Bac STMG – Métropole – Juin 2015

Métropole – Juin 2015

Bac STMG  -Mathématiques – Juin 2015

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution global entre 2011 et 2014 est :
    $$\dfrac{1177 – 868}{868} \approx 35,6\%$$
    $\quad$
  2. Elle a pu saisir $=(C3-B3)/B3*100$
    $\quad$
  3. On pouvait tester $868 \times \left(1 + \dfrac{10,7}{100}\right)^3 \approx 1177,50$
    Ou bien calculer précisément la valeur du taux cherché $t$:
    $\begin{align*} 868 \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^3 = 1177 & \ssi \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^3 = \dfrac{1177}{868} \\\\
    &\ssi 1 + \dfrac{t}{100} = \sqrt[3]{\dfrac{1177}{868}} \\\\
    & \ssi 1 + \dfrac{t}{100} \approx 1,1068 \\\\
    & \ssi t \approx 10,68
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution moyen annuel de la cotisation de 2011 à 2014 est donc environ de $10,7\%$.
    $\quad$
  4. a. En 2015, la cotisation sera de $1177 \times \left(1 + \dfrac{10,7}{100}\right) \approx 1303$.
    $\quad$
    b. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $1177 \times \left(1 + \dfrac{10,7}{100}\right) ^n \ge 1736$.
    A l’aide de la calculatrice, on constate que :
    – si $n= 3$ alors la cotisation est de $1597$
    – si $n=4$ alors la cotisation est de $1768$
    C’est donc en 2018 que le montant de la cotisation aura doublé par rapport à celle de 2011.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. Une équation de la droite d’ajustement affine est $y = 10x+460$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    Bac stmg - metropole - juin 2015 - ex2-1
  3. En 2011, $x=8$ donc $y = 530$.
    $530$ hectares étaient donc consacrés à l’agriculture biologique en France en 2011.
    $\quad$

Partie B

  1. Voir graphique
    $\quad$
  2. Les derniers points placés sur le graphique sont très éloignés de la droite d’ajustement linéaire. Cet ajustement ne convient donc pas.
    $\quad$

Partie C

  1. L’algorithme affiche les valeurs estimée des superficie certifiée de production biologique en hectare en France de 2013 à 2017.
    $\quad$
  2. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $1,22$ et de premier terme $u_0 = 856$.
    Pour 2017, on calcule $u_5 = 856\times 1,22^5\approx 2~314$.
    Selon ce modèle, la superficie de production biologique en France en 2017 serait de $2~314$ hectares.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. a. $p(D) = 0,35$ et $p_D(C) = 0,55$
    $\quad$
    b.
    Bac stmg - metropole - juin 2015 - ex3
  2. Il s’agit de l’événement $\overline{D}\cap C$.
    D’après l’arbre de probabilité :
    $$p\left(\overline{D} \cap \overline{C}\right) = 0,65 \times 0,8=0,52$$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(\overline{C}\right) &= p\left(\overline{C}\cap D\right) + p\left(\overline{C} \cap D\right) \\\\
    &= 0,65 \times 0,8 + 0,35 \times 0,45 \\\\
    & = 0,6775\\\\
    & < 0,75
    \end{align*}$
    Effectivement, moins des trois-quarts des visiteurs achètent leur billet en ligne.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $P(150 \le X \le 170) \approx 0,954$.
    $\quad$
    b. La probabilité que l’équipe de maintenance intervienne est donc de
    $$1 – P(150 \le X \le 170) \approx 0,046$$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X \le 150) &=0,5 – P(150 \le X \le 160) \\\\
    & \approx 0,023
    \end{align*}$
    La probabilité que l’équipe de maintenance soit obligée de rajouter de l’eau est donc de $2,3\%$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est :

$$\begin{align*} I_{625} &= \left[\dfrac{247}{625} – \dfrac{1}{\sqrt{625}};\dfrac{247}{625} + \dfrac{1}{\sqrt{625}}\right] \\\\
& =[0,3552;0,4352]
\end{align*}$$
$\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. $f(12) \approx 1410$. Il s’agit de l’ordonnée du point $B$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On détermine le coefficient de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
    $f'(5) \approx \dfrac{1000 – 600}{5  -2} \approx 133$.
    La réponse la plus proche est $125$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble croissante sur $[0;12]$ et décroissante sur $[12;36]$.
    Par conséquent :
    • $f'(x) \ge 0$ sur $[0;12]$
    • $f'(x) \le 0$ sur $[12;36]$
    Réponse c

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{align*} g'(x) & =3 \times 0,2x^2 – 2 \times 14,4x+ 259,2 \\\\
    &= 0,6x^2 – 28,8x + 259,2
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a $g(10) = 1647,2$
    Le maximum de $g$ sur $[0;36]$ est donc supérieur ou égal à $1647,2$.
    Réponse b