Bac S – Polynésie – Juin 2015

Polynésie Juin 2015

BAC S – Mathématiques

La correction du sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  3 points

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous, pour lequel $AB = 6$, $AD = 4$ et $AE = 2.$

$I$, $J$ et $K$ sont les points tels que $\vec{AI} = \dfrac{1}{6} \vec{AB}$,  $\vec{AJ} = \dfrac{1}{4} \vec{AD}$,  $\vec{AK} = \dfrac{1}{2} \vec{AE}$.

Bac S - Polynésie - Juin 2015 -ex1

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vec{AI}, \vec{AJ},\vec{AK}\right)$.

  1. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan $(IJG)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation du plan $(IJG)$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $L$ du plan $(IJG)$ et de la droite $(BF)$.
    $\quad$
  4. Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(IJG)$. Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en annexe à rendre avec la copie. On ne demande pas de justification.
    $\quad$

Annexe

Bac S - Polynésie - Juin 2015 -ex1annexe

Exercice 2  –  4 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$. À tout point $M$ d’affixe $z$ du plan, on associe le point $M’$ d’affixe $z’$ définie par :$$z’ = z^2 + 4z + 3.$$

  1. Un point $M$ est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point $M’$ associé.
    Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
    $\quad$
  2. Soit $A$ le point d’affixe $\dfrac{- 3 – \ic\sqrt{3}}{2}$ et $B$ le point d’affixe $\dfrac{- 3 + \ic\sqrt{3}}{2}$.
    Montrer que $OAB$ est un triangle équilatéral.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d’affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M’$ associé soit sur l’axe des réels.
    $\quad$
  4. Dans le plan complexe, représenter les points $A$ et $B$ ainsi que l’ensemble $\mathscr{E}$.
    $\quad$

Exercice 3  –  3 points

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de $18$ à $65$ ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d’espérance $\mu_1 = 165$ cm et d’écart-type$\sigma_1 = 6$ cm, et celle des hommes de $18$ à $65$ ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d’espérance $\mu_2 = 175$ cm et d’écart-type $\sigma_2 = 11$ cm.

Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

  1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre $1,53$ mètre et $1,77$ mètre ?
    $\quad$
  2. a. Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de $1,70$ mètre.
    $\quad$
    b. De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent $52\%$ de la population des personnes dont l’âge est compris entre $18$ et $65$ ans. On choisit au hasard une personne qui a entre $18$ et $65$ ans. Elle mesure plus de $1,70$~m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.

Voici ce schéma :

Bac S - Polynésie - Juin 2015 -ex4

$\quad$

Partie A Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1;8]$ par $$f(x) = (ax + b)\e^{- x}\quad \text{où } a \text{ et } b \text{ sont deux entiers naturels.}$$

La courbe $\mathscr{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.

Bac S - Polynésie - Juin 2015 -ex4.2

  1. On souhaite que la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d’abscisse $1$ soit horizontale.
    Déterminer la valeur de l’entier $b$.
    $\quad$
  2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut.
    Déterminer la valeur de l’entier $a$.
    $\quad$

Partie B Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel $x \in [1;8]$ par $$f(x) = 10x \e^{- x}.$$

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de $300$ euros augmenté de $50$ euros par mètre carré peint.

  1. Soit $g$ la fonction définie sur $[1;8]$ par $$g(x) = 10(- x – 1)\e^{-x}.$$
    Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$.
    $\quad$
  2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?
    $\quad$

Partie C Une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point $M$ de la courbe $\mathscr{C}$, d’abscisse différente de $1$. On appelle $\alpha$ l’angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

Bac S - Polynésie - Juin 2015 -ex4.3

 

Les contraintes imposent que l’angle $\alpha$ soit inférieur à $55$ degrés.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;8]$. On admet que, pour tout $x$ de l’intervalle $[1;8]$, $f'(x) = 10(1- x)\e^{-x}$.
    Étudier les variations de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[1;8]$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ un réel de l’intervalle $]1;8]$ et soit $M$ le point d’abscisse $x$ de la courbe $\mathscr{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$.
    $\quad$
  3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?
    $\quad$

Exercice 5  –  5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $$v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel } n \text{ non nul}, v_{n+1} = \ln \left(2 – \text{e}^{- v_n}\right).$$

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul.

On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \ldots + v_n.$$

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$.

Partie A – Conjectures à l’aide d’un algorithme

  1. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour une valeur de $n$ choisie par l’utilisateur :
    Variables :
    $\quad$ $n$, $k$ entiers
    $\quad$ $S$, $v$ réels
    Initialisation :
    $\quad$  Saisir la valeur de $n$
    $\quad$ $v$ prend la valeur $\ldots$
    $\quad$ $S$ prend la valeur $\ldots$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ variant de $\ldots$ à $\ldots$ faire
    $\qquad$ $\ldots$ prend la valeur $\ldots$
    $\qquad$ $\ldots$ prend la valeur $\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $S$
    $\quad$
  2. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :
    $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n &10 &100 &1~000 & 10~000 & 100~000 & 1~000~000\\\\
    \hline
    S_n & 2,4 & 4,6 & 6,9 & 9,2 & 11,5 & 13,8\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite $\left(S_n\right)$.
    $\quad$

Partie B – Étude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \e^{v_n}$.

  1. Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 – \dfrac{1}{u_n}$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
    $\quad$

Partie C – Étude de $ (S_n)$

  1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Vérifier que $S_3 = \ln (4)$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 5  –  5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$

  1. On appelle $I$ la matrice identité d’ordre $2$.
    Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
    $\quad$
  2.  En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme $\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
    $\quad$
  3. On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$\begin{cases}
    r_{n+1} =r_n + s_n\\
    s_{n+1}=2r_n
    \end{cases}$$
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $A^n = r_nA + s_nI$.
    $\quad$
  4. Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $k_n = r_n – s_n$ est géométrique de raison $- 1$.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison $2$.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  7. En déduire alors, pour tout entier naturel $n$, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.