Exercice 1

1. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
   $f'(x)=\e^x+xe^x$
   $f\prime\prime(x)=\e^x+\e^x+x\e^x = \e^x\left(2+x\right)$.
   La fonction exponentielle est strictement positive.
   Par conséquent $f\prime\prime(x)\pg 0 \ssi x\pg -2$.
   La fonction $f$ est convexe sur $[0;+\infty[$. Réponse d
   $\quad$
2. La fonction exponentielle ne s’annule jamais.
   Par conséquent $(3x+1)\e^x=0 \ssi 3x+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$.
   L’équation possède $1$ solution sur $\R$. Réponse b
   $\quad$
3. Chaque année le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{8}{100}=1,08$.
   Sur $10$ ans, le coefficient multiplicateur est $1,08^{10}\approx 2,16$
   Or $2,16=1+\dfrac{116}{100}$.
   Le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de $116\%$. Réponse b
   $\quad$
4. La fonction $g$ semble être décroissante sur l’intervalle $[1;3]$. Par conséquent $g'(2)<0$.
   Le coefficient directeur à la courbe $\mathscr{C}_g$ au point d’abscisse $2$ semble être $-1$.
   Donc $g'(2)=-1$ Réponse a
   $\quad$
5. On considère la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x)=\dfrac{1}{3}\e^{3x+2}$.
   $H$ est dérivable sur $\R$.
   $H'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3 \times \e^{3x+2}=\e^{3x+2}=h(x)$.
   Cette fonction $H$ est donc une primitive de la fonction $h$.
   Réponse b
   $\quad$
6. La courbe laisse envisager que $\mu=10$.
   On calcule, à la calculatrice, avec les paramètres $\mu=10$ et $\sigma=1$ $P(9<X<12) \approx 0,8186 \approx 0,82$
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 2

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On a $E_0=\begin{pmatrix} 0,1&0,85&0,05\end{pmatrix}$.
   $\quad$
2. On obtient le graphe suivant :
   
3. a. $0,5$ correspond à la probabilité qu’un abonné qui était initialement en Step passe au Pilates d’une semaine sur l’autre.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} E_1&=E_0\times M \\
   &=\begin{pmatrix}\scriptsize{0,1 \times 0,3+0,85\times 0,5+0,05\times 0,2}&\scriptsize{0,1 \times 0,1+0,85\times 0,3+0,05\times 0,6}&\scriptsize{0,1 \times 0,6+0,85\times 0,2+0,05\times 0,2} \end{pmatrix}\\
   &=\begin{pmatrix}0,465&0,295&0,24\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On a $E_3=E_0\times M^3=\begin{pmatrix}0,317~2&0,348~8&0,334\end{pmatrix}$
   $\quad$
4. $E_6=E_0\times M^6 \approx \begin{pmatrix}0,33&0,33&0,33\end{pmatrix}$
   Au bout de $6$ semaines, environ $\dfrac{1}{3}$ des abonnés se répartissent dans chaque activité.
   $\quad$
5. On calcule $E_8=E_0\times M^8 \approx \begin{pmatrix} 0,333&0,333&0,333\end{pmatrix}$
   Ainsi, si la salle compte $120$ abonnés, on compte prévoir $120 \times 0,333 \approx 40$ abonnés dans chacune des activités après $8$ semaines.
   $\quad$
6. a. Il semblerait que l’état stable soit $E=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b.
   $$\begin{align*} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} \times M&= \begin{pmatrix}\dfrac{0,3+0,5+0,2}{3}&\dfrac{0,1+0,3+0,6}{3}&\dfrac{0,6+0,2+0,2}{3} \end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}
   \end{align*}$$
   Donc l’état stable est bien $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.

Exercice 3

1. a. Il s’agit de l’aire d’un trapèze : $\mathscr{A}=\dfrac{(1+2)\times 0,5}{2}=0,75$ u.a.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc que $P(0,5\pp X \pp 1)=0,75$
   $\quad$
2. $\quad$
   $$\begin{align*} P(0 \pp  X \pp 0,75)&= \int_0^{0,75} 2x\dx \\
   &=\Big[x^2\Big]_0^{0,75} \\
   &=0,75^2-0^2 \\
   &=0,562~5
   \end{align*}$$
   On pouvait également voir cette probabilité comme l’aire d’un triangle de base $0,75$ et de hauteur $2\times 0,75$.
   $\quad$

Exercice 4

1. a.
   $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{valeur de }U&600&650&698&743&785&826\\
   \hline
   \text{valeur de } n&0&1&2&3&4&5\\
   \hline
   \text{test }U<800&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux} \\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b.L’algorithme affichera donc la valeur $5$.
   $\quad$
   c. Cela signifie que ce n’est qu’au bout de la $5^{\text{ème}}$ année que le nombre d’abonnés à ce service dépassera les $800$ personnes.
   $\quad$
2. a. $u_1=0,95\times 600+80=650$ et $u_2=0,95\times 650+80\approx 698$.
   On retrouve bien les valeurs du tableau précédent.
   $\quad$
   b. $v_n=u_n-1~600$ donc $u_n=v_n+1~600$
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~600 \\
   &=0,95u_n+80-1~600 \\
   &=0,95\left(v_n+1~600\right)-1~520 \\
   &=1~520+0,95v_n-1~520\\
   &=0,95v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~600=-1~000$.
   $\quad$
   c. Cela signifie donc que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1~000\times 0,95^n$.
   Par conséquent $u_n=v_n+1~600=1~000\times 0,95^n+1~600$.
   $\quad$
3. $0<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~600$.
   Sur le long terme, l’association servira $1~600$ repas par jours.
   Puisque la taille des locaux acutels ne permet pas servir plus de $1~000$ repas, l’association devra envisager un jour des travaux d’agrandissement.

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.