Bac STMG – Antilles Guyane – Juin 2016

Antilles Guyane – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Le taux d’évolution du chiffre d’affaire du tourisme en ligne entre 2006 et 2009 est :
    $t=\dfrac{9,6-4,2}{4,2} \approx 1,285~7 \approx 128,57\%$
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur global est environ $2,285~7$.
    On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=2,285~7 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2,285~7^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100} = 2,285~7^{1/3}-1 \\
    &\ssi x = 100\left(2,285~7^{1/3}-1\right) \\
    &\ssi x \approx 31,73
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen du tourisme en ligne en France entre les années 2006 et 2009 est donc d’environ $31,73\%$.
    $\quad$
  3. $12,4\times \left(1+\dfrac{9}{100}\right)^3 \approx 16,06$.
    On peut donc estimer le chiffre d’affaire du tourisme en ligne en France en 2016 à $16,06$ milliard d’euros.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex1
  2. a. La calculatrice nous donne l’équation suivante : $y=1,22x+3,14$
    $\quad$
    b. Voir graphique.
    $\quad$
  3. En 2016, on a $x=11$ donc $y=1,2\times 11 + 3,1 =16,3$.
    Cet ajustement permet de dire que le chiffre d’affaire du tourisme en France en 2016 sera d’environ $16,3$ milliard d’euros.
    $\quad$

Partie C

  1. L’indice de 2012 est $I=\dfrac{1~293\times 100}{1~036} \approx 124,8$
    $\quad$
  2. En 2013, le nombre de plaintes enregistrées s’élève à $\dfrac{1~036\times 183,4}{100} \approx 1~900$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Selon ce modèle, le pic de l’épidémie est atteint au bout de $6$ semaines.
    $\quad$
  2. $\quad$
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex2-2

    Pendant $4$ semaines le nombre de malades a été supérieur ou égal à $600$.
    $\quad$
  3. a. $f(x) \geqslant 600$
    revient à $-30x^2+360x-360 \geqslant 600$
    soit $-30x^2+360x-960 \geqslant 0$
    en divisant par $30$ on obtient $-x^2+12x-32 \geqslant 0$
    $\quad$
    b. Le discriminant est $\Delta = 12^2-4\times (-1) \times (-32) = 16 > 0$
    Les racines sont $x_1=\dfrac{-12-\sqrt{16}}{-2}=8$ et $x_2=\dfrac{-12+\sqrt{16}}{-2}=4$
    Puisque $a=-1<0$ les solutions de l’inéquation $-x^2+12x-32 \geqslant 0$ sont les nombres appartenant à l’intervalle $[4;8]$.
    $\quad$
    c. $8-4=4$. On retrouve bien le résultat obtenu à la question 2. .
    $\quad$

Partie B

  1. a. $f'(x)=-30\times 2x+360 = -60x+360$
    $\quad$
    $\begin{align*} f'(x) \geqslant 0 &\ssi -60x+360 \geqslant 0 \\
    &\ssi -60x \geqslant -360 \\
    &\ssi x \leqslant \dfrac{-360}{-60} \\
    &\ssi x \leqslant 6
    \end{align*}$
    Donc $f'(x)\geqslant 0$ sur l’intervalle $[2;6]$
    $\quad$
    b. On obtient le tableau de variations suivant :
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex2
  2. a. $f'(3)=-60\times 3 + 360 = 180$
    $\quad$
    b. Voir graphique.
    $\quad$
  3. $f'(4)=-60\times 4+360 = 120 < 180$
    Donc la grippe se propage plus vite au bout de $3$ semaines qu’au bout de $4$ semaines.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    bac STMG - Antilles Guyane - juin 2016 - ex3
  2. a. $A\cap C$ est l’événement “les fruits utilisés proviennent du fournisseur A et sont retenus pour la fabrication de la confiture”.
    $\quad$
    b. $p(A\cap C)=0,25 \times 0,95 =0,237~5$.
    $\quad$
    c. $p(A\cap C)\neq 0$. $A$ et $C$ ne sont donc pas incompatibles.
    Cela signifie qu’on peut trouver des fruits du fournisseur A retenus pour la fabrication de la confiture.
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p(B \cap C) \\
    &=0,237~5+0,75\times 0,8 \\
    &=0,837~5 \\
    &\approx 0,84
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $p(A)\times p(C)=0,25 \times 0,837~5 \approx 0,21 \neq 0,237~5=p(A \cap C)$
    Les deux événements ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  4. $p_C(A)=\dfrac{p(C\cap A)}{p(C)} \approx 0,28$.
    Cela signifie qu’environ $28\%$ des fruits retenus pour la fabrication de la confiture proviennent du fournisseur A.
    $\quad$

Partie B

  1. $p(245 \leqslant M\leqslant 255) \approx 0,95$
    $\quad$
  2. Puisque $\mu=250$ alors $p(245\leqslant M \leqslant 250)=p(250\leqslant M \leqslant 255)$
    Par conséquent $p(250\leqslant M \leqslant 255) = \dfrac{p(245\leqslant M \leqslant 255)}{2} \approx 0,48$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $1-\dfrac{5}{100}=0,95$.
    Donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $1~100$
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=1~100\times 0,95^n$
    Réponse a
    $\quad$
  2. On peut saisir $=C2*0,95$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. En 2014, $u_4 \approx 896 > 550$
    En 2023, $u_{13} \approx 565 > 550$
    En 2024, $u_{14} \approx 536 < 550$
    Réponse a
    $\quad$
  4. L’algorithme 2 ne convient pas car on ne rentre jamais dans la boucle tant que.
    L’algorithme 3 ne convient pas car on ne modifie jamais A
    Réponse a

Énoncé

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