Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2013

Nouvelle Calédonie – Novembre 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $$f(x) = \e^x + \dfrac{1}{x}.$$

  1. Étude d’une fonction auxiliaire
    a.
    Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0; +\infty[$ par $$g(x) = x^2\e^x – 1.$$
    Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0; +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
    Démontrer que $a$ appartient à l’intervalle $[0,703;0,704[$.
    $\quad$
    c. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Étude de la fonction $f$
    a. 
    Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    $\quad$
    b. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    Démontrer que pour tout réel strictement positif $x$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    c. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
    $\quad$
    e. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.$$

PARTIE A

On considère l’algorithme suivant :

Variables :
$\quad$ $N$ est un entier
$\quad$ $U$, $V$, $W$ sont des réels
$\quad$ $K$ est un entier
Début :
$\quad$ Affecter $0$ à $K$
$\quad$ Affecter $2$ à $U$
$\quad$ Affecter $10$ à $V$
$\quad$ Saisir $N$
$\quad$ Tant que $K < N$
$\qquad$ Affecter $K + 1$ à $K$
$\qquad$ Affecter $U$ à $W$
$\qquad$ Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$
$\qquad$ Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$ à $V$
$\quad$ Fin tant que
$\quad$ Afficher $U$
$\quad$ Afficher $V$
Fin

On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
K & W& U & V \\
\hline
0& & & \\
\hline
1 & & &\\
\hline
2 & & & \\
\hline
\end{array}$$

PARTIE B

  1. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} – u_{n}\right)$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} – u_{n}$.
    Montrer que pour tout entier naturel $n$, $w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \le 10$ et $v_{n} \ge 2$.
    $\quad$
    c.  En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
    $\quad$
  3. Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
    $\quad$
  4. Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante.
    En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième

Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à $9$ mm ou supérieur à $11$ mm.

Partie A

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm.
    On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $10$ et d’écart-type $0,4$.
    Montrer qu’une valeur approchée à $0,000~1$ près de la probabilité qu’une bille soit hors norme est $0,012~4$. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
    $\quad$
  2. On met en place un contrôle de production tel que $98\%$ des billes hors norme sont écartés et $99\%$ des billes correctes sont conservées.
    On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l’événement : “la bille choisie est aux normes”, $A$ l’événement : “la bille choisie est acceptée à l’issue du contrôle”.
    a. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $A$.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme ?
    $\quad$

Partie B

Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de $100$ billes.
On considère que la probabilité qu’une bille soit hors norme est de $0,012~4$.
On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l’ensemble des billes fabriquées.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

  1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
    $\quad$
  2. Quels sont l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?
    $\quad$

Annexe

Bac S - Nouvelle Calédonie - Novembre 2013 - Ex3

Copie d’écran d’une feuille de calcul

Exercice 4  –  5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\Ouv$.
On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition : Pour tout entier naturel $n$ : $(1 + \ic)^{4n} = (- 4)^n$.
    $\quad$
  2. Soit $(E)$ l’équation $(z – 4)\left(z^2 – 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$, de $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire $8$.
    $\quad$
  3. Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha$, $1 + \e^{2\ic\alpha} = 2\e^{\ic\alpha} \cos(\alpha)$.
    $\quad$
  4. Soit $A$ le point d’affixe $z_A = \dfrac{1}{2}(1 + \ic)$ et $M_{n}$ le point d’affixe $\left(z_A\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition : si $n – 1$ est divisible par $4$, alors les points $O$, $A$ et $M_{n}$ sont alignés.
    $\quad$
  5. Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition : $1 + j + j^2 = 0$.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On note $E$ l’ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.
On note $A$ l’ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l’alphabet et un séparateur entre deux mots, noté “$\star$” considéré comme un caractère.
Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :

  • Premièrement : On associe à chacune des lettres de l’alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre $0$ et $25$, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0$, $b \to 1$, $\ldots z \to 25$.
    On associe au séparateur “$\star$” le nombre $26$.
    $$\begin{array}{l}
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a & b & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n \\\\
    \hline
    \phantom{1}0 & \phantom{1}1 & \phantom{1}2 & \phantom{1}3 & \phantom{1}4 & \phantom{1}5 & \phantom{1}6 & \phantom{1}7 & \phantom{1}8 & \phantom{1}9 & 1 0 & 1 1 & 12 & 13\\\\
    \hline
    \end{array} \\
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    o & p & q & r & s & t & u & v & w & x & y &z  & \star  \\\\
    \hline
    14 & 15 & 13 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\\\
    \hline
    \end{array}
    \end{array}$$
    On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang $1$, $\ldots$, $z$ a pour rang $25$ et le séparateur “$\star$” a pour rang $26$.
  • Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l’application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.
    On remarquera que pour tout $x$ de $E$, $g(x)$ appartient à $E$.
  • Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$.
    $\quad$
    Exemple :
    $s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.
  1. Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c’est-à-dire invariants par $g$.
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo $27$ alors $x \equiv 7y + 6$ modulo $27$.
    En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
    $\quad$
  3. Proposer une méthode de décodage.
    $\quad$
  4. Décoder le mot “$vfv$”.
    $\quad$