Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f(x)=x\e^{-x}-0,1=\dfrac{x}{\e^x}-0,1=\dfrac{1}{\dfrac{\e^x}{x}}-0,1$.
    Or $\lim\limits_{x \to  +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to  +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{\e^x}{x}}$
    Par conséquent $ \lim\limits_{x \to  +\infty} f(x)=-0,1$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de $1-x$.
    Ainsi $f$ est croissante sur $[0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex1
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $[0;1]$ et strictement croissante sur cet intervalle.
    $f(0)=-0,1<0$ et $f(1)=\e^{-1}-0,1 \approx 0,27 >0$.
    Donc $0\in\left[-0,1;\e^{-1}-0,1\right]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  4. La fonction $F$ est dérivable sur $[\alpha;\beta]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-\e^{-x}-\left(-(x+1)\e^{-x}\right)-0,1\\
    &=-\e^{-x}+(x+1)\e^{-x}-0,1\\
    &=(-1+x+1)\e^{-x}-0,1\\
    &=x\e^{-x}-0,1\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $F$ est bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\alpha;\beta]$.
    $\quad$
  5. Calculons dans un premier temps l’aire du domaine compris entre la courbe l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations $x=\alpha$ et $x=\beta$.
    Cette aire vaut :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)\dx \\
    &=F(\beta)-F(\alpha)
    \end{align*}$
    Par conséquent, du fait de la symétrie des deux courbes, l’aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$ vaut :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=2\left(F(\beta)-F(\alpha)\right) \\
    &=2\left(-(\beta+1)\e^{-\beta}-0,1\beta-\left(-(\alpha+1)\e^{-\alpha}-0,1\alpha\right)\right) \\
    &\approx 1,040
    \end{align*}$
    $\quad$
    Le domaine sur chaque axe représente $5$ mètres. L’aire du domaine est donc d’environ $1,040\times 5^2$ soit $26$ m$^2$.
    On devra donc planter $36\times 26 = 936$ plants de tulipes.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=125$.
    Par conséquent, pour tout nombre réel $t$ positif, on a :
    $P(X \pp 125-t)=P(X \pg 125+t)$
    $\quad$
    b. Par conséquent $P(X \pg 129)$ $= P(X \pg 125+4)$ $= P(X \pp 125-4)$ $= P(X \pp 121)$ $=0,023$.
    Ainsi $P(121 \pp X \pp 129)$ $=1-\left(P(X \pp 121)+P(X \pg 129)\right)$ $=0,954$.
    $\quad$
  2. On sait que $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$.
    Or $P(123 \pp X \pp 127)=0,68$
    Par conséquent $125-\sigma \approx 123$ et $\sigma \approx 2$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait faire un raisonnement similaire avec $P(121 \pp X \pp 129) = 0,954$ en utilisant $P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    $\quad$
  3. a. On veut calculer $P(120 \pp X \pp 130) \approx 0,987~6$ à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
    b. On appelle $C$ l’événement “le pot de confiture est conforme” et $M$ l’événement “le pot de confiture a une masse de confiture inférieure à $130$ grammes”.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M\left(\overline{C}\right)&=\dfrac{p\left(\overline{C}\cap M\right)}{p(M)} \\
    &=\dfrac{P(X\pp 120)}{P( X \pp 130)}\\
    &=\dfrac{0,5-P(120 \pp X \pp 125)}{0,5+P(125 \pp X \pp 130)} \\
    &\approx 0,006~2
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On note $n=900 \pg 30$, $p=0,988$ donc $np=889,2 \pg 5$ et $n(1-p)=10,8 \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la masse de confiture dans un pot est :
    $\begin{align*} I_{900}&=\left[0,988-1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}};0,988+1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}}\right] \\
    &\approx [0,980;0,996]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{871}{900} \approx 0,968 \notin I_{900}$.
    On peut donc rejeter, au risque de $5\%$, l’hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $|a|=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=1$
    Donc $a=\e^{3\ic \pi/4}$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f(a)&=\e^{3\ic \pi/4} + \dfrac{1}{\e^{3\ic \pi/4}} \\
    &=\e^{3\ic \pi/4} + \e^{-3\ic \pi/4} \\
    &=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
    &=-\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f(z)=1 &\ssi z+\dfrac{1}{z}=1 \\
    &\ssi z^2+1=z \quad \text{et } z\neq 0 \\
    &\ssi z^2-z+1=0 \quad \text{et} z\neq 0
    \end{align*}$
    $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1 = -3<0$.
    Il y a donc deux racines complexes conjuguées :
    $z_1=\dfrac{1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{1+\ic\sqrt{3}}{2}$
    $\quad$
  3. a. Tout nombre complexe $z$ peut s’écrire sous la forme $z=|z|\e^{\ic \theta}$.
    Or ici $|z|=OM=1$.
    Donc $z$ peut s’écrire sous la forme $z=\e^{\ic \theta}$.
    b.
    $\begin{align*} f(z)&=\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{\e^{\ic \theta}} \\
    &=\e^{\ic \theta}+\e^{-\ic \theta} \\
    &=\cos(\theta)+\ic \sin(\theta)+\cos(-\theta)+\ic \sin(-\theta) \\
    &=\cos(\theta)+\ic \sin(\theta)+\cos(\theta)-\ic \sin(\theta) \\
    &=2\cos(\theta)
    \end{align*}$
    Donc $f(z)$ est un nombre réel.
    Remarque : On a en fait redémontré la formule d’Euler pour le cosinus.
    $\quad$
  4. On note $z=r\e^{\ic \theta}$ avec $r>0$
    $\begin{align*} f(z)&=r\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{r\e^{\ic \theta}} \\
    &=r\e^{\ic \theta}+\dfrac{1}{r}\e^{-\ic \theta} \\
    &=r\cos(\theta)+r\ic \sin(\theta)+\dfrac{1}{r}\cos(\theta)-\dfrac{\ic}{r}\sin(\theta) \\
    &=r\cos(\theta)+\dfrac{1}{r}\cos(\theta)+\ic\left(r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)\right)
    \end{align*}$
    $f(z)$ est un nombre réel si, et seulement si, $r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)=0$.
    Or $r\sin(\theta)-\dfrac{1}{r}\sin(\theta)=\sin(\theta)\left(r-\dfrac{1}{r}\right)$.
    Ainsi $f(z)$ est un réel si, et seulement si, $\sin(\theta)=0$ ou $r-\dfrac{1}{r}=0$.
    Or $\sin(\theta)=0 \ssi \theta = k\pi$ où $k\in \Z$ : $z$ est un réel non nul.
    Et $r-\dfrac{1}{r}=0 \ssi r=1$ ou $r=-1$ : $r=-1$ est impossible.
    Donc l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel est composé du cercle trigonométrique et de l’axe des réels privé de l’origine du repère.
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex3

Ex 4

Exercice 4

  1. On trace la parallèle à $(IJ)$ passant par $K$ pour obtenir le point $L$.
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex41
  2. Le point $M$ est l’intersection de $[GF]$ et $[JL]$.
    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex42
  3. On considère la figure suivante :

    bac-s-nouvelle-caledonie-nov2016-ex43-1 On souhaite que le triangle $IJN$ soit équilatéral cela signifie donc que le triangle $GPN$ est rectangle isocèle en $G$. Par conséquent on considère le point $P$ tel que $\vect{FP}=\dfrac{3}{4}\vect{FB}$
    Dans les triangles $FLP$ et $GPJ$ :
    – les droites $(GJ)$ et $(PF)$ sont parallèles;
    – les droites $(PJ)$ et $(FG)$ sont sécantes en $N$.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{NG}{NP}=\dfrac{NJ}{NP}=\dfrac{GJ}{FP}$
    Or $\dfrac{GJ}{FP}=\dfrac{1}{3}$
    Ainsi $\dfrac{NG}{NP}=\dfrac{1}{3}$ et $GN=GJ$.
    Il existe donc un point $P$ de la droite $(BF)$ tel que la section du cube par le plan $(IJP)$ soit un triangle équilatéral.
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. A l’aide de la calculatrice on obtient :
    $u_0=1 \quad u_1=1,8 \quad u_2=2,44 \quad u_3=2,952 \quad u_4=3,361~6$
    Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
    Sa limite semble être $5$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ $u_0=1$ et $5-4\times 0,8^n=5-4=1$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=5-4\times 0,8^n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,8u_n+1 \\
    &=0,8\left(5-4\times 0,8^n\right)+1\\
    &=4-4\times 0,8^{n+1}+1\\
    &=5-4\times 0,8^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel$n$ on a donc $u_n=5-4\times 0,8^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5-4\times 0,8^{n+1}-\left(5-4\times 0,8^n\right) \\
    &=-4\times 0,8^{n+1}+4\times 0,8^n \\
    &=4\times 0,8^n(-0,8+1) \\
    &=4\times 0,8^n\times 0,2 \\
    &=0,8^{n+1} \\
    &>0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    Puisque $-1<0,8<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5$.
    $\quad$
    Si l’apiculteur achète chaque année $10~000$ abeilles alors son nombres d’abeilles augmentera chaque année et sera de $50~000$ au bout d’un grand nombre d’années.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\
    &=0,8u_n+c-5c\\
    &=0,8u_n-4c\\
    &=0,8\left(u_n-5c\right) \\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    $\quad$
    autre méthode : $u_n=v_n+5c$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\
    &=0,8u_n+c-5c\\
    &=0,8u_n-4c\\
    &=0,8\left(v_n+5c\right)-4c\\
    &=0,8v_n+4c-4c\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-5c=1-5c$.
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=(1-5c)\times 0,8^n$
    $\quad$
  3. On a alors, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=(1-5c)\times 0,8^n+5c$
    Pour la même raison qu’à la question A.3 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5c$.
    L’apiculteur souhaite que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=10$.
    Il faut donc que $c=2$.
    $\quad$

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $u_{n+2}-u_{n+1}=0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)$
    Donc $u_{n+2}=u_{n+1}+0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)=1,9u_{n+1}-0,9u_n$
    Ainsi
    $\begin{align*} u_2&=1,9u_1-0,9u_0 \\
    &=1,9\times 5,1-0,9\times 5\\
    &=5,19
    \end{align*}$
  2. a.
    $\begin{align*}AV_n&=\begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1,9u_{n+1}-0,9u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix}\\
    &=V_{n+1}
    \end{align*}$
    b. A l’aide de la calculatrice on obtient $P^{-1}=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix}$
    $\quad$
    $\begin{align*}D&=P^{-1}AP \\
    &=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-19+10&9\\19-9&-9\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-9&10\\10&-9\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}-8,1+9&-10+10\\9-9&10-9\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,9&0\\0&1\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=0$ alors $PD^0P^{-1} = PP^{-1}=I_2$ où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$.
    $A^0=I_2$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
    On sait que D=P^{-1}AP$ donc $PDP^{-1}=A$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^n \times A \\
    &=PD^nP^{-1} \times PDP^{-1} \\
    &=PD^nDP^{-1} \\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
    d. On sait que $V_n=A^nV_0$
    Donc $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5,1\left(-10\times 0,9^{n+1}+10\right)+5\left(10\times 0,9^{n+1}-9\right) \\5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right)\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} u_n&=5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right) \\
    &=-51\times 0,9^n+51+50\times 0,9^n-45 \\
    &=6-0,9^n
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $u_{10}=6-0,9^{10}\approx 5,651$.
    La colonie compte donc environ $5~651$ fourmis au bout du $10^{\e}$ jour.
    $\quad$
  4. $-1 <0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=6$.
    Au bout d’un grand nombre de jours, la colonie comptera $6~000$ fourmis.

Énoncé

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