Bac ES/L – Métropole – Juin 2016

Métropole – juin 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : obligatoire et spécialité.

Ex 1

Exercice 1

  1. $n=300\geqslant 30$, $f=\dfrac{225}{300}$ donc $nf=225\geqslant 5$ et $n(1-f)=75 \geqslant 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :
    $\begin{align*} I_{300}&=\left[\dfrac{225}{300}-\dfrac{1}{\sqrt{300}};\dfrac{225}{300}+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right] \\
    &\approx [0,692;0,808]
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[4;11]$.
    Alors :
    $\begin{align*}P(X\leqslant 10)&=P(4\leqslant X \leqslant 10)\\
    &=\dfrac{10-4}{11-4}\\
    &=\dfrac{6}{7}
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-2x+3}-2(x+1)\e^{-2x+3} \\
    &=(1-2x-2)\e^{-2x+3} \\
    &=(-1-2x)\e^{-2x+3}
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. $f\prime\prime$ s’annule en changeant de signe en $1$.
    La courbe représentative de $f$ sur $[-2;2]$ possède donc un point d’inflexion.
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. Chaque année il revend $25\%$ de son parc; il en conserve donc $75\%$ soit $0,75u_n$.
    Il achète chaque année $3~000$ voitures.
    Donc $u_{n+1}=0,75u_n+3~000$
    $\quad$
  2. a. $u_n=v_n+12~000$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-12~000 \\
    &=0,75u_n+3~000-12~000 \\
    &=0,75u_n-9~000\\
    &=0,75\left(v_n+12~000\right)-9~000 \\
    &=0,75v_n+9~000-9~000 \\
    &=0,75v_n
    \end{align*}$
    Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=u_0-12~000=-2~000$.
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=-2~000\times 0,75^n$
    $0<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=12~000+v_n=12~000-2~000 \times 0,75^n$
    $\quad$
    d. Au bout d’un grand nombre d’années, le parc automobile de ce loueur comptera $12~000$ voitures.
    $\quad$
  3. a.
    Initialisation
    $\quad$ $U$ prend la valeur $10~000$
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $N<11~950$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $0,75U+3~000$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    b. On a $u_{12} \approx 11~937$ et $u_{13} \approx 11~952$
    C’est donc en 2028 que le parc automobile de ce loueur comptera au moins $11~950$ voitures.
    $\quad$
    c. $\quad$
    $\begin{align*} 12~000-2~000\times 0,75^n \geqslant 11~950 &\ssi -2~000\times 0,75^n \geqslant 50 \\
    &\ssi 0,75^n \leqslant 0,025 \\
    &\ssi n\ln(0,75) \leqslant \ln(0,025) \\
    &\ssi n \geqslant \dfrac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)} \\
    &\ssi n \geqslant 13
    \end{align*}$
    On retrouve bien le même résultat.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $\quad$


    $\quad$
  2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,6&0,4\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_6=P_0\times M^6 = \begin{pmatrix} 0,750~016&0,249~984\end{pmatrix}$
    Donc $c_6 \approx 0,75$
    $\quad$
  4. a. $P_{n+1}=P_n\times M$
    $\quad$
    b. On a donc $c_{n+1}=0,8c_n+0,6r_n$ avec $c_n+r_n=1$
    D’où $c_{n+1}=0,8c_n+0,6(1-c_n)$ avec $r_n=1-c_n$.
    Donc $c_{n+1}=0,2c_n+0,6$ et $r_n=1-c_n$.
    $\quad$
  5. a. On a $c_n=v_n+0,75$.
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=c_{n+1}-0,75 \\
    &=0,2c_n+0,6-0,75 \\
    &=0,2c_n-0,15 \\
    &=0,2\left(v_n+0,75\right)-0,15\\
    &=0,2v_n+0,15-0,15 \\
    &=0,2v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $v_0=c_0-0,75=0,25$.
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=0,25\times 0,2^n$.
    $\quad$
    $0<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, on a $c_n=v_n+0,75=0,25\times 0,2^n+0,75$.
    $\quad$
    d. On peut donc conjecturer que la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 est $0,75$.
    $\quad$
    e. On conjecture que l’état stable est $P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}$
    $\quad$
    $\begin{align*} P\times M&=\begin{pmatrix} 0,75\times 0,8+0,25\times 0,6&0,75 \times 0,2+0,25 \times 0,4\end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix} \\
    &=P
    \end{align*}$
    Donc $P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}$ est bien l’état stable.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $P(R)=\dfrac{960}{3~200}=0,3$
    $\quad$
  2. On a donc $P_R(F)=0,35$
    $\quad$
  3. Par conséquent $P(R \cap F)=0,35 \times 0,3 = 0,105$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)=P(F\cap R)+P\left(F \cap \overline{R}\right) &\ssi 0,385=0,105+P\left(F \cap \overline{R}\right) \\
    &\ssi P\left(F \cap \overline{R}\right)=0,28
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Ainsi
    $\begin{align*} P_{\overline{R}}(F)&=\dfrac{P\left(F \cap \overline{R}\right)}{P\left(\overline{R}\right)} \\
    &=\dfrac{0,28}{1-0,3}\\
    &=0,4
    \end{align*}$
    $40\%$ des chansons non classées dans la catégorie rock sont interprétées en français.
    $\quad$

Partie B

  1. $P(15\leqslant X \leqslant 45) \approx 0,866$
    $\quad$
  2. $P(X \geqslant 60) = 0,5-P(30 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0,001$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : Étude graphique

  1. $f'(1,5)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe $(C)$ au point d’abscisse $1,5$.
    La tangente en ce point est horizontale. Donc $f'(1,5)=0$.
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(1)=\dfrac{3-2}{1-0}=1$
    La tangente passe par le point de coordonnées $(0;2)$ donc son ordonnée à l’origine est $2$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  3. L’aire $\mathscr{A}$ de ce domaine est strictement comprise entre la somme des aires de $3$ carrés de côté $1$ et celle des aires de $4$ carrés de côté $1$.
    Donc $3<\mathscr{A}<4$.
    $\quad$
  4. La courbe $(C)$ semble toujours située sous ses tangentes. La fonction $f$ semble donc concave sur $[0,5;6]$.
    $\quad$

Partie B : Étude Analytique

  1. $f$ est dérivable sur $[0,5;6]$ en tant que somme de fonctions dérivable sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=-2+\dfrac{3}{x} \\
    &=\dfrac{-2x+3}{x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Sur $[0,5;6]$ $x>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-2x+3$.
    Or $-2x+3>0 \ssi -2x > -3 \ssi x < \dfrac{3}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    bac ESL - metropole - juin 2016 - ex4
  3. $4+3\ln(0,5) \approx 1,9 > 0$.
    La fonction $f$ est strictement croisante sur $\left[0,5;\dfrac{3}{2}\right]$ donc $f(x) >f(0,5)>0$ sur cet intervalle.
    L’équation $f(x)=0$ n’a donc pas de solution sur $\left[0,5;\dfrac{3}{2}\right]$
    $\quad$
    Sur l’intervalle $\left[\dfrac{3}{2};6\right]$, la fonction $f$ est continue car dérivable, strictement décroissante.
    $f\left(\dfrac{3}{2}\right) \approx 3,2 > 0$ et $f(6) \approx -1,6<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\left[\dfrac{3}{2};6\right]$.
    $\quad$
    Finalement l’équation $f(x)=0$ possède bien une unique solution $\alpha$ sur $[0,5;6]$.
    $\alpha \approx 4,88$
    $\quad$
  4. On obtient ainsi le tableau de signe suivant :
    bac ESL - metropole - juin 2016 - ex4-2
  5. a. $F$ est dérivable sur $[0,5;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-2x+2+3\ln(x)+3\dfrac{x}{x} \\
    &=-2x+2+3\ln(x)+3 \\
    &=-2x+5+3\ln(x) \\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[0,5;6]$.
    $\quad$
    b. L’aire cherchée est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_{1}^2 f(x) \mathrm{d}x \\
    &=F(2)-F(1) \\
    &=6\ln(2)-1-3\ln(1) \\
    &=-1+6\ln(2) \\
    &\approx 3,2
    \end{align*}$

 

Énoncé obl

Énoncé spé

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