Métropole – TES/TL – Septembre 2014

Métropole – TES/TL – Septembre 2014

Mathématiques – Correction

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Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    metropole - tes-sept2014-ex1 (1)
  2. On cherche à calculer $p(T \cap C) = 0,5 \times 0,8 = 0,4$.
    $\quad$
  3. a. D’après le théorème des probabilités totales on a :
    $p(C) = p(T \cap C) + p(R \cap C) + p(B \cap C)$
    Soit $0,7 = 0,4 + 0,4 \times 0,6 + p(B \cap C)$
    D’où $p(B \cap C) = 0,06$
    $\quad$
    b. On a donc $p_B(C) = \dfrac{p(B \cap C)}{p(B)} = \dfrac{0,06}{0,1} = 0,6$
    $\quad$
  4. On cherche $p_C(T) = \dfrac{p(C \cap T)}{p(C)} = \dfrac{0,4}{0,7} = \dfrac{4}{7} \approx 0,571$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut $P(74 \le X \le 94) \approx 0,954$.
    $\quad$
  2. On veut donc $P \left( X > \dfrac{2}{3} \times 120 \right) = P(X > 80) = 0,5 + P(80 < X < 84) \approx 0,788$

$\quad$

Exercice 2

  1. En $2013$ le lycée a $0,7 \times 700 + 240 = 730$ élèves.
    En $2014$ le lycée a $0,7 \times 730 + 240 = 751$ élèves.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align} u_{n+1} &= a_{n+1} – 800 \\\\
    &= 0,7a_n + 240 – 800 \\\\
    &= 0,7a_n – 560 \\\\
    &= 0,7a_n – 0,7 \times 800 \\\\
    &=0,7(a_n – 800) \\\\
    &=0,7u_n
    \end{align}$
    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,7$ et de premier termer $u_0 = 700 – 800 = -100$.
    $\quad$
    b. On a ainsi $u_n = -100 \times 0,7^n$.
    $\quad$
    c. Et $a_n = u_n+800 = 800 – 100 \times 0,7^n$.
    $\quad$
  3. a. $\quad$
    $\begin{align} 800 – 100 \times 0,7^n \ge 780 & \Leftrightarrow -100 \times 0,7^n \ge -20 \\\\
    & \Leftrightarrow 0,7^n \le 0,2
    \end{align}$
    $\quad$
    b. On a ainsi $n \ln 0,7 \le \ln 0,2 \Leftrightarrow n \ge \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,7}$
    Soit $n \ge 5$.
    Il faudra donc agrandir le lycée en $2017$.

$\quad$

Exercice 3

  1. La courbe représentative de la fonction $f”$ s’annule et change de signe en $-2$ et $3$. La courbe représentative de $f$ possède donc des points d’inflexion.
    $\quad$
  2. Sur $[-2;3]$ on a $f”(x) \le 0$ donc $f$ est concave.
    $\quad$
  3. Il n’y a pas de point d’inflexion au point d’abscisse $-2$ sur la courbe $1$.
    La courbe $2$ représente donc la fonction $f$.

$\quad$

Exercice 4

  1. $f'(x) = -2x -4 + 6 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{-2x^2-4x+6}{x}$
    $\quad$
  2. Sur $[0,5;10]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de son numérateur : -2x^2-4x+6
    $\Delta = (-4)^2 – 4\times (-2) \times 6 = 64$.
    Il y a donc deux racines $x_1 = \dfrac{4 – \sqrt{64}}{-4} = 1$ et $x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{64}}{-4} = -3 $.
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant
    metropole - tes-sept2014-ex4 (1)
    où $a = \dfrac{51}{4} + 6\ln 0,5$ et $b= -125 + 6\ln 10$.
    $\quad$
  3. Sur l’intervalle $[0,5;1]$ on a $f(x) > 0$. Donc l’équation $f(x) =0$ ne possède pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $[1;10]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
    $f(1) = 10 >0$ et $f(10) = b <0$. Donc $0 \in [b;10]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[1;10]$ et par conséquent également sur $[0,5;10]$.
    $\quad$
    On a $\alpha \approx 3,06$.
    $\quad$
  4. $F$ est dérivable comme comme et produit de fonctions dérivables sur $[0,5;10]$.
    Et $F'(x)=-x^2-4x+9 + 6\ln(x) + 6x \times \dfrac{x} = -x^2-4x+15+6\ln(x) = f(x)$.
    Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[0,5;10]$.
    $\quad$
  5. On a donc $I = F(3) – F(1) = 18\ln 3 – \dfrac{20}{3} \approx 13,108$ u.a..
    $\quad$
  6. La valeur moyenne de $f$ sur $[1;3]$ est donnée par $m=\displaystyle \dfrac{1}{3-1} \int_1^3 f(x)\mathrm{d}x = \dfrac{I}{2}$.
    Par conséquent $m = 9\ln 3 – \dfrac{10}{3} \approx 6,554$