Bac S – Nouvelle Calédonie – mars 2015

Nouvelle Calédonie – Mars 2015

Bac S – Mathématiques 

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

 

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\Oij$.

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

On note $\Delta_a$ la droite d’équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal $\Oij$.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d’intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$.

Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par $$f_a(x) = \text{e}^x – ax.$$

On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels.

 

  1. Étude du cas particulier  $a = 2$
    La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x – 2x$.
    a. Étudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations sur $\R$ (on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition).
    $\quad$
    b. En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n’ont pas de point d’intersection.
    $\quad$
  2. Étude du cas général où $a$ est un réel strictement positif
    a. Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f_a$ sur $\R$. Montrer alors que le minimum sur $\R$ de la fonction $f_a$ est $a – a \ln a$.
    $\quad$
    c. Étudier le signe de $a – a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
    $\quad$
    d. Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.
    $\quad$

 

 

Exercice 2  –  5 points

 

Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.

À la sortie de fabrication, $5\%$ d’entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.

On dit qu’une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à $1~000$ heures. On observe que $2\%$ des puces livrées ont une durée de vie courte.

On note $L$ l’événement “La puce est livrée”.

On note $C$ l’événement “La puce a une durée de vie courte c’est-à-dire inférieure ou égale à $1~000$ heures”.

Étant donné deux événements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l’événement $B$ sachant que l’événement $A$ est réalisé.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

 

  1. On tire au hasard une puce fabriquée par l’entreprise.
    a. Donner la valeur $P_L(C)$.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à $1~000$ heures?
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaîne de fabrication ?
    $\quad$
    Dans la suite de l’exercice on s’intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d’une telle puce.
    On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
    a. Montrer que $\lambda = \dfrac{ – \ln (0,98)}{1~000}$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’une puce ait une durée de vie supérieure à $10~000$ heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    c. Calculer $P(20~000 \le X \le 30~000)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  3. Les ingénieurs de l’entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu’avec ce nouveau procédé la probabilité qu’une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à $0,003$.
    On prélève au hasard $15~000$ puces prêtes à être livrées. On admettra que ce prélèvement de $15~000$ puces revient à effectuer un tirage avec remise de $15~000$ puces parmi l’ensemble de toutes les puces électroniques produites par l’entreprise et prêtes à être livrées.
    On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
    a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 15~000$ et $p = 0,003$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $Y$.
    $\quad$
    c. Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \le Y \le 50)$.
    $\quad$

 

Exercice 3  –  5 points

 

L’espace est rapporté au repère orthonormé $\Oijk$. On désigne par $\R$ l’ensemble des nombres réels.

On rappelle que deux droites de l’espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.

 

Soient le point $A_1$ de coordonnées $(0; 2 ; -1)$ et le vecteur $\vec{u_1}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$.

On appelle $D_1$ la droite passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{u_1}$.

On appelle $D_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=1+k \\\\y=-2k  z=2k \end{cases}\quad k \in \R$.

 

Le but de l’exercice est de prouver l’existence d’une droite perpendiculaire à la fois à $D_1$ et $D_2$.

  1. a. Donner une représentation paramétrique de $D_1$.
    $\quad$
    b. Donner un vecteur directeur de $D_2$ (on le notera $\vec{u_2}$).
    $\quad$
    c. Le point $A_2(- 1;4;2)$ appartient-il à $D_2$ ?
    $\quad$
  2. Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont non coplanaires.
    $\quad$
  3. Soit le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$. On définit la droite $\Delta_1$ passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ et la droite $\Delta_2$ passant par $A_2$ et parallèle à $\Delta_1$.
    Justifier que les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    Dans la suite, on admettra que les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires.
  4. Soit $P_1$ le plan défini par les droites $D_1$ et $\Delta_1$ et $P_2$ le plan défini par les droites $D_2$ et $\Delta_2$.
    a. Soit le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$. Vérifier que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$.
    $\quad$
    b. Montrer que $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  5. Soit $\Delta$ la droite d’intersection des plans $P_1$ et $P_2$. On admettra que le vecteur $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
    Utiliser les questions précédentes pour prouver qu’il existe une droite de l’espace perpendiculaire à la fois à $D_1$ et à $D_2$.
    $\quad$

Exercice 4 –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

 

On note $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n$, par $$u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \begin{cases}  u_{n+1}=\sqrt{3}u_n – v_n\\\\ v_{n+1} =u_n + \sqrt{3}v_n \end{cases}.$$

 

  1. Calculer les valeurs de $u_1$, $v_1$, $u_2$, $v_2$.
    $\quad$
  2. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier naturel $N$ donné.
    a. On donne l’algorithme suivant :
    Entrée :
    $\quad$ $N$ est un nombre entier
    Variables :
    $\quad$ $K$ est un nombre entier
    $\quad$ $S$ est un nombre réel
    $\quad$ $T$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter $1$ à $S$
    $\quad$ Affecter $0$ à $T$
    $\quad$ Affecter $0$ à $K$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $K < N$
    $\qquad$ Affecter $\sqrt{3}S – T$ à $S$
    $\qquad$ Affecter $S + \sqrt{3} T$ à $T$
    $\qquad$ Affecter $K + 1$ à $K$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $S$
    $\quad$ Afficher $T$
    $\quad$
    Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2$. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous :
    $$ \begin{array} {|c|c|c|}
    \hline
    S   &T  &K\\\\
    \hline
    1 &0 &0\\\\
    \hline
    \sqrt{3} &\sqrt{3} &1\\\\
    \hline
    & &\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$ donné ?
    Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l’algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$.
    $\quad$
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $z_n = u_n + \ic v_n$.
    On note $a$ le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \ic$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ $$ z_{n+1} = az_n.$$
    $\quad$
    b. Écrire $a$ sous forme exponentielle.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ $$ \begin{cases} u_n = 2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\\\v_n=2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right) \end{cases}$$