Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution du prix du timbre entre 2005 et 2015 est :
    $t=\dfrac{0,76-0,53}{0,53} \approx 43,4\%$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $T$ le taux d’évolution annuel moyen du prix du timbre entre 2005 et 2015.
    On a ainsi $\left(1+\dfrac{T}{100}\right)^{10}=1,434$
    Donc $1+\dfrac{T}{100}=1,434^{1/10}$
    D’où $\dfrac{T}{100}=1,434^{1/10}-1$
    Par conséquent $T=100\left(1,434^{1/10}-1\right)\approx 3,67$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On peut saisir la formule $=(C2-B2)/B2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. En 2020, le prix du timbre sera de $0,76\times 1,04^5\approx 0,92$
    Réponse c

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $60\%$ des clients choisissent un petit modèle donc $P(T)=0,6$.
    Parmi ceux qui choisissent un petit modèle, $50\%$ y ajoutent des produits laitiers donc $P_T(L)=0,5$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre de probabilités suivant :
    bac-stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex2
  3. On veut calculer $P(T\cap L)=0,6\times 0,5=0,3$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(T\cap L)+P\left(\overline{T}\cap L\right) \\
    &=0,3+0,4\times 0,8 \\
    &=0,62 \\
    &< \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  5. $P_L(T)$ $=\dfrac{P(L\cap T)}{P(L)}$ $=\dfrac{0,3}{0,62}$ $=\dfrac{15}{31}$
    Cela signifie que la probabilité qu’un client ait choisi un petit modèle sachant qu’il a ajouté des produits laitiers à son panier est de $\dfrac{15}{31}$.
    $\quad$

Partie B

  1. $P(X \pp 150) = 0,5-P(150 \pp X \pp 180) \approx 0,159$
    $\quad$
  2. $P(135 \pp X \pp 180)\approx 0,433$ signifie que la probabilité que le nombre de yaourts vendus au marché soit compris entre $135$ et $180$ est d’environ $0,433$.
    $\quad$
  3. On a $P(180-45\pp X \pp 180) =P(135 \pp X \pp 180)\approx 0,433$ donc $P(180 \pp X \pp 225)=P(180 \pp X \pp 180+45)\approx 0,433$.
    On sait que $P(X \pg 225)=P(X \pp 135)$.
    Or $P(135 \pp X \pp 225)=1-P(X \pg 225)-P(X \pp 135)$
    Soit $0,433\times 2=1-2P(X \pg 225)$
    D’où $ -0,134=-2P(X \pg 225)$
    Finalement $P(X \pg 225) = 0,067$
    $\quad$
  4. On sait que $P(X \pg 225) = 0,067$.
    La probabilité qu’il ait besoin de compléter son stock est donc d’environ $6,7\%$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A ; Lecture graphique

  1. Le coût de production de $10$ milliers de tablettes est d’environ $2,8$ millions d’euros.
    $\quad$
  2. Le coût de production sera supérieur à $8~000$ milliers d’euros à partir de $20$ milliers de tablettes produites.
    $\quad$
  3. voir graphique
    bac-stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex3

Partie B : Étude du bénéfice

  1. Le bénéfice de l’entreprise est donné par :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=480x+\dfrac{1}{3}x^3-22x^2-96x\\
    &=\dfrac{1}{3}x^3-22x^2+384x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} B'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-22\times 2x+384 \\
    &=x^2-44x+384
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\Delta = (-44)^2-4\times 384\times 1=400>0$.
    Les solutions de l’équation sont donc :
    $x_1=\dfrac{44-\sqrt{400}}{2}=12$ et $x_2=\dfrac{44+\sqrt{400}}{2}=32$.
    $\quad$
    b. Le coefficient principal du polynôme du second degré $B'(x)$ est $a=1$.
    Le polynôme $B'(x)$ est donc positif à l’extérieur de l’intervalle $\left[x_1;x_2\right]$.
    Par conséquent $B'(x) \pg 0$ sur l’intervalle $[0;12]$ et $B'(x) \pp 0$ sur l’intervalle $[12;30]$.
    On obtient le tableau de variation suivant :
    bac-stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex31
  4. Le bénéfice est donc maximal si l’entreprise produit $12$ milliers de tablette.
    Ce bénéfice est alors de $2~016$ milliers d’euros.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. L’autonomie baisse de $15\%$ chaque année d’utilisation.
    On a donc $u_1=(1-0,15) \times u_0=0,85\times 8 = 6,8$.
    $\quad$
    b. $u_2=0,85\times 6,8=5,78$.
    Cela signifie donc, qu’après $2$ ans d’utilisation l’autonomie de la tablette est de $5,78$ heures.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel on a $u_0=8$ et $u_{n+1}=0,85u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=8\times 0,85^n$
    En 2020, $n=5$ donc $u_5=8\times 0,85^5 \approx 3,55$.
    L’autonomie en 2020 sera de $3,55$ heures environ.
    $\quad$
  4. On construit le tableau d’état des différentes variables.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{valeur de } n&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    \text{valeur de }u&8&6,8&5,78&4,91&4,18&3,55 \\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi l’algorithme affichera $5$.

Énoncé

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