Antilles Guyane – Juin 2015

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.
Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0;+ \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l’exercice est d’étudier l’intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$.

Partie A

On a construit en annexe 1 (à rendre avec la copie) les courbes $\mathscr{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.

Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n’est demandée.
$\quad$
Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d’intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$.
$\quad$

Partie B

Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $$h_a(x) = \ln x – ax^2.$$

Justifier que $x$ est l’abscisse d’un point $M$ appartenant à l’intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$
$\quad$
a. On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0;+ \infty[$, et on note $h’_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle.
Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous.
Justifier, par le calcul, le signe de $h’_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0;+ \infty[$.

b. Rappeler la limite de $\dfrac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$.
On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$.
$\quad$
Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$.
a. Justifier que, dans l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l’équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution.
On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{\sqrt{0,2}};+ \infty \right[$.
$\quad$
b. Quel est le nombre de points d’intersection de $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ?
$\quad$
Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \dfrac{1}{2\e}$.
a. Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\e}}$.
$\quad$
b. En déduire le nombre de points d’intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\e}}$. Justifier.
$\quad$
Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathscr{C}$ et $\Gamma_{a}$ n’ont aucun point d’intersection ?
Justifier.
$\quad$
Annexe 1

Exercice 2 – 5 points

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B

Partie A

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, $$P(X \le a) = \int_0^a \lambda\e^{- \lambda t}\mathrm{d}t.$$

On se propose de calculer l’espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par $$E(X) = \lim_\limits{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \e^{- \lambda t}\mathrm{d}t.$$

On note $\R$ l’ensemble des nombres réels.

On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = – \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\e^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda t \e^{- \lambda t}$.

Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que $$ \int_0^x \lambda t \e^{- \lambda t}\mathrm{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \e^{- \lambda x} – \e^{- \lambda x} + 1\right).$$
En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
$\quad$

Partie B

La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
La courbe de la fonction densité associée est représentée en annexe 2.

Sur le graphique de l’annexe 2 (à rendre avec la copie) :
a. Représenter la probabilité $P(X \le 1)$.
$\quad$
b. Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$.
$\quad$
c. On suppose que $E(X) = 2$.
$\quad$
Que représente dans le cadre de l’exercice la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ?
$\quad$
Calculer la valeur de $\lambda$.
$\quad$
Calculer $P(X \le 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près.
Interpréter ce résultat.
$\quad$
Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.
$\quad$

Partie C

Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés $1$ et $2$.
On note $D_1$ l’événement “le composant 1 est défaillant avant un an” et on note $D_2$ l’événement “le composant 2 est défaillant avant un an”.
On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

Lorsque les deux composants sont montés “en parallèle”, le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.
$\quad$
Lorsque les deux composants sont montés “en série”, le circuit B est défaillant dès que l’un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.
$\quad$

Annexe 2

Exercice 3 – 4 points

Partie A

On appelle $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé $\Ouv$ on a placé un point $M$ d’affixe $z$ appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre $O$ passant par $M$ et du demi-axe $\left[O;\vec{u}\right)$.

Exprimer l’affixe du point $R$ en fonction de $z$.
$\quad$
Soit le point $M’$ d’affixe $z’$ définie par $$z’ = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .$$
Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M’$.
$\quad$

Partie B

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : $$z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.$$

Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$.

Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ?
$\quad$
Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ?
$\quad$
On suppose désormais que $z_0 $n’est pas un nombre réel.
a. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ?
$\quad$
b. Démontrer cette conjecture, puis conclure.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

Variables :
$\quad$ $k$ et $p$ sont des entiers naturels
$\quad$ $u$ est un réel
Entrée :
$\quad$ Demander la valeur de $p$
Traitement :
$\quad$: Affecter à $u$ la valeur $5$
$\quad$ Pour $k$ variant de 1 à $p$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k – 1) – 1,5$
$\quad$ Fin de pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$

Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
$\quad$

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par $$u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n – 1,5.$$

Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$.
$\quad$
À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
n &1 &2 &3 &4\\
\hline
u_n &1 &- 0,5 & -0,75 &- 0,375\\
\hline
\end{array}$$
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ?
Justifier.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$.
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n – 0,1n + 0,5$.
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n = 10 \times 0,5^n + n – 5.$$
$\quad$
Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
On considère l’algorithme suivant :

Variables :
$\quad$ $c$ est un entier naturel
$\quad$ $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls
Entrées :
$\quad$ Demander $a$
$\quad$ Demander $b$
Traitement :
Affecter à $c$ le nombre $r(a,b)$
$\quad$ Tant que $c \ne 0$
$\qquad$ Affecter à $a$ le nombre $b$
$\qquad$ Affecter à $b$ la valeur de $c$
$\qquad$ Affecter à $c$ le nombre $r(a,b)$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $b$
$\quad$

Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape.
$\quad$
Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$.
Le modifier pour qu’il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou non.
$\quad$

Partie B

À chaque lettre de l’alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 : on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$.
Étape 2 : à la lettre que l’on veut coder, on associe l’entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus.
Étape 3 : on calcule l’entier $x’$ défini par les relations $$x’ \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \le x’ \le 25.$$
Étape 4 : à l’entier $x’$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$.
a. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
$\quad$
b. Citer le théorème qui permet d’affirmer l’existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,v)$ qui convient.
$\quad$
c. Démontrer que $x’ \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x’ + 20\quad [26]$.
$\quad$
d. Décoder la lettre R.
$\quad$
Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D.
Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique).
$\quad$
Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?