x \approx 17,32$ euros