Bac ES/L – Métropole – Septembre 2016

Métropole – septembre 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    tes-metropole-sept-2016-ex1
  2. On veut calculer $P(H\cap D)=0,6 \times 0,8 = 0,48$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(H\cap D)+p\left(\overline{H}\cap D\right) \\
    &=0,6\times 0,8+0,4\times 0,45 \\
    &=0,48+0,18\\
    &=0,66
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D\left(\overline{H}\right)&=\dfrac{p\left(\overline{H}\cap D\right)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,18}{0,66} \\
    &=0,273
    \end{align*}$
    La probabilité que le client soit une femme sachant qu’il affirme avoir pris un dessert est donc de $0,273$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fréquence observée est $f=\dfrac{204}{300}=0,68$.
    Un intervalle de confiance au niveau de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{300}&=\left[0,68-\dfrac{1}{\sqrt{300}};0,68+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right] \\
    &\approx [0,622;0,738]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $n$ la taille de l’échantillon étudié pour un caractère dont la fréquence d’apparition est $f$.
    L’amplitude de l’intervalle de confiance est alors :
    $\begin{align*} A&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
    \end{align*}$
    On veut donc que :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,06 &\ssi \sqrt{n}\pg\dfrac{2}{0,06} \\
    &\ssi \sqrt{n} \pg \dfrac{100}{3} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{10~000}{9}
    \end{align*}$
    Il faut donc interroger au moins $1~112$ personnes.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $p(X \pg 100)=0,5-P(90 \pp X\pp 100)\approx 0,048$ Réponse c
    $\quad$
  2. $p(\mu-20\pp Y\pp \mu+20)=p(\mu-2\sigma \pp Y \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$ Réponse d
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est croissante sur $[-5;1]$ car $f'(x) \pg 0$ sur cet intervalle Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f’$ est décroissante sur $[-5;-1]$ par conséquent la fonction $f$ est concave sur cet intervalle. Réponse b
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

  1. $u_1=1~500\times 0,95+50 = 1~475$.
    $u_2=1~475\times 0,95+50=1~451,25$ on arrondit à l’unité et $u_2=1~451$.
    $\quad$
  2. Chaque année $5\%$ des arbres sont coupés. Il en reste donc $95\%$ d’une année sur l’autre soit $0,95u_n$.
    De plus $50$ arbres seront plantés.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,95\times u_n+50$.
    $\quad$
  3. a. On considère un entier naturel $n$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000\\
    &=0,95u_n+50-1~000\\
    &=0,95u_n-950\\
    &=0,95\left(v_n+1~000\right)-950\\
    &=0,95v_n+950-950\\
    &=0,95v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=1~500-1~000=500$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=500\times 0,95^n$.
    Donc $u_n=v_n+1~000=500\times 0,95^n+1~000$.
    $\quad$
    c. En 2030 on a alors $n=15$.
    Ainsi $u_{15} \approx 1~232$.
    En 2030 on peut estimer que la forêt comptera $1~232$ arbres.
    $\quad$

Partie B

On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} 1,03^n\pg2 &\ssi n \ln 1,03 \pg \ln 2 \\
&\ssi n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1,03} \end{align*}$
Ainsi $n \pg 24$.
Au bout de $24$ ans le prix d’un stère de bois aura donc doublé.
$\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. Le graphe possède exactement deux sommets, $A$ et $F$, de degré impair. Il possède donc une chaîne eulérienne et l’enfant pourra parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule.
    Le chemin $F-C-H-G-F-B-D-C-B-A-D-A$ convient.
    $\quad$
  2. Le nombre de parcours allant de $E$ à $H$ en $4$ chemins pédestres correspondant au coefficient $M^4_{(5;8)} = 3$.
    Les parcours sont donc : $E-D-B-C-H$, $E-A-D-C-H$ et $E-A-B-C-H$.

Partie B

  1. $f(9)=81a+9b+c=9$
    $f(11)=121a+11b+c=20$
    $f(16)=256a+16b+c=2$
    On est donc amené à résoudre le système suivant :
    $$\begin{cases}81a+9b+c=9\\121a+11b+c=20\\256a+16b+c=2\end{cases}$$
    On note $A=\begin{pmatrix}81&9&1\\121&11&1\\256&16&1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}9\\20\\2\end{pmatrix}$.
    Le système peut donc s’écrire $AX=B$
    On constate à l’aide de la calculatrice que la matrice $A$ est inversible.
    Ainsi $X=A^{-1}B = \begin{pmatrix}-1,3\\31,5\\-169,2\end{pmatrix}$.
    Donc $a=-1,3$, $b=31,5$ et $c=-169,2$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’inéquation $-1,3x^2+31,5x-169,2\pp 10$
    $\ssi -1,3x^2+31,5x-179,2\pp 0$
    $\Delta = 31,5^2-4\times (-1,3)\times (-179,2)=60,41>0$
    Il y a donc racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-31,5-\sqrt{60,41}}{-2,6} \approx 15,10$ et $x_2=\dfrac{-31,5+\sqrt{60,41}}{-2,6} \approx 9,13$.
    Puisque le coefficient principal est $a=-1,3<0$, les solutions de l’inéquation sont donc les nombres appartenant aux intervalles $\left[9;x_2\right]$ et $\left[x_2;18\right]$.

Ex 4

Exercice 4

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $[0,5;5]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} g'(x)&=5-3\ln x-3x\times \dfrac{1}{x}\\
    &=5-3\ln x-3 \\
    &=2-3\ln x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $2-3\ln x>0 \ssi -3\ln x>-2 \ssi \ln x <\dfrac{2}{3} \ssi x < \e^{\frac{2}{3}}$
    La fonction $g$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[0,5;\e^{\frac{2}{3}}\right]$ et décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{\frac{2}{3}};5\right]$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ atteint donc un maximum pour $x_0=\e^{\frac{2}{3}} \approx 1,95$.
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est continue, car dérivable, et croissante sur l’intervalle $\left[0,5;x_0\right]$.
    $g(0,5) \approx 3,54<4$
    $g\left(x_0\right) \approx 5,84>4$
    Donc $4$ appartient à l’intervalle $\left[g(0,5);g\left(x_0\right)\right]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $g(x)=4$ possède une unique équation $\alpha_1$ sur l’intervalle $\left[0,5;x_0\right]$ et $0,62<\alpha_1<0,63$.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue, car dérivable, et croissante sur l’intervalle $\left[x_0;5\right]$.
    $g\left(x_0\right) \approx 5,84>4$
    $g(5) \approx 0,86<4$
    Donc $4$ appartient à l’intervalle $\left[g(5);g\left(x_0\right)\right]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $g(x)=4$ possède une unique équation $\alpha_2$ sur l’intervalle $\left[x_0;5\right]$ et $3,68<\alpha_2<3,69$.
    $\quad$
  5. D’après les variations de la fonction $g$ et les réponses de la question précédente, la solution de l’inéquation $g(x) \pg 4$ est l’intervalle $\left[\alpha_1;\alpha_2\right]$.
    $\quad$
  6. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;5]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-\dfrac{3}{2}\times 2x\ln x-\dfrac{3}{2}\times x^2\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{13}{4}\times 2x \\
    &=-3x\ln x-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}x\\
    &=5x-3x\ln x\\
    &=g(x)
    \end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de $g$ sur l’intervalle $[0,5;5]$.
    $\quad$
  7. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0,5;5]$ est :
    $\begin{align*}m&=\displaystyle \dfrac{1}{5-0,5}\int_{0,5}^5 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{4,5}\left(G(5)-G(0,5)\right) \\
    &=\dfrac{1}{4,5}\left(-\dfrac{75}{2}\ln(5)+\dfrac{325}{4}-\left(\dfrac{3}{8}\ln(2)+\dfrac{13}{16}\right)\right) \\
    &=\dfrac{\dfrac{1~287}{16}-\dfrac{75}{2}\ln(5)-\dfrac{3}{8}\ln(2)}{4,5} \\
    &\approx 4,405
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

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