Bac S – Amérique du Nord – juin 2017

Amérique du Nord – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : spécialité et obligatoire

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On cherche à calculer
    $\begin{align*} P(X \pg 4~000) &= 0,5-P(2~900 \pp X \pp 4~000) \\
    & \approx 0,189
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que $P(X \pp x)=0,1 $.
    D’après la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $x \approx 1~298$
    $\quad$

Partie B

  1. On sait que $P(S)=0,6$ et $P_S(D)=0,95$.
    Par conséquent $P(S \cap D)=0,6\times 0,95=0,57$.
    $\quad$
  2. On sait que $P(D)=0,586$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)=P(S\cap D)+P\left(\conj{S}\cap D\right) &\ssi 0,586=0,57+P\left(\conj{S}\cap D\right) \\
    &\ssi P\left(\conj{S}\cap D\right) = 0,016
    \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} P_{\conj{S}}(D)&=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap D\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
    &=\dfrac{0,016}{0,4} \\
    &=0,04
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{D}}(S)&=\dfrac{P\left(\conj{D}\cap S\right)}{P\left(\conj{D}\right)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,05}{1-0,586} \\
    &\approx 0,072
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $n=231 \pg 30$ et $p=0,027$.
    Donc $np=6,237 \pg 5$ et $n(1-p)=224,763 \pg 5$.
    Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{231}&=\left[0,027-1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}};0,027+1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}}\right] \\
    &\approx [0,006;0,048]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{13}{231}\approx 0,056$.
    Par conséquent $f \notin I_{231}$.
    Ces résultats remettent donc en cause l’affirmation du fabricant.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(-x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{-\frac{-x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
    &=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{\frac{x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La courbe représentative de la fonction $f$ est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;2]$ en tant que somme de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\dfrac{1}{b}\e^{\frac{x}{b}}-\dfrac{1}{b}\e^{-\frac{x}{b}}\right) \\
    &=-\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\in[0;2]$ on a, puisque $b>0$ :
    $\dfrac{x}{b}\pg -\dfrac{x}{b}$
    $\ssi \e^{\frac{x}{b}} \pg \e^{-\frac{x}{b}}$
    $\ssi \e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}} \pg 0$
    $\ssi -\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right) \pp 0$
    $\ssi f'(x) \pp 0$
    La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    Par symétrie, la fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[2;0]$.
    On obtient le tableau de variation suivant :

    Avec $f(-2)=-\dfrac{b}{8}\left(e^{\dfrac{-2}{b}}+\e^{\dfrac{2}{b}}\right)+\dfrac{9}{4}=f(2)$
    Et $f(0)=-\dfrac{b}{8}\times 2+\dfrac{9}{4}=\dfrac{-b+9}{4}$.
    Ainsi $S\left(0;\dfrac{-b+9}{4}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut que  :
    $\begin{align*} f(0)=2&\ssi \dfrac{-b+9}{4}=2 \\
    &\ssi -b+9=8 \\
    &\ssi -b=-1 \\
    &\ssi b=1
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc $f(x)=-\dfrac{1}{8}\left(e^x+e^{-x}\right)+\dfrac{9}{4}$.
    et $f(2)=-\dfrac{1}{8}\left(e^2+e^{-2}\right)+\dfrac{9}{4}\approx 1,309$
    Sur l’intervalle $[0;2]$, la fonction $f$ est continue, car dérivable, et strictement décroissante.
    $f(0)=2>1,5$ et $f(2)\approx 1,309<1,5$
    Donc $1,5\in\left[f(2);f(0)\right]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution dont une valeur approchée est $1,76$.
    Ainsi $a\approx 1,76$.
    $\quad$
  3. Calculons la surface d’un vantail.
    Il s’agit de l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=0$ et $ x=1,8$.
    Puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[0;1,8]$ (le minimum est $1,5$ d’après ce qui a été dit à la question précédente) l’aire cherchée est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^{1,8}f(x)\dx \phantom{\dfrac{1}{1}} \\
    &=\left[-\dfrac{1}{8}\left[e^x-e^{-x}\right]+\dfrac{9}{4}x\right]_0^{1,8} \\
    &=-\dfrac{1}{8}\left(e^{1,8}-\e^{-1,8}\right)+\dfrac{9}{4}\times 1,8-0\\
    &\approx 3,314
    \end{align*}$
    La masse du vantail est donc :
    $M=20\times \mathscr{A}\approx 66,289>60$
    Le client décidera donc d’automatiser son portail.
    $\quad$

Partie C

Avec la forme 1
Le rectangle a donc pour dimension $1,8\times 2$
L’aire de partie perdue est :
$\mathscr{A}_1=2\times 1,8-\mathscr{A}\approx 0,286$

$\quad$

Avec la forme 2
$f'(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)$ et $f(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}$
Une équation de la tangente $T$ au point $F$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
L’ordonnée à l’origine est donc
$\begin{align*} -f'(1)+f(1)&=\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} \\
&=-2\times \dfrac{1}{8}e^{-1}+\dfrac{9}{4} \\
&=\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}
\end{align*}$
Le point de la tangente $T$ ayant pour abscisse $1,8$ a pour ordonnée :
$\begin{align*} y&=f'(1)\times (1,8-1)+f(1) \\
&=f'(1)\times 0,8+f(1) \\
&=-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}
\end{align*}$
Ainsi l’aire du trapèze est :
$\mathscr{A}_T=\dfrac{\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} }{2}\times 1,8 $
L’aire de la partie perdue est $\mathscr{A_2}=\mathscr{A}_T-\mathscr{A}\approx 0,094$

Par conséquent on économise environ $0,286-0,094= 0,191$ m$^2$ de bois en choisissant la forme 2.

Ex 3

Exercice 3

  1. On veut $u_0+u_1=u_0\times u_1$
    Soit $3+u_1=3u_1$
    $\ssi 3=2u_1$
    $\ssi u_1=1,5$
    $\quad$
    On veut que $u_0+u_1+u_2=u_0\times u_1 \times u_2$
    Soit $3+1,5+u_2=4,5u_2$
    $\ssi 4,5=3,5u_2$
    $\ssi u_2=\dfrac{9}{7}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n >0$ on a :
    $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n\\
    &=s_n+u_n
    \end{align*}$
    Par conséquent $s_{n+1}-s_n=u_n \pg 0$.
    La suite $\left(s_n\right)$ est donc croissante.
    On sait que $s_1=u_0>1$.
    Puisque la suite $\left(s_n\right)$ est croissante, cela signifie donc, que pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n \pg s_1$ soit $s_n > 1$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0\times u_1\times \ldots \times u_{n-1}\times u_n \\
    &=s_n \times u_n
    \end{align*}$
    Par conséquent $s_n+u_n=s_n\times u_n$
    $\ssi s_n=s_n\times u_n-u_n$
    $\ssi s_n=u_n\left(s_n-1\right)$
    $\ssi u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}$
    $\quad$
    c. On sait que $s_n>1$ donc $s_n-1>0$.
    Ainsi $s_n$ et $s_n-1$ sont positifs et $s_n>s_n-1$.
    Donc $u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}>1$.
    $\quad$
  3. a. Dans la partie traitement on a :
    $u$ prend la valeur $\dfrac{s}{s-1}$
    $s$ prend la valeur $s+u$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $1$.
    $\quad$
  4. a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n >0$ on a $s_n>n$.
    Initialisation : On a $s_1=u_0>1$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $s_n>n$.
    On a $s_{n+1}=s_n+u_n >n+u_n>n+1$
    car d’après la question 2.c. on a $u_n>1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n>n$.
    $\quad$
    b. On sait que $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$
    D’après le théorème de comparaison on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$
    $\quad$
    On a
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{s_n}{s_n-1} \\
    &=\dfrac{s_n}{s_n\left(1-\dfrac{1}{s_n}\right)} \\
    &=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{s_n}}
    \end{align*}$
    Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$ cela signifie donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{s_n}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1$
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. La droite $(UV)$ du plan $(UVK)$ et la droite $(EF)$ du plan $(SEF)$ sont parallèles.
    Les plans $(UVK)$ et $(SEF)$ sont sécants selon la droite $(KM)$.
    D’après le théorème du toit les droites $(KM)$, $(UV)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Les plans $(SEA)$ et $(GCB)$ sont parallèles.
    Le plan $(UKV)$ coupe le plan $(SEA)$ selon la droite $(UK)$.
    Par conséquent le plan $(UKV)$ coupe le plan $(GCB)$ selon une droite qui parallèle à $(UK)$.
    Ainsi $(UK)$ et $(NP)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. a. On a $S(0;0;3,5)$ et $E(4;0;2,5)$.
    Ainsi $\vect{SE}(4;0;-1)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(SE)$ est donc :
    $\begin{cases}x=4t\\y=0\\z=3,5-t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    On sait que l’abscisse du point $K$ est $1,2$ et qu’il appartient à la droite $(SE)$.
    On doit donc résoudre l’équation $4t=1,2$ soit $t=0,3$.
    En reportant cette valeur dans la représentation paramétrique de la droite $(SE)$ on trouve :
    $\begin{cases} x=1,2\\y=0\\z=3,2\end{cases}$
    Donc $K(1,2;0;3,2)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{UV}(0;8;0)$ et $\vect{UK}(1,2;0;-2,8)$
    Ces deux vecteurs du plan $(UVK)$ ne sont clairement pas colinéaires.
    $\vec{n}.\vect{UV}=0+0+0=0$
    $\vec{n}.\vect{UK}=8,4+0-8,4=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(UVK)$.
    Il  est donc normal au plan $(UVK)$.
    $\quad$
    Une équation cartésienne de ce plan est de la forme $7x+3z+d=0$.
    On sait que les coordonnées du point $U(0;0;6)$ vérifient cette équation.
    Ainsi $0+18+d=0 \ssi d=-18$
    Une équation cartésienne du plan $(UVK)$ est alors $7x+3z-18=0$.
    $\quad$
    c. $\vect{FG}(-4;0;0)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc :
    $\begin{cases} x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \qquad k\in\R$
    Le point $N$ appartient au plan $(UVK)$ et à la droite $(FG)$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} 7x+3z-18=0 \\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} &\ssi \begin{cases} 28-28k+7,5-18=0\\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -28k+17,5=0\\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{17,5}{28} \\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{5}{8} \\x=1,5\\y=5\\z=2,5\end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi $N(1,5;5;2,5)$.
    $\quad$
    d. On place le point $L$ du segment $[OA]$ tel que $\vect{OL}=\dfrac{3}{10}\vect{OA}$ (car $K(1,2;0;3,2)$ et $OA=4$ donc $\dfrac{1,2}{3}=0,3$).
    La droite parallèle à $(OU)$ passant par $L$ coupe $(ES)$ en $K$.
    La droite $(UK)$ coupe le segment $[OA]$ en $Q$.
    On construit donc la droite parallèle à $(EF)$ passant par le point $K$. Elle coupe le segment $[SF]$ en $M$.
    On place le point $N$ du segment $[FG]$ tel que $\vect{GN}=\dfrac{3}{8}\vect{GF}$ (en effet, on a $N(1,5;5;2,5)$ et $GF=4$ donc $\dfrac{1,5}{4}=\dfrac{3}{8}$).
    On trace le segment $[MN]$.
    On trace la droite parallèle à la droite $(UK)$ passant par le point $N$. Elle coupe le segment $[BC]$ en $P$.
    On trace les segment $[NP]$ et $[PQ]$.
    $\quad$
  3. On appelle $H$ le point du segment $[SO]$ tel que le triangle $SGH$ soit rectangle en $H$.
    On a ainsi $SH=3,5-2,5=1$ et $HG=OC=5$.
    Ainsi $\tan \widehat{SGH}=\dfrac{SH}{HG}=\dfrac{1}{5}$
    Par conséquent $\widehat{SGH}\approx 11,3$°$>7$°.
    La condition est donc bien remplie.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $20\%$ des inscrits au programme $A$ se réinscrivent soit $0,2a_n$.
    $40\%$ des inscrits au programme $A$ s’inscrivent au programme $B$ soit $0,4a_n$.
    $40\%$ des inscrits au programme $A$ quittent l’association soit $0n4a_n$.
    $60\%$ des inscrits au programme $B$ se réinscrivent soit $0,6b_n$.
    $40\%$ des inscrits au programme $B$ quittent l’association soit $0,4b_n$.
    Les nouveaux inscrits compensent les départs soit $0,4a_n+0,4b_n$ suivent le programme $A$.
    Ainsi $a_{n+1}=0,2a_n+0,4a_n+0,4b_n=0,6a_n+0,4b_n$
    et $b_{n+1}=0,4a_n+0,6b_n$
    On obtient ainsi la matrice de transition $M=\begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
    Et $U_{n+1}=U_n\times M$.
    $\quad$
  2. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : $U_0=\begin{pmatrix} 150&0\end{pmatrix}$
    $75+75\times 0,2^0=150$ et $75-75\times 75^0=75-75=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=\begin{pmatrix} 75+75\times 0,2^n&75-75\times 0,2^n \end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,6\left(75+75\times 0,2^n\right)+0,4\left(75-75\times 0,2^n\right) \\
    &=45+0,6\times 75\times 0,2^n+30-0,4\times 75\times 0,2^n \\
    &=75+(0,6-0,4)\times 75\times 0,2^n\\
    &=75+0,2\times 75\times 0,2^n\\
    &=75+75\times 0,2^{n+1}
    \end{align*}$
    $\begin{align*} b_{n+1}&=0,4\left(75+\times 75\times 0,2^n\right)+0,6\left(75-\times 75\times 0,2^n\right) \\
    &=30+0,4\times 75\times 0,2^n+45-0,6\times 75\times 0,2^n \\
    &=75+(0,4-0,6)\times 75\times 0,2^n \\
    &=75-0,2\times 75\times 0,2^n \\
    &=75-75\times 0,2^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=\begin{pmatrix} 75+\times 75\times 0,2^n&75-\times 75\times 0,2^n\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. $0<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=75$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=75$
    Sur le long terme les deux programmes compteront $75$ inscrits.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Si le nombre est $111383$ alors $S=1+1+8+3(1+3)=22$
    $22=2\times 10+2$.
    La clé devrait donc être $2$.
    Le nombre $111383$ ne peut donc pas être celui d’un enfant inscrit à l’association.
    $\quad$
    b. On note $S_1=0+c_3+c_5+3(8+c_4)$ et $S_2=1+c_3+c_5+3(1+c_4)$.
    On veut donc savoir si $S_1-S_2$ est un multiple de $10$.
    $\begin{align*} S_1-S_2&=c_3+c_5+24+3c_4-\left(1+c_3-c_5+3+3c_4\right) \\
    &=24-1-3 \\
    &=20
    \end{align*}$
    La différence $S_1-S_2$ étant un multiple de $10$, les nombres $S_1$ et $S_2$ ont le même reste dans la division euclidienne par $10$.
    L’erreur ne sera donc pas détectée grâce à la clé.
    $\quad$
  2. a. On note $S=c_1+c_3+c_5+3\left(c_2+c_4\right)$ et $S’=c_1+c_4+c_5+3\left(c_2+c_3\right)$
    Si la clé ne détecte pas l’erreur cela signifie donc que :
    $\begin{align*} S\equiv S’ ~~[10] &\ssi c_1+c_3+c_5+ac_2+ac_4 \equiv c_1+c_4+c_5+ac_2+ac_3 ~~[10] \\
    &\ssi c_3+ac_4 \equiv c_4+ac_3 ~~[10] \\
    &\ssi c_3+ac_4-c_4-ac_3 \equiv 0~~[10] \\
    &\ssi (a-1)\left(c_4-c_3\right) \equiv 0 ~~ [10]
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Si $n=0$ alors $np\equiv 0~~[10]$ pour tout entier naturel $p$.
    Si $n=1$ alors $np=p \equiv p~~[10]$. Comme $p$ est compris entre $1$ et $9$ on ne peut pas avoir $np\equiv 0~~[10]$.
    Si $n=2$ alors si $p=5$ on a $np=10\equiv 0~~ [10]$.
    Si $n=3$ alors $np \in\left\{3,6,9,12,15,18,21,24,27\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
    Si $n=4$ alors si $p=5$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
    Si $n=5$ alors si $p=4$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
    Si $n=6$ alors si $p=5$ on a $np=30 \equiv 0~~[10]$.
    Si $n=7$ alors $np\in \left\{7,14,21,28,35,42,49,56,63\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
    Si $n=8$ alors si $p=5$ on a $np=40\equiv 0~~[10]$
    Si $n=9$ alors $np\in\left\{9,18,27,36,45,54,63,72,81\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
    Les entiers $n$ cherchés sont donc $0,2,4,5,6$ et $8$.
    $\quad$
    c. Pour que l’erreur soit détectée il faut donc $a-1$ appartienne à $\left\{1,3,7,9\right\}$
    Soit $a\in\left\{2,4,8\right\}$

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