Bac S – Pondichéry – Avril 2014

Pondichéry – Avril 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  4 points

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

  1. La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.
    On sait que $P(X \le 2) = 0,15$.
    Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.
    $\quad$
    Dans la suite de l’exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$.
  2. a. Déterminer $P(X \ge 3)$.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h$, $P_{X \ge t}(X \ge t + h) = P(X \ge h)$.
    $\quad$
    c. Le moteur a déjà fonctionné durant $3$ ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore $2$ ans ?
    $\quad$
    d. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
    $\quad$
  3. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$
    L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à $1\%$. Afin de vérifier cette affirmation $800$ moteurs sont prélevés au hasard. On constate que $15$ moteurs sont détectés défectueux.
    Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A ? Justifier. On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.
    $\quad$

Exercice 2  –  4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Proposition 1
    Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  2. $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2};+ \infty\right[$ par $$g(x) = 2x \ln (2x + 1).$$
    Proposition 2
    Sur $\left]- \dfrac{1}{2};+ \infty\right[$, l’équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\e – 1}{2}$.
    $\quad$
    Proposition 3
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ est : $1 + \ln 4$.
    $\quad$
  3. L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
    $\mathscr{P}$ et $\mathscr{R}$ sont les plans d’équations respectives : $2x + 3y – z – 11 = 0$ et $x + y + 5z – 11 = 0$.
    Proposition 4
    Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{R}$ se coupent perpendiculairement.
    $\quad$

Exercice 3  –  hfill 5 points

Candidats n’ayant pas suivi la spécialité 

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d’affixe $z_{n}$ défini par : $$z_{0} = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\ic\right)z_{n}.$$

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\ic$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
  3. En déduire l’expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Que dire de la longueur $OA_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
    $\quad$
  5. On considère l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $n$ entier naturel
    $\quad$ $R$ réel
    $\quad$ $P$ réel strictement positif
    Entrée
    $\quad$ Demander la valeur de $P$
    Traitement
    $\quad$ $R$ prend la valeur $1$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $R > P$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
    $\qquad$ $R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$
    $\quad$ Fin tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour $P = 0,5$ ?
    $\quad$
    b. Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
    $\quad$
  6. a. Démontrer que le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
    $\quad$
    b. On admet que $z_{n} = r_{n}\e^{\ic\frac{n\pi}{6}}$.
    Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l’axe des ordonnées.
    $\quad$
    c. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
    Les traits de construction seront apparents.
    $\quad$

Annexe

Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex3

Exercice 3  –  5 points

Candidats ayant suivi la spécialité

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.
On note :

  • $X_{n}$ l’événement “la marque X est utilisée le mois $n$”,
  • $Y_{n}$ l’événement “la marque Y est utilisée le mois $n$”,
  • $Z_{n}$ l’événement “la marque Z est utilisée le mois $n$”.

Les probabilités des événements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$.
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

  • $50\%$ de chance de rester fidèle à cette marque,
  • $40\%$ de chance d’acheter la marque Y,
  • $10\%$ de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :

  • $30\%$ de chance de rester fidèle à cette marque,
  • $50\%$ de chance d’acheter la marque X,
  • $20\%$ de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant :

  • $70\%$ de chance de rester fidèle à cette marque,
  • $10\%$ de chance d’acheter la marque X,
  • $20\%$ de chance d’acheter la marque Y.
  1. a. Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$.
    On admet que :
    $y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$.
    $\quad$
    b. Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l’expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.
    On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$.
    Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$.
    On considère l’algorithme suivant :
    Variables
    $\quad$ $n$ et $i$ des entiers naturels.
    $\quad$ $A$, $B$ et $U$ des matrices
    Entrée et initialisation
    $\quad$ Demander la valeur de $n$
    $\quad$ $i$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $A$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$
    $\quad$ $B$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$
    Traitement
    $\quad$ Tant que i < n
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $A \times U + B$
    $\qquad$ $i$ prend la valeur $i + 1$
    $\quad$ Fin de Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour $n = 3$.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?
    Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$.
    On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I – A$.
    $\quad$
  3. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.
    a. Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$.
    $\quad$
    b. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\\\\dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$.
    En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} – C$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = A \times V_{n}$.
    $\quad$
    b. On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} – C\right) + C$.
    Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
    $\quad$

Exercice 4  –  7 points

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. $f’$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme $\mathscr{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathscr{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f’$.
Le point $A$ de coordonnées $(0;2)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_{1}$.
Le point $B$ de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_{2}$.

  1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathscr{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l’une d’entre elles, la courbe $\mathscr{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f’$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.Situation 1
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.1
    Situation 2Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.2

    Situation 3
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.3

  2. Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathscr{C}_{1}$ en $A$.
    $\quad$
  3. On sait que pour tout réel $x$, $f(x) = \e^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    a. Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.
    $\quad$
    b. Prouver que $a = 2$.
    $\quad$
  4. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) – (x + 2)$.

  1. a. Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\R$.
    $\quad$
    b. En déduire la position de la courbe $\mathscr{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe $\mathscr{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en gris.
    Figure 2
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.4
    Figure 3
    Bac S - Pondichéry - avril 2014 - ex4.5

    Le contour du logo est représenté par le trapèze $DEFG$ où :
    — $D$ est le point de coordonnées $(-2;0)$,
    — $E$ est le point de coordonnées $(2;0)$,
    — $F$ est le point d’abscisse $2$ de la courbe $\mathscr{C}_{1}$,
    — $G$ est le point d’abscisse $- 2$ de la courbe $\mathscr{C}_{2}$.
    La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d’équation $x = – 2$ et la droite d’équation $x = 2$.
    $\quad$
  2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).