Bac S – Amérique du Nord – Mai 2015

Amérique du nord – Juin 2015

TS – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Dans l’espace, on considère une pyramide $SABCE$ à base carrée $ABCE$ de centre $O$. Soit $D$ le point de l’espace tel que $\left(\text{O}; \vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OD}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point $S$ a pour coordonnées $(0;0;3)$ dans ce repère.

Bac S - Amérique du nord - Mai 2015 - Ex1

Partie A

 

  1. Soit $U$ le point de la droite $(SB)$ de cote $1$. Construire le point $U$ sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie).
    $\quad$
  2. Soit $V$ le point d’intersection du plan $(AEU)$ et de la droite $(SC)$. Montrer que les droites $(UV)$ et $(BC)$ sont parallèles. Construire le point $V$ sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie).
    $\quad$
  3. Soit $K$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}; – \dfrac{1}{6};0\right)$.
    Montrer que $K$ est le pied de la hauteur issue de $U$ dans le trapèze $AUVE$.
    $\quad$

Partie B

 

Dans cette partie, on admet que l’aire du quadrilatère $AUVE$ est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$.

  1. On admet que le point $U$ a pour coordonnées $\left(0;\dfrac{2}{3}; 1\right)$.
    Vérifier que le plan $(EAU)$ a pour équation $3x – 3y + 5z – 3 = 0$.
    $\quad$
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EAU)$ passant par le point $S$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées de $H$, point d’intersection de la droite $(d)$ et du plan $(EAU)$.
    $\quad$
  4. Le plan $(EAU)$ partage la pyramide $(SABCE)$ en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?
    $\quad$

Annexe 1

Bac S - Amérique du nord - Mai 2015 - Ex1-annexe

 

Exercice 2  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

 

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n;y_n\right)$ de la façon suivante:

$$\begin{cases}
x_0 =- 3\\
y_0 =4
\end{cases} \quad \text{et pour tout entier naturel } n : \begin{cases} x_{n+1}=0,8x_n – 0,6y_n\\ y_{n+1}=0,6x_n + 0,8y_n\end{cases}$$

 

  1. a. Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$.
    $\quad$
    b. Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $i,x,y,t$ : nombres réels
    Initialisation :
    $\quad$ $x$ prend la valeur $-3$
    $y$ prend la valeur $4$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $0$ à $20$
    $\qquad$ Construire le point de coordonnées $(x;y)$
    $\qquad$ $t$ prend la valeur $x$
    $\qquad$ $x$ prend la valeur $\ldots$
    $\qquad$ $y$ prend la valeur $\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$
    Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points $A_0$ à $A_{20}$.
    $\quad$
  2. À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant:
    Bac S - Amérique du nord - Mai 2015 - Ex2.1$\quad$
    Identifier les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$.. On les nommera sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie).
    Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ?
    \end{enumerate}
    $\quad$
  3. Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel.
    Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n$, $ z_n = x_n + \ic y_n$ l’affixe du point $A_n$.
    a. Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,  $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?$\quad$
    b. On admet qu’il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$.
    Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\e^{\ic\theta }z_n = z_{n+ 1}$.
    $\quad$
    c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $z_n = \e^{\ic n\theta }z_0$.
    $\quad$
    d. Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$.
    $\quad$
    e. Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$.
    Représenter $\theta$ sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie).
    Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$.
    $\quad$

 

Annexe 2

Bac S - Amérique du nord - Mai 2015 - Ex2.1 annexe

Exercice 2  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On donne les matrices $M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}$.

Partie A

  1. Déterminer la matrice $M^2$. On donne $M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$.
    $\quad$
  3. En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 – M – 8I\right)$.
    $\quad$

Partie B Étude d’un cas particulier 

On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d’équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points $A(1;1)$, $B( -1;-1)$ et $C(2;5)$.

  1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que $$M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.$$
    $\quad$
  2. Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.
    $\quad$

Partie C Retour au cas général

Les nombres $a$, $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ sont des entiers.

Dans un repère $\Oij$, on considère les points $A(1;p)$, $B( – 1;q)$ et $C(2;r)$.

On cherche des valeurs de $p$, $q$ et $r$ pour qu’il existe une parabole d’équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par $A$, $B$ et $C$.

 

  1. Démontrer que si $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$. avec $a$, $b$ et $c$ entiers. alors $$\begin{cases}- 3p + q + 2r \equiv 0~[6]\\\\3p-3q \equiv 0 ~[6]\\\\6p + 2q-2r \equiv  0~[6] \end{cases}$$
    $\quad$
  2. En déduire que $\begin{cases} q- r \equiv 0 ~[3]\\\\ p – q \equiv 0 ~[2]\end{cases}$.
    $\quad$
  3. Réciproquement, on admet que si $\begin{cases}q- r\equiv& 0~[3]\\\\p – q  \equiv  0~[2] \\\\A, B, C  \text{ ne sont pas alignés }\end{cases}$ alors il existe trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d’équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points $A$, $B$ et $C$.
    $\quad$
  4. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $2r + q – 3p = 0$.
    $\quad$
  5. On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q$, $r$, $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d’équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points $A$, $B$ et $C$.
    $\quad$

Exercice 3  –  4 points

 

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de $100$ grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

Partie A Contrôle avant la mise sur le marché

 

Une tablette de chocolat doit peser $100$ grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre $98$ et $102$ grammes.

La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 100$ et d’écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.

 

  1. Calculer la probabilité de l’événement $M$ : “la tablette est mise sur le marché”.
    $\quad$
  2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne $0,97$.
    Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l’événement “la tablette est mise sur le marché” soit égale à $0,97$.
    $\quad$

Partie B Contrôle à la réception

Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d’humidité qui doit être de $7\%$. On dit alors que la fève est conforme.

L’entreprise a trois fournisseurs différents :

le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième $30\%$ et le dernier apporte $20\%$ du stock.

Pour le premier, $98\%$ de sa production respecte le taux d’humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, $90\%$ de sa production est conforme, et le troisième fournit $20\%$ de fèves non conformes.

On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l’événement “la fève provient du fournisseur $i$”, pour $i$ prenant les valeurs $1$, $2$ ou $3$, et $C$ l’événement “la fève est conforme”.

  1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$.
    $\quad$
  2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que $92\%$ de fèves qu’elle achète soient conformes.
    Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
    $\quad$

 

 

Exercice 4  –  6 points

 

Partie A

 

Soit $u$ la fonction définie sur $]0;+ \infty[$ par $$u(x) = \ln(x) + x – 3.$$

  1. Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    $\quad$
  2. Démontrer que l’équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre $2$ et $3$.
    $\quad$
  3. En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $$f(x) = \left( 1 – \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) – 2] + 2.$$

On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+ \infty[$, $f’(x) = \dfrac{u(x)}{x^2}$ où $u$ est la fonction définie dans la partie A.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    $\quad$

 

Partie C

 

Soit $\mathscr{C}’$ la courbe d’équation $y = \ln (x)$.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+ \infty[$, $f(x) – \ln(x) = \dfrac{2 – \ln (x)}{x}$.
    En déduire que les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $H$ définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par
    $$H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2$$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$.
    Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\e^2}\dfrac{2 – \ln x}{x}\mathrm{d}x$.
    Interpréter graphiquement ce résultat.