Bac ES/L – Pondichéry avril 2017

Pondichéry – Avril 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : obligatoire et spécialité

 

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ change deux fois de sens de variation, pour $x\approx 0,5$ et $x\approx 5,5$.
    L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[5,5;10]$.
    Donc $f'(7)<0$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La fonction $f$ croît de moins en moins rapidement sur l’intervalle $[4;5,5]$ et décroît de plus en plus rapidement sur l’intervalle $[5,5;7]$.
    Donc $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[4;7]$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. $f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}$
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x)=0 &\ssi \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x=2
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
  2. a. On veut calculer $P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,34\times 0,05=0,017$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,34\times 0,05+0,66\times 0,16 \\
    &=0,122~6\\
    &\approx 0,123
    \end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P_{\conj{B}}(A)&=\dfrac{P\left(\conj{B}\cap A\right)}{P\left(\conj{B}\right)} \\
    &=\dfrac{0,017}{0,122~6}\\
    &\approx 0,139
    \end{align*}$
    On trouve $P_{\conj{B}}(A)\approx 0,138$ si on prend $p\left(\conj{B}\right)=0,123$.
    Cela signifie donc que la probabilité qu’un coureur termine la course en moins de $234$ minutes sachant qu’il a plus de $60$ ans est d’environ $13,9\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. A l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(210 \pp T \pp 270) \approx 0,543$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(210 \pp T\pp 270)}(T\pp 240)&=\dfrac{P(210 \pp T \pp 240)}{P(210 \pp T \pp 270)} \\
    &\approx 0,453
    \end{align*}$
    En effet $(210 \pp T \pp 270)\cap (T\pp 240)=(210 \pp T\pp 240)$.
    $\quad$
  3. a. $P(T \pp 300)=0,5+P(250\pp T\pp 300) \approx 0,9$.
    $\quad$
    b. $P(T\pg t)=0,9 \ssi P(T \pp t)=0,1$
    A l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $t\approx  200$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que $90\%$ des marathonien ont couru le marathon en plus de $200$ minutes.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

  1. $u_1=0,8\times 150+45=165$
    $u_2=0,8\times 165+45=177$
    $\quad$
  2. a. Le premier algorithme, du fait du “Tant que $U\pg 220$” ne permet pas de calculer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 220$.
    Le bon algorithme est donc le deuxième.
    $\quad$
    b. On a $u_{12} \approx 219,84$ et $u_{13}=220,88$
    Par conséquent l’algorithme affiche $13$.
    $\quad$
  3. a. $v_n=u_n-225$ donc $u_n=v_n+225$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-225 \\
    &=0,8u_n+45-225 \\
    &=0,8u_n-180\\
    &=0,8\left(v_n+225\right)-180\\
    &=0,8v_n+180-180\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=150-225=-75$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-75\times 0,8^n$.
    On sait que $u_n=v_n+225$
    Donc $u_n=225-75\times 0,8^n$.
    $\quad$
  4. On appelle $p_n$ le nombre de participants à la course à pied lors de l’année $2015+n$.
    Ainsi $p_0=150$
    Chaque année $80\%$ des participants reviennent  soit $0,8p_n$
    Chaque année, il y a $45$ nouveaux participants.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $p_{n+1}=0,8u_n+45$.
    On retrouve la suite $\left(u_n\right)$ des questions précédentes.
    Par conséquent $p_n=225-75\times 0,8^n$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $0,8^n \pg 0 \ssi -75 \times 0,8^n \pp 0 \ssi 225-75\times 0,8^n \pp 225$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $p_n \pp 225<250$.
    Ils n’auront donc pas besoin de refuser des inscriptions dans les années à venir.
    $\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. a. Nous allons déterminer le degré de chacun des sommets.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&M&N&W\\
    \hline
    \text{Degré}&2&2&4&3&3&4\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets possèdent un degré impair. Le graphe possède donc une chaîne eulérienne. Il existe par conséquent un trajet qui permet à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Un tel trajet est $M-C-A-W-N-B-C-W-M-N$.
    $\quad$
  2. On utilise l’algorithme de Dijkstra pour déterminer le trajet moins cher pour relier Boston à Miami.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&M&N&W&\text{Sommet}\\
    \hline
    &0&&&&&B\\
    \hline
    &\phantom{130(B)}&130(B)&&170(B)&&C\\
    \hline
    230(C)&&&280(C)&170(B)&250(C)&N\\
    \hline
    230(C)&&&280(C)&&250(C)&A\\
    \hline
    &&&280(C)&&250(C)&W\\
    \hline
    &&&280(C)&&&M\\
    \hline
    \end{array}$
    Le trajet le moins cher pour relier Boston à Miami est donc le trajet $B-C-M$. Le coût de ce trajet est de $280$ dollars.
    $\quad$
  3. a. La matrice adjacente est :
    $P=\begin{pmatrix}0&0&1&0&0&1\\
    0&0&1&0&1&0\\
    1&1&0&1&0&1\\
    0&0&1&0&1&1\\
    0&1&0&1&0&1\\
    1&0&1&1&1&0
    \end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Il n’y a aucun trajet reliant Atlanta à Boston directement.
    $P^2=\begin{pmatrix}2&1&1&2&1&1\\
    1&2&0&2&0&2\\
    1&0&4&1&3&2\\
    2&2&1&3&1&2\\
    1&0&3&1&3&1\\
    1&2&2&2&1&4
    \end{pmatrix}$
    Il y a donc $1$ trajet pour aller d’Atlanta à Boston en deux liaisons.
    $P^3=\begin{pmatrix}2&2&6&3&4&6\\
    2&0&7&2&6&3\\
    6&7&4&9&3&9\\
    3&2&9&4&7&7\\
    4&6&3&7&2&8\\
    6&3&9&7&8&6
    \end{pmatrix}$
    Il y a donc $2$ trajets pour aller d’Atlanta à Boston en trois liaisons.
    Finalement, $3$ trajets permettent de relier Atlanta à Boston en trois liaison aériennes maximum : $A-C-B$, $A-W-N-B$, $A-W-C-B$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement les deux solutions, $x_1$ et $x_2$, de l’équation $f(x)=10$ sur l’intervalle $[0;7]$ sont telles que :
    $0<x_1<1$ et $2<x_2<3$
    $\quad$
  2. Le maximum de la fonction $f$ vaut environ $14,8$ et il est atteint pour $x=1$.
    $\quad$
  3. L’intégrale correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=3$.

    Elle est donc supérieure à l’aire du trapèze : $\dfrac{(14+6)\times 2}{2}=20$ u.a. et inférieure à la somme des aires des deux rectangles $15\times 1+11\times 1 =26$.
    Donc la valeur de l’intégrale appartient à l’intervalle $[16;26]$ Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. $f'(x)=2\e^{-x+3}-2x\e^{-x+3}=(2-2x)\e^{-x+3}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2-2x$.
    $2-2x=0 \ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
    b. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est $2\e^2$.
    $\quad$
  3. a. Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    $f(0)=0<10$ et $f(1)=2e^{2}>10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;10]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    $f(1)=2e^{2}>10$ et $f(7)=14\e^{-4}<10$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;7]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=10$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice on trouve $\beta \approx 2,16$.
    $\quad$
  4. a. $F'(x)=-2\e^{-x+3}-(-2x-2)\e^{-x+3}=(-2+2x+2)\e^{-x+3}=f(x)$.
    $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
    $\quad$
    b. La valeur de l’aire du domaine est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^3 f(x)\dx \\
    &=F(3)-F(1)\\
    &=-8+4\e^{2} \text{u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. a. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{3-1}\int_1^3 f(x)\dx\\
    &=\dfrac{4\e^2-8}{2}\\
    &\approx 10,778
    \end{align*}$
    Par conséquent la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets est $10~778$ euros.
    $\quad$
    b. On cherche donc à résoudre l’inéquation $f(x) > 10$.
    D’après la question 3.a. la solution est $]\alpha;\beta[$.
    L’entreprise doit donc vendre entre $36$ et $216$ objets pour que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
    $\quad$

 

Énoncé obl

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