Bac S – Nouvelle Calédonie – Mars 2016

Nouvelle Calédonie – Mars 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

La situation peut-être modélisée par cet arbre pondéré.

bac S - nouvelle calédonie - mars 2016 -ex1

  1. a. On veut calculer $p(A\cap L)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{40}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p(L)&=p(A\cap L)+p(D\cap L) \\
    &=\dfrac{3}{40}+\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{5} \\
    &= \dfrac{21}{40}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer $p_L(D)=\dfrac{p(L\cap D)}{p(L)}$ $=\dfrac{\dfrac{9}{20}}{\dfrac{21}{40}}$ $=\dfrac{6}{7}$
    $\quad$
  2. On veut calculer $p_S(A)$.
    Les médailles représentant le château de Saumur sont exclusivement argentées. Donc $p_S(A)=1$.
    $\quad$

Partie B

  1. $P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,904$.
    Donc $p(C)=1-P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,096$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. $6\%$ des pièces ne sont pas conformes. Par conséquent $94\%$ des pièces le sont.
    Donc :
    $\begin{align*} P(9,9 \le Y \le 10,1) = 0,94
    &\ssi P(-0,1 \le Y -10 \le 0,1)=0,94 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le \dfrac{Y-10}{\sigma} \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le Z \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right)-1 = 0,94 \\
    &\ssi 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 1,94 \\
    &\ssi P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,97 \\
    \end{align*}$
    A l’aide de la calculatrice on trouve que $\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 1,881$ et donc $\sigma \approx 0,053$.
    $\quad$

Exercice 2

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[0;16]$ en tant que composée et somme de fonction continues sur cet intervalle.

Pour tout réel $x$, $1-\cos x \ge 0$ donc $f(x) \le g(x)$. et $f(x)=g(x)  \ssi x=2k\pi $ où $k\in \Z$.

Par conséquent l’abscisse de $A$ est $2\pi$ et celle de $B$ est $4\pi$.

Il s’agit alors de calculer l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=2\pi$ dans un premier temps et $x=2\pi$^et $x=4\pi$.

On veut donc comparer $\displaystyle I=\int_0^{2\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$ et $\displaystyle I=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$.

Or $g(x)-f(x)=1-\cos x$.

Donc

$\begin{align*} I&=\int_0^{2\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
&=\left[x-\sin x\right]_0^{2\pi} \\
&= 2\pi
\end{align*}$

$\begin{align*} J&=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
&=\left[x-\sin x\right]_{2\pi}^{4\pi} \\
&= 4\pi-2\pi \\
&=2\pi
\end{align*}$

$\quad$

Exercice 3

  1. Si le point $A(1;1;1)$ appartient au plan $P_m$ alors ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
    $\dfrac{1}{4}m^2+m-1+\dfrac{1}{2}m-3 = 0$
    $\ssi \dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{3}{2}m-4=0$
    $\ssi m^2 + 6m-16=0$
    $\Delta = 36+4\times 16 = 100>0$
    Il y a donc deux racines réelles $m_1 = \dfrac{-6-\sqrt{100}}{2} = -8$ et $m_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2}=2$.
    Le point $A$ appartient donc au plan $P_m$ si $m=-8$ ou si $m=2$.
    $\quad$
  2. Une équation de $P_1$ est $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$
    Une équation de $P_{-4}$ est $4x-5y-2z-3=0$
    $\quad$
    Regardons si la droite $(d)$ est bien incluse dans chacun des deux plans.
    On remplace $x$, $y$ et $z$ par les équations de $(d)$ dans chacune des deux équations.
    Pour $P_1$ : $\dfrac{12-2t}{4}+\dfrac{1}{2}t-3 = 3-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}t-3=0$
    Pour $P_{-4}$ : $4(12-2t)-5(9-2t)-2t-3=48-8t-45+10t-2t-3=0$.
    La droite $(d)$ est donc incluse dans chacun des deux plans.
    $\quad$
    Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
    Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les plans sont donc sécants selon la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. a. Une équation de $P_0$ est $-y-3=0$ soit $y=-3$.
    Cherchons l’ensemble des points de $(d)$ tels que $y=-3$.
    On résout l’équation $9-2t=-3 \ssi 12=2t \ssi t=6$.
    La droite $(d)$ et le plan $P_0$ ont donc le point $B(0;-3;6)$ comme intersection.
    $\quad$
    b. Regardons si les coordonnées de $B$ vérifient l’équation de $P_m$ pour tout $m$.
    $\dfrac{1}{4}m^2 \times 0 – 3(m-1)+\dfrac{6m}{2}-3 = -3m+3+3m-3=0$
    Donc $B$ appartient bien à $P_m$ pour tout réel $m$.
    $\quad$
    c. Supposons qu’il existe un autre point $C$ commun à tous les plans $P_m$.
    La droite $(d)$ étant l’intersection des plans $P_1$ et $P_{-4}$ cela signifie que ce point $C$ appartient à $(d)$.
    Or la droite $(d)$ et le plan $P_0$ n’ont que le point $B$ en commun.
    Ainsi le point $B$ est l’unique point commun à tous les plans $P_m$.
    $\quad$
  4. a. On sait que :
    – Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
    – Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
    Or $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_{-4}} = 1 + 0-1 = 0$.
    Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal à $P_m$ est $\overrightarrow{n_m}\left(\dfrac{1}{4}m^2;m-1;\dfrac{m}{2}\right)$.
    b. Un vecteur normal à $P_{m’}$ est $\overrightarrow{n_{m’}}\left(\dfrac{1}{4}m’^2;m’-1;\dfrac{m’}{2}\right)$
    $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=0$
    Or $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=\dfrac{\left(mm’\right)^2}{16}+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4}$.
    Par conséquent, $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\left(\dfrac{mm’}{4}\right)^2+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4} = 0$.
    $\quad$
    c. Cet algorithme fournit tous les couples $\left(m;m’\right)$ d’entiers appartenant à $[-10;10]$ pour lesquels $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires.
    Remarque : Il fallait voir que la condition dans le test SI est équivalente à la condition vue en 4.b. (il suffit de diviser par $16$).
    $\quad$
    d. Si un couple $\left(m;m’\right)$ convient alors le couple $\left(m’;m\right)$ convient également.
    Les six couples d’entiers sont donc $(-4;1)$, $(1;-4)$, $(0;1)$, $(1;0)$, $(5;-4)$ et $(-4;5)$.
    Ils apparaîtront dans l’ordre suivant : $(-4;1)$, $(-4;5)$, $(0;1)$, $(1;-4)$, $(1;0)$ et $(5;-4)$.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a.
    $$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\e^{\ic \frac{\pi}{6}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+\ic \sin \dfrac{\pi}{6}\right) \\\\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right) \\\\
    &=1+\dfrac{\ic}{\sqrt{3}} \\\\
    &=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ic
    \end{align*}$$
    $\quad$
    b. $z_1 = \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times 1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\e^{\ic \frac{\pi}{6}}$
    $z_2 = \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\e^{\ic \frac{\pi}{6}}\right)^2 =\dfrac{4}{3}\e^{\ic\frac{\pi}{3}}$
    $\quad$
  2. a. Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^0\e^{\ic\times 0}=1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\e^{\ic n\frac{\pi}{6}}$
    $\begin{align*} z_{n+1} &=\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
    &= \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\e^{\ic n\frac{\pi}{6}} \\\\
    &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1}\e^{\ic (n+1)\frac{\pi}{6}}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\e^{\ic n\frac{\pi}{6}}$
    $\quad$
    b. $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si, et seulement si, $A_n$ est sur l’axe des réels
    si, et seulement si, $z_n$ est réel
    si, et seulement si, $n\dfrac{\pi}{6} =k\pi$ avec $k\in \Z$
    si, et seulement si, $n$ est un multiple de $6$
    $\quad$
  3. a. $d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right| = A_nA_{n+1}$
    $d_n$ est donc la distance séparant les points $A_{n+1}$ et $A_n$.
    $\quad$
    b. $d_0=\left|1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right|$ $=\left|\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $\begin{align*} z_{n+2}-z_{n+1} &= \left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_{n+1}-\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
    &=\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. Par conséquent :
    $\begin{align*} d_{n+1} &=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right| \\\\
    &=\left|\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right) \right| \\\\
    &= \left|\left(1+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right| \times \left|z_{n+1}-z_{n}\right| \\\\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}d_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ et de premier terme $d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} \left|z_n\right|^2+d_n^2 &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \dfrac{4}{3} \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \\\\
    &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2} \\\\
    &=\left|z_{n+1}\right|^2
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Dans le triangle $OA_nA_{n+1}$ on a :
    $\begin{align*} OA_{n+1}^2 &= \left|z_{n+1}\right|^2  \\
    &= \left|z_n\right|^2+d_n^2 \\
    &=OA_n^2+A_nA_{n+1}^2
    \end{align*}$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
    $\quad$
    c. $\quad$
    bac S - nouvelle calédonie - mars 2016 -ex4d. On trace la droite $\left(OA_4\right)$ et on reporte la longueur $OA_4$ afin de placer le point $A$ symétrique de $O$ par rapport à $A_4$.
    A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $[AO]$. Cela nous permet de tracer la droite perpendiculaire à $\left[OA_4\right]$ passant par $A_4$.
    A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $\left[OA_6\right]$. On obtient le milieu $I$ de $\left[OA_6\right]$.
    On trace le demi-cercle de diamètre $\left[OA_6\right]$ situé au-dessus de l’axe des abscisses.
    Les triangles $OA_5A_4$ et $OA_5A_6$ étant respectivement rectangles en $A_4$ et $A_5$, le point $A_5$ appartient à la médiatrice de $[AO]$ et au demi-cercle.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $L$ est associé au nombre $11$.
    $7\times 11+5 = 82 \equiv 4\quad[26]$
    $4$ correspond à la lettre $E$.
    Ainsi $L$ est codé en $E$.
    $\quad$
  2. a. Si $k\equiv 7x \quad[26]$ alors $15k \equiv 105x \quad [26] \equiv x \quad [26]$.
    $\quad$
    b. Si $15k\equiv x \quad [26]$ alors $105k \equiv 7x \quad [26]$ soit $k\equiv 7x \quad [26]$.
    $\quad$
    c. $y\equiv 7x+5 \quad [26]$
    équivaut à $7x \equiv y-5 \quad [26]$
    équivaut à, d’après la question 2.a. $x \equiv 15(y-5) \quad [26]$
    équivaut à $x \equiv 15y – 75 \quad [26]$
    équivaut à $x \equiv 15y +3  \quad [26]$
    $\quad$
  3. La lettre $E$ est associée au nombre $4$.
    Donc $y=4$ et $x \equiv 15 \times 4+3 \quad [26] \equiv 63 \quad [26]$ $\equiv 11 \quad [26]$.
    Ainsi $E$ se décode en $L$.
    $\quad$

Partie B

Montrons le résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^0-\dfrac{5}{6}$ $ = a_0+\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}$ $=a_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$

Donc :

$$\begin{align*} a_{n+1} &=7a_n+5 \\\\
&=7 \left(\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}\right)+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{35}{6}+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{5}{6}
\end{align*}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$.

Partie C

La lettre $Q$ est associée au nombre $16$
Le chiffrement affine a été appliqué six fois pour obtenir la lettre $Q$.
Pour retrouver la lettre initiale on va déterminer la valeur de $b_6$ quand $b_0=16$.

Ainsi $b_6=184~690~848 \equiv 4\quad [26]$

Ainsi $Q$ se décode en $E$.

$\quad$