Exercice 1

1. La fonction $f$ change deux fois de sens de variation, pour $x\approx 0,5$ et $x\approx 5,5$.
   L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
   Réponse b
   $\quad$
2. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[5,5;10]$.
   Donc $f'(7)<0$.
   Réponse c
   $\quad$
3. La fonction $f$ croît de moins en moins rapidement sur l’intervalle $[4;5,5]$ et décroît de plus en plus rapidement sur l’intervalle $[5,5;7]$.
   Donc $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[4;7]$.
   Réponse c
   $\quad$
4. $f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}$
   $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x)=0 &\ssi \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2} \\
   &\ssi x=2
   \end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
2. a. On veut calculer $P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,34\times 0,05=0,017$
   $\quad$
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
   &=0,34\times 0,05+0,66\times 0,16 \\
   &=0,122~6\\
   &\approx 0,123
   \end{align*}$
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} P_{\conj{B}}(A)&=\dfrac{P\left(\conj{B}\cap A\right)}{P\left(\conj{B}\right)} \\
   &=\dfrac{0,017}{0,122~6}\\
   &\approx 0,139
   \end{align*}$
   On trouve $P_{\conj{B}}(A)\approx 0,138$ si on prend $p\left(\conj{B}\right)=0,123$.
   Cela signifie donc que la probabilité qu’un coureur termine la course en moins de $234$ minutes sachant qu’il a plus de $60$ ans est d’environ $13,9\%$.
   $\quad$

Partie B

1. A l’aide de la calculatrice on trouve :
   $P(210 \pp T \pp 270) \approx 0,543$
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{(210 \pp T\pp 270)}(T\pp 240)&=\dfrac{P(210 \pp T \pp 240)}{P(210 \pp T \pp 270)} \\
   &\approx 0,453
   \end{align*}$
   En effet $(210 \pp T \pp 270)\cap (T\pp 240)=(210 \pp T\pp 240)$.
   $\quad$
3. a. $P(T \pp 300)=0,5+P(250\pp T\pp 300) \approx 0,9$.
   $\quad$
   b. $P(T\pg t)=0,9 \ssi P(T \pp t)=0,1$
   A l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $t\approx  200$
   $\quad$
   c. Cela signifie donc que $90\%$ des marathonien ont couru le marathon en plus de $200$ minutes.
   $\quad$

Exercice 3

1. $u_1=0,8\times 150+45=165$
   $u_2=0,8\times 165+45=177$
   $\quad$
2. a. Le premier algorithme, du fait du “Tant que $U\pg 220$” ne permet pas de calculer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 220$.
   Le bon algorithme est donc le deuxième.
   $\quad$
   b. On a $u_{12} \approx 219,84$ et $u_{13}=220,88$
   Par conséquent l’algorithme affiche $13$.
   $\quad$
3. a. $v_n=u_n-225$ donc $u_n=v_n+225$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-225 \\
   &=0,8u_n+45-225 \\
   &=0,8u_n-180\\
   &=0,8\left(v_n+225\right)-180\\
   &=0,8v_n+180-180\\
   &=0,8v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=150-225=-75$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-75\times 0,8^n$.
   On sait que $u_n=v_n+225$
   Donc $u_n=225-75\times 0,8^n$.
   $\quad$
4. On appelle $p_n$ le nombre de participants à la course à pied lors de l’année $2015+n$.
   Ainsi $p_0=150$
   Chaque année $80\%$ des participants reviennent  soit $0,8p_n$
   Chaque année, il y a $45$ nouveaux participants.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $p_{n+1}=0,8u_n+45$.
   On retrouve la suite $\left(u_n\right)$ des questions précédentes.
   Par conséquent $p_n=225-75\times 0,8^n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $0,8^n \pg 0 \ssi -75 \times 0,8^n \pp 0 \ssi 225-75\times 0,8^n \pp 225$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $p_n \pp 225<250$.
   Ils n’auront donc pas besoin de refuser des inscriptions dans les années à venir.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. a. Nous allons déterminer le degré de chacun des sommets.
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&M&N&W\\
   \hline
   \text{Degré}&2&2&4&3&3&4\\
   \hline
   \end{array}$
   Exactement deux sommets possèdent un degré impair. Le graphe possède donc une chaîne eulérienne. Il existe par conséquent un trajet qui permet à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois.
   $\quad$
   b. Un tel trajet est $M-C-A-W-N-B-C-W-M-N$.
   $\quad$
2. On utilise l’algorithme de Dijkstra pour déterminer le trajet moins cher pour relier Boston à Miami.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&M&N&W&\text{Sommet}\\
   \hline
   &0&&&&&B\\
   \hline
   &\phantom{130(B)}&130(B)&&170(B)&&C\\
   \hline
   230(C)&&&280(C)&170(B)&250(C)&N\\
   \hline
   230(C)&&&280(C)&&250(C)&A\\
   \hline
   &&&280(C)&&250(C)&W\\
   \hline
   &&&280(C)&&&M\\
   \hline
   \end{array}$
   Le trajet le moins cher pour relier Boston à Miami est donc le trajet $B-C-M$. Le coût de ce trajet est de $280$ dollars.
   $\quad$
3. a. La matrice adjacente est :
   $P=\begin{pmatrix}0&0&1&0&0&1\\
   0&0&1&0&1&0\\
   1&1&0&1&0&1\\
   0&0&1&0&1&1\\
   0&1&0&1&0&1\\
   1&0&1&1&1&0
   \end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. Il n’y a aucun trajet reliant Atlanta à Boston directement.
   $P^2=\begin{pmatrix}2&1&1&2&1&1\\
   1&2&0&2&0&2\\
   1&0&4&1&3&2\\
   2&2&1&3&1&2\\
   1&0&3&1&3&1\\
   1&2&2&2&1&4
   \end{pmatrix}$
   Il y a donc $1$ trajet pour aller d’Atlanta à Boston en deux liaisons.
   $P^3=\begin{pmatrix}2&2&6&3&4&6\\
   2&0&7&2&6&3\\
   6&7&4&9&3&9\\
   3&2&9&4&7&7\\
   4&6&3&7&2&8\\
   6&3&9&7&8&6
   \end{pmatrix}$
   Il y a donc $2$ trajets pour aller d’Atlanta à Boston en trois liaisons.
   Finalement, $3$ trajets permettent de relier Atlanta à Boston en trois liaison aériennes maximum : $A-C-B$, $A-W-N-B$, $A-W-C-B$
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Graphiquement les deux solutions, $x_1$ et $x_2$, de l’équation $f(x)=10$ sur l’intervalle $[0;7]$ sont telles que :
   $0<x_1<1$ et $2<x_2<3$
   $\quad$
2. Le maximum de la fonction $f$ vaut environ $14,8$ et il est atteint pour $x=1$.
   $\quad$
3. L’intégrale correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=3$.
   
   Elle est donc supérieure à l’aire du trapèze : $\dfrac{(14+6)\times 2}{2}=20$ u.a. et inférieure à la somme des aires des deux rectangles $15\times 1+11\times 1 =26$.
   Donc la valeur de l’intégrale appartient à l’intervalle $[18;26]$ Réponse b
   $\quad$

Partie B

1. $f'(x)=2\e^{-x+3}-2x\e^{-x+3}=(2-2x)\e^{-x+3}$
   $\quad$
2. a. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2-2x$.
   $2-2x=0 \ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi x<1$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   b. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est $2\e^2$.
   $\quad$
3. a. Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
   $f(0)=0<10$ et $f(1)=2e^{2}>10$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1]$.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[1;7]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
   $f(1)=2e^{2}>10$ et $f(7)=14\e^{-4}<10$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=10$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;7]$.
   $\quad$
   L’équation $f(x)=10$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$.
   $\quad$
   b. A l’aide de la calculatrice on trouve $\beta \approx 2,16$.
   $\quad$
4. a. $F'(x)=-2\e^{-x+3}-(-2x-2)\e^{-x+3}=(-2+2x+2)\e^{-x+3}=f(x)$.
   $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
   $\quad$
   b. La valeur de l’aire du domaine est
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle \int_1^3 f(x)\dx \\
   &=F(3)-F(1)\\
   &=-8+4\e^{2} \text{u.a}
   \end{align*}$
   $\quad$
5. a. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
   $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{3-1}\int_1^3 f(x)\dx\\
   &=\dfrac{4\e^2-8}{2}\\
   &\approx 10,778
   \end{align*}$
   Par conséquent la valeur moyenne du bénéfice lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets est $10~778$ euros.
   $\quad$
   b. On cherche donc à résoudre l’inéquation $f(x) > 10$.
   D’après la question 3.a. la solution est $]\alpha;\beta[$.
   L’entreprise doit donc vendre entre $36$ et $216$ objets pour que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
   $\quad$

 

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$ :

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

1. Le nombre de solutions sur l’intervalle $]0;10]$ de l’équation $f'(x) = 0$ est égal à :
   a. $1$
   b. $2$
   c. $3$
   $\quad$
2. Le nombre réel $f'(7)$ est :
   a. nul
   b. strictement positif
   c. strictement négatif
   $\quad$
3. La fonction $f’$ est :
   a. croissante sur $]0;10]$
   b. croissante sur $[4;7]$
   c. décroissante sur $[4;7]$
   $\quad$
4. On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $]0;10]$ on a: $f'(x) = \ln x-\dfrac{x}{2}+1$.
   La courbe $\mathscr{C}_{f}$ admet sur cet intervalle un point d’inflexion:
   a. d’abscisse $2,1$
   b. d’abscisse $0,9$
   c. d’abscisse $2$
   $\quad$

Exercice 2    5 points

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.
Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

• $34\%$ des coureurs terminent la course en moins de $234$ minutes;
• parmi les coureurs qui terminent la course en moins de $234$ minutes, $5\%$ ont plus de $60$ ans;
• parmi les coureurs qui terminent la course en plus de $234$ minutes, $84\%$ ont moins de $60$ ans.

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les événements suivants:

• $A$ : “le coureur a terminé le marathon en moins de $234$ minutes” ;
• $B$ : “le coureur a moins de $60$ ans”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité de l’événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\conj{E}$ désigne l’événement contraire de $E$.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l’exercice :
   
2. a. Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de $234$ minutes et soit âgée de plus de $60$ ans.
   $\quad$
   b. Vérifier que $P\left(\conj{B}\right) \approx 0,123$.
   $\quad$
   c. Calculer $P_{\conj{B}}(A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice.
   $\quad$

Partie B

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 250$ et d’écart type $\sigma = 39$.

1. Calculer $P(210 \pp T \pp 270)$.
   $\quad$
2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre $210$ minutes et $270$ minutes pour finir le marathon.
   Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de $240$ minutes.
   $\quad$
3. a. Calculer $P (T \pp 300)$.
   $\quad$
   b. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $t$, arrondi à l’unité, vérifiant $P(T \pg t) = 0,9$.
   $\quad$
   c. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice.
   $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité, candidats L

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 150$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 0,8 u_n + 45$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   $\quad$
2. Voici deux propositions d’algorithmes :
   
   a. Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d’afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 220$.
   Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algorithme ne le permet pas.
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme choisi à la question précédente ?
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n-225$.
   a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
   $\quad$
   b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 225-75 \times 0,8^n$.
   $\quad$
4. Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de $150$.
   On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre :
   $\bullet$ $20\%$ des participants ne reviennent pas l’année suivante ;
   $\bullet$ $45$ nouveaux participants s’inscrivent à la course.
   La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à $250$.
   Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
   $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Alexis part en voyage dans l’Est des Etats-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :

Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

 

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

1. a. Quelles caractéristiques du graphe permettent d’affirmer qu’il existe un trajet qui permet à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
   $\quad$
   b. Donner un exemple d’un tel trajet.
   $\quad$
2. Alexis veut relier Boston à Miami.
   En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.
   $\quad$
3. a. Donner la matrice d’adjacence $P$ de ce graphe en classant les sommets par ordre alphabétique.
   $\quad$
   b. Alexis souhaite aller d’Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
   Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces trajets.
   $\quad$

Exercice 4    6 points

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.
Celui-ci présente dans un repère d’origine $O$ la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$.

1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation $f(x) = 10$ sur l’intervalle $[0;7]$.
   $\quad$
2. Donner le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
   $\quad$
3. La valeur de l’intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dx$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
   a. $[9;17]$
   b. $[18;26]$
   c. $[27;35]$
   $\quad$

Partie B

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;7]$ d’expression: $$f(x) = 2x\e^{-x+3}$$

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;7]$, $f'(x) = (-2x+2)\e^{-x+3}$.
   $\quad$
2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
   $\quad$
   b. Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
   $\quad$
3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l’intervalle $[0;7]$ que l’on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
   $\quad$
   b. On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
   Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
4. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;7]$ par: $$F(x) = (-2x-2)\e^{-x+3}$$
   a. Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$.
   $\quad$
   b. Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation $x = 1$, $x = 3$, l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.
   $\quad$
5. La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d’objets ($x$ compris entre $0$ et $7$).
   a. Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre $100$ et $300$ objets.
   $\quad$
   b. L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à $10~000$ euros.
   Déterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
   $\quad$

Annexe (n’est pas à rendre avec la copie)