Bac S – Liban mai 2015

Liban – mai 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

Le sujet de ce bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. a. Déterminons tout d’abord les coordonnées de quelques points :
    $I(0,5;0;0)$, $J(0;0,5;1)$, $K(1;0,5;0)$, $F(1;0;1)$ et $D(0;1;0)$
    Ainsi $\vec{IJ}(-0,5;0,5;1)$, $\vec{IK}(0,5;0,5;0)$ et $\vec{DF}(1;-1;1)$.
    Les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ ne sont clairement pas colinéaires. Ils définissent donc bien le plan $(IJK)$.
    $\vec{DF}.\vec{IJ} = -0,5 \times 1 + 0,5 \times (-1) + 1 \times 1 = 0$.
    $\vec{DF}.\vec{IK} = 0,5 \times 1 + 0,5 \times (-1) + 0 \times 1 = 0$.
    Ainsi le vecteur $\vec{DF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. C’est donc un vecteur normal de ce plan.
    La droite $(DF)$ est bien orthogonale au plan $(IJK)$.
    $\quad$
    b. Une équation du plan $(IJK)$ est donc de la forme :
    $$x-y+z+d=0$$
    Le point $I(0,5;0;0)$ appartient au plan donc
    $$0,5 + d =0 \ssi d=-0,5$$
    Une équation du plan $(IJK)$ est donc :
    $$x-y+z-0,5 = 0$$
    $\quad$
  2. En utilisant le point $F$ et le vecteur $\vec{DF}$ ont obtient la représentation paramétrique suivante de la droite $(DF)$ :
    $$\begin{cases} x=1 +t \\\\y=-t \\\\z=1+t \end{cases} \qquad t\in \R$$
    $\quad$
  3. Les coordonnées du point $M$ vérifient à la fois les équations de $(DF)$ et l’équation de $(IJK)$.
    On obtient ainsi :
    $1+t – (-t)+1+t-0,5= 0 \ssi 3t = -1,5 \ssi t = -0,5$
    On utilise cette valeur de $t$ dans les équations de $(DF)$ pour trouver les coordonnées de $M$ :
    $$\begin{cases} x_M = 0,5 \\\\y_M=0,5 \\\\z_M=0,5 \end{cases}$$
    $\quad$
  4. $IJ = \sqrt{(-0,5)^2+0,5^2+1^2} = \sqrt{1,5}$
    $IK = \sqrt{0,5^2+0,5^2} = \sqrt{0,5}$
    $KJ = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}$
    Dans le triangle $IJK$ le plus grand côté est $KJ$.
    Or $KJ^2 = 2$ et $IJ^2+IK^2 = 1,5+0,5=2$
    Ainsi $KJ^2=IJ^2+IK^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $IJK$ est rectangle en $I$.
    L’aire de $IJK$ est $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{1,5} \times \sqrt{0,5}}{2}= \dfrac{\sqrt{0,75}}{2}$.
    $\quad$
  5. $[MF]$ est la hauteur issue de $F$ du tétraèdre $FIJK$.
    $MF^2=(1-0,5)^2+(-0,5)^2+(-0,5)^2 = 1,125$ ainsi $MF=\sqrt{0,75}$
    Donc le volume de $FIJK$ est :
    $$\mathscr{V} = \dfrac{\sqrt{0,75}\times \sqrt{0,75}}{6} = \dfrac{0,75}{6} = \dfrac{1}{8}$$
    $\quad$
  6. On a $\vec{IJ}(-0,5;0,5;1)$ et $\vec{KL}(1;0,5;0)$.
    Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.
    Regardons si les droites sont sécantes.
    Une représentation paramétrique de $(IJ)$ est $$\begin{cases}x=0,5 -0,5t\\\\y=0,5t\\\\z=t\end{cases} \qquad t\in\R$$
    Une représentation paramétrique de $(KL)$ est $$\begin{cases} x=1 \\\\y=0,5+0,5k \\\\z=0,5k\end{cases} \qquad k\in\R$$
    Résolvons le système :
    $$\begin{align*}
    \begin{cases}0,5-0,5t=1 \\\\0,5t=0,5+0,5k\\\\t=0,5k \end{cases} &\ssi \begin{cases}t=-1 \\\\-0,5=0,5+0,5k\\\\-1=0,5k \end{cases} \\\\
    &\ssi \begin{cases} t=-1\\\\k=-2\\\\k=-2 \end{cases} \end{align*}$$
    Les deux droites sont donc sécantes.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait aussi vérifier que le point $L$ appartient bien au plan $(IJK)$.
    On obtient ainsi deux droites coplanaires non parallèles donc sécantes.

 

$\quad$

Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} u_0 &=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\mathrm{d}x \\\\
    &= \left[\ln(1+x)\right]_0^1 \\\\
    &=\ln 2 – \ln 1 \\\\
    &=\ln 2
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} u_{n+1}+u_n &= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x} \mathrm{d}x + \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x \\\\
    &= \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\mathrm{d}x \\\\
    &=\int_0^1 \dfrac{x^n(1+x)}{1+x}\mathrm{d}x\\\\
    &=\int_0^1 x^n \mathrm{d}x \\\\
    &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 \\\\
    &=\dfrac{1}{n+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a ainsi $u_1+u_0 = 1 \ssi u_1 = 1 – \ln 2$
    $\quad$
  3. a. $\quad$
    Variables :
    $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $u$ est un réel
    Entrée :
    $\quad$ Saisir $n$
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\ln 2$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$
    $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{i} – u$
    $\quad$ Fin de Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$
    b. La suite $(u_n)$ semble être décroissante et converger vers $0$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x – \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x \\\\
    &= \int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+x} \mathrm{d}x
    \end{align*}$
    Or sur $[0;1]$, $x^n \ge 0$, $1+x > 0$ et $x-1 \le 0$
    Donc $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{1+x}\mathrm{d}x \le 0$ (puisque la fonction qu’on intègre est continue sur $[0;1]$).
    Ainsi la suite $(u_n)$ est décroissante.
    b. La fonction définie sur $[0;1]$ par $x \mapsto \dfrac{x^n}{1+x}$ est continue et positive pour tout $n$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 0$.
    La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. On a, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}+u_n = \dfrac{1}{n+1}$.
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0$,  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$ et  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = l$
    Donc $l + l = 0$ soit $l = 0$

$\quad$

Exercice 3

  1. La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ de dérivée elle-même.
    La tangente au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=\e^1(x-1) + \e^1$ soit $y=\e x$.
    Ainsi $\mathscr{D}_{\e}$ est bien tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. On peut conjecturer que :
    – si $0\< m<\e$ il n’y a pas de point d’intersection
    – si $m=\e$ il y a un point d’intersection
    – si $m>\e$ il y a deux points d’intersection
    $\quad$
  3. On appelle $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par $f_m(x)= \e^x-mx$
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables.
    $f_m'(x)=\e^x-m$.
    $f_m'(x) > 0 \ssi x > \ln m$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    bac S - liban mai 2015 - ex3-2
    En effet $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \e^x \left(1 – mx\e^{-x}\right) = +\infty$.
    Et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x = 0$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_m(x) = +\infty$
    Si $0\< m < 1$ alors $m – m\ln m >0$ et la fonction $f_m$ est toujours positive sur $\R$.
    $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}_m$ n’ont donc aucun point en commun.
    $\quad$
    Si $m=\e$ il n’y a qu’un seul point commun car $m-m\ln m = 0$
    $\quad$
    Si $m> \e$ alors $m – m\ln m = m(1-\ln m) <0$.
    La fonction $f_m$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty;\ln m]$
    De plus $0 \in ]m – m\ln m;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f_m(x)=0$ possède une unique solution sur $]-\infty;\ln m]$
    La fonction $f_m$ est continue et strictement croissante sur $[\ln m;+\infty[$
    De plus $0 \in ]m – m\ln m;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f_m(x)=0$ possède une unique solution sur $[\ln m;+\infty[$
    Il y a donc bien 2 points d’intersection.

$\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. $\quad$
    bac S - liban mai 2015 - ex4
  2. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*} p(V) &= 0,47 \times 0,9 + 0,53 \times 0,8 \\\\
    & = 0,847
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. $p_V(A) = \dfrac{p(V \cap A)}{p(V)} = \dfrac{0,47 \times 0,9}{0,847}$ $=\dfrac{423}{847}$
    $\quad$
  3. La probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est donnée par :
    $$\begin{align*} p(A \cap V) + p\left(B \cap \overline{V}\right) &= 0,47 \times 0,9 + 0,53 \times 0,2 \\\\
    &= 0,529
    \end{align*}$$
    $\quad$
  4. On a $n= 1~200 > 30$ et $f=0,529$
    Donc $nf = 634,8 >5$ et $n(1-f) = 565,2 > 5$
    On peut donc déterminer un intervalle de confiance :
    $\begin{align*} I_{1~200} &= \left[0,529 – \dfrac{1}{\sqrt{1~200}};0,529 + \dfrac{1}{\sqrt{1~200}}\right] \\\\
    & \approx [0,5001;0,5579]
    \end{align*}$
    Or $0,5001 > 0,5$ donc le candidat A peut croire ne sa victoire.
    $\quad$
  5. Soit $n$ le nombre de demi-heure nécessaires à cette enquête.
    On a ainsi contacté $10n$ personnes et $10n \times 0,4 = 4n$ personnes ont répondu à cette enquête.
    On veut donc que $4n = 1~200$ soit $n = 300$.
    Il faut donc prévoir $300$ demi-heure soit $150$ heures pour que l’institut parvienne à son objectif.

$\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a $p_1 = 0,9p_0 + 0,4q_0 = 0,4$ et $q_1 = 1 – p_1 = 0,6$.
    $\quad$
  2. En $B3$ on peut écrire : $=0,9*B2+0,4*C2$ et en $C3$ on peut écrire $=1-B3$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} A+0,5B &= \begin{pmatrix} 0,8&0,8 \\0,2& 0,2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0,1&-0,4\\-0,1&0,4 \end{pmatrix} \\\\
    &= \begin{pmatrix} 0,9&0,4 \\0,1&0,6 \end{pmatrix} \\\\
    &= M
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\quad$
    $A^2 = \begin{pmatrix} 0,8^2 + 0,8 \times 0,2&0,8^2 + 0,8 \times 0,2 \\0,8\times 0,2 + 0,2^2&0,2\times 0,8 + 0,2^2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0,8 &  0,8 \\0,2&0,2\end{pmatrix}$ $=A$.
    $\quad$
    $A \times B = \begin{pmatrix} 0,8 \times 0,2 – 0,8 \times 0,2 & -0,8^2+0,8^2 \\0,2^2 – 0,2^2 & -0,8 \times 0,2 + 0,2 \times 0,8\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    $B \times A = \begin{pmatrix}  0,2 \times 0,8 – 0,8 \times 0,2 & 0,2 \times 0,8 – 0,8\times 0,2 \\-0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 & -0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Montrions le résultat par récurrence.
    Initialisation : si $n=0$ alors $M^0 = \text{Id}$ et $A+0,5^0B = A+B = \text{Id}$
    La propriété est donc vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=A+0,5^nB$.
    $\begin{align*} M^{n+1} &= M \times M^n \\\\
    &=(A+0,5B)\left(A + 0,5^nB\right) \\\\
    &=A^2 +0,5^nAB + 0,5AB + 0,5^{n+1}B \\\\
    &= A+0,5^{n+1}B
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $M^n = A +0,5^nB$.
    $\quad$
    d. On a $X_n = M^n \times X_0$
    Or $M^n = \begin{pmatrix} 0,8 + 0,5^n \times 0,2&0,8 – 0,5^n \times 0,8 \\0,2 – 0,5 ^n \times 0,2 & 0,2 + 0,5^n \times 0,8 \end{pmatrix}$
    Et $X_0 = \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$
    Donc $p_n = 0,8 – 0,5^n \times 0,8
    $\quad$
    e. $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = 0,8$.
    Le fumeur a donc de grande chance d’arrêter de fumer mais, puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n \neq 1$, on ne peut pas l’affirmer avec certitude.