Bac S – Asie Juin 2015

Asie Juin 2015

BAC S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de flèches ayant atteint la cible.
    Il y a quatre tirages indépendants, aléatoires et identiques. Chaque tirage possède 2 issues : $C$ “la cible est atteinte” et $\overline{C}$. De plus $p(C) = 0,8$.
    $X$ suit alors la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,8)$.
    $\begin{align*} P(X \ge 3) &= P(X= 3) + P(X = 4) \\\\
    & = 1 – \displaystyle \binom{4}{3} \times 0,8^3 \times 0,2^1 + \binom{4}{4} \times 0,8^4 \times 0,2^0 \\\\
    & = 0,4096 + 0,4096 \\\\
    &= 0,8192
    \end{align*}$
    La probabilité qu’il atteigne au moins trois la cible est de $0,819$ arrondi au millième.
    $\quad$.
  2. On appelle $X’$ la variable aléatoire comptant le nombre de flèches ayant atteint la cible.
    Pour les mêmes raisons qu’à la question précédentes, $X’$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n;0,8)$.
    On veut que :
    $\begin{align*} E(X’) = 12 & \ssi n \times 0,8 = 12 \\\\
    & \ssi n = \dfrac{12}{0,8} \\\\
    & \ssi n = 15
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On calcule dans un premier temps, la probabilité que le point d’impact soit situé dans la zone grisée.
    $p = P(-10 \le X \le 10) \approx 0,693$
    La probabilité que le point d’impact soit situé hors de la bande grisée est donc $1 – p \approx 0,317$.
    $\quad$
  2. On appelle $Z = \dfrac{X}{10}$ . Cette variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.
    On cherche la valeur de $a$ telle que :
    $\begin{align*} P(-a \le X \le A) = 0,6 & \ssi P\left(-\dfrac{a}{10} \le X \le \dfrac{a}{10}\right) = 0,6 \\\\
    & \ssi 2P\left(Z \le \dfrac{a}{10}  \right) – 1 = 0,6 \\\\
    & \ssi 2P\left(Z \le \dfrac{a}{10}  \right) = 1,6 \\\\
    & \ssi P\left(Z \le \dfrac{a}{10}  \right) = 0,8 \\\\
    & \ssi \dfrac{a}{10} \approx 0,8416 \\\\
    & \ssi a \approx 8,416
    \end{align*}$
    Les bords de la cible doivent être situés à $8,416$ cm de l’axe des ordonnées.
    $\quad$

Partie C

  1. On veut calculer
    $\begin{align*} P(T \ge 2~000) &= \e^{-\lambda \times 2~000} \\\\
    & = \e^{-0,2} \\\\
    & \approx 0,819
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $F$ est une fonction dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur  $\R$.
    $\begin{align*} F'(t) &= -\e^{-\lambda t} -\lambda \left(-t – \dfrac{1}{\lambda}\right) \e^{-\lambda t} \\\\
    & = -\e^{-\lambda t} +\lambda t \e^{-\lambda t} + \e^{-\lambda t} \\\\
    &= \lambda t \e^{-\lambda t} \\\\
    &= f(t)
    \end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive sur $\R$ de $f$.
    $\quad$
    b. Soit $x$ un réel positif,
    $\displaystyle \begin{align*}  \int_0^x f(t)\mathrm{d}t & = F(x) – F(0)\\\\
    &= \left(-x – \dfrac{1}{\lambda}\right)\e^{-\lambda x} – \left(-\dfrac{1}{\lambda}\right) \\\\
    & = \dfrac{1}{\lambda} -x\e^{-\lambda x} – \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} \\\\
    & = \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{\lambda x}{\lambda}\e^{-\lambda x} – \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x}
    \end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -\lambda x = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x\e^{x} = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\lambda x}{\lambda}\e^{-\lambda x} = 0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-\lambda x} = 0$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} E(T) & = \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x f(t)\mathrm{d}t \\\\
    & = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{\lambda x}{\lambda}\e^{-\lambda x} – \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\lambda x} \\\\
    & = \dfrac{1}{\lambda}
    \end{align*}$
    $\quad$
    L’espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des concurrents est donc $\dfrac{1}{10^{-4}} = 10^4 = 10~000$ heures.
    $\quad$

Exercice 2

  1. Affirmation 1 : Fausse
    On appelle $\vec{n}_1(1;1;1)$ et $\vec{n_2}(7;-2;1)$ des vecteurs normaux respectivement aux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\vec{n}_1.\vec{n}_2 = 7 -2 + 1 = 6 \neq  0$.
    Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux. Par conséquent les plans ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
  2. Affirmation 2 : Vraie
    Les deux vecteurs n’étant clairement pas colinéaires, les plans sont sécants.
    regardons si la droite dont une représentation paramétrique nous est fournie est incluse dans chacun des plans.
    Pour le plan $\mathscr{P}_1$ :
    $ t + 2t + 1 -3t + 4 – 5 = 3t – 3t + 5 – 5 = 0$
    Pour le plan $\mathscr{P}_2$ :
    $7t – 2(2t + 1) + (-3t + 4) – 2 = 7t – 4t -2 -3t + 4 – 2 = 0$.
    $\quad$
    La représentation paramétrique fournie vérifie bien les équations cartésiennes des deux plans. Il s’agit donc bien de la représentation paramétrique de la l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
  3. Affirmation 3 : Fausse
    On a $n=312$ et $f = \dfrac{223}{312}$.
    Ainsi $n \ge 30$, $nf = 223 \ge 5$ et $n(1 -f) =89\ge 5$.
    Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ :
    $\begin{align*} I_{312} &= \left[\dfrac{223}{312} – \dfrac{1}{\sqrt{312}};\dfrac{223}{312} + \dfrac{1}{\sqrt{312}}\right] \\\\
    & \approx [0,658;0,772]
    \end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : La réponse proposée étant “presque” la bonne (à l’arrondi par excès près) il y a peut-être une coquille dans l’énoncé original.
    $\quad$
  4. Affirmation 4 : Fausse
    Effectuons les premières étapes
    $a = 1$ et $b = 2$ donc $b-a = 1 > 0,3$
    $x = 1,5$ or $f(1,5) = -0,75$ et $f(1) = -2$ donc $f(x)f(a) > 0$
    $\quad$
    Par conséquent $a = 1,5$ et $b= 2$ et $b-a= 0,5 > 0,3$
    $x= 1,75$ or $f(1,75) = 0,0625$ et $f(1,5) = -0,75$ donc $f(x)f(a) <0$
    $\quad$Par conséquent $a=1,5$ et $b=1,75$. Mais $1,75 – 1,5 = 0,25 <0,3$.
    L’algorithme affiche donc $\dfrac{1,5 + 1,75}{2} = 1,625$.

$\quad$

Exercice 3

Partie A : généralités sur les fonctions $f_n$

  1. Pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions croissantes sur cet intervalle.
    $\quad$
    De plus, sur $[0;1]$, $x \ge 0$ et la fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, on a $\e^{n(x-1)} > 0$.
    Par conséquent, pour tout $x \in [0;1]$, $f_n(x) \ge 0$.
    $\quad$
  2. Montrons que le point $A(1;2)$ appartient à toutes les courbes $C_n$.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $f_n(1) = 1 + \e^0 = 2$.
    Le point $A(1;2)$ appartient bien à toutes les courbes $C_n$.
    $\quad$
  3. Il semblerait que les coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $C_n$ correspondent aux éléments d’une suite croissante de limite $+\infty$.
    $\quad$.
    Pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $ f_n'(x) = 1 +n\e^{n(x-1)}$.
    Or le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $C_n$ est donné par $f_n'(1) = 1 + n$.
    La suite $(1+n)_{n\in \N}$ est clairement croissante et de limite $+\infty$.
    $\quad$

Partie B : évolution de $f_n(x)$ lorsque $x$ est fixé

  1. Si $x=1$, on a alors $u_n = 1 + 1 = 2$.
    La suite $(u_n)$ est donc constante et a pour limite $2$.
    $\quad$
  2. Si $0 \le x <1$ on a alors $u_n = x + \left(e^{x-1}\right)^n$.
    Or $x-1 < 0 $ donc $0 < \e^{x-1} < 1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(e^{x-1}\right)^n = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = x$.
    $\quad$

Partie C : aire sous les courbes $C_n$

Le domaine délimité par la courbe $f_n$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$ semble se rapprocher de plus en plus d’un triangle rectangle isocèle de côté $1$. Par conséquent la limite de $A_n$ semble être $\dfrac{1}{2}$.

On a :

$\begin{align*} A_n & = \displaystyle \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d}x \\\\
& = \left[\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{n}\e^{n(x-1)}\right]_0^1 \\\\
& = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{n}\left(1 – \e^{-n}\right)
\end{align*}$
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} e^{-n} = 0$ et  $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.
Par conséquent, par somme et produit des limites  $\lim\limits_{n \to +\infty} A_n = \dfrac{1}{2}$.

$\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A : propriété du nombre $j$

  1. a. $z^2 + z + 1 = 0$
    $\Delta = 1^2 – 4 = -3<0$
    Cette équation possède donc deux racines réelles :
    $$z_1 = \dfrac{-1 – \ic \sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad z_2 = \dfrac{-1 + \ic\sqrt{3}}{2}$$
    $\quad$
    b. $z_2 = \dfrac{-1 + \ic\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{1}{2} + \ic \dfrac{\sqrt{3}}{2} = j$.
    Donc $j$ est une solution de cette équation.
    $\quad$
  2. $|j| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = 1$.
    arg$(j)$ $= \dfrac{2\pi}{3}$.
    Donc $j = \e^{2\pi\ic /3}$
    $\quad$
  3. a. $j^3  = \left(\e^{2\ic \pi /3}\right)^3 = \e^{2\ic \pi} = 1$
    $\quad$
    b. $j$ est solution de l’équation $z^2 + z +1 = 0$.
    $\quad$
    Par conséquent $j^2 + j + 1 = 0 \ssi j^2 = -1 – j$.
    $\quad$
  4. On a ainsi $PQ = |1 – j| = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
    $PR = \left|1 – j^2\right| = |2 + j| = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
    $QR = |-1 – j – j| = |-1 – 2j|= \left|-1 + 1 + \sqrt{3}\ic\right| = \sqrt{3}$.
    Le triangle $PQR$ est donc équilatéral.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    $\begin{align*} a + jb + j^2c = 0 & \ssi a + jb + (-1-j)c = 0 \\\\
    & \ssi a + jb – c – jc = 0\\\\
    & \ssi a – c = j(c – b)
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} AC &= |c- a| \\
    &= |a – c| \\
    &= |j| |c – b| \\
    &= |c – b| \\
    &= BC
    \end{align*}$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} a – b & = -jb – j^2 c – b \\\\
    & = (-1 – j)b – j^2 c \\\\
    &= j^2b – j^2 c \\\\
    &= j^2 (b – c)
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $j^2 = \left(\e^{2\pi\ic /3}\right)^2 = \e^{4\pi\ic /3}$.
    Par conséquent $\left|j^2\right| = 1$.
    Donc :
    $\begin{align*} BA & = |a – b| \\
    & = \left|j^2\right||b – c| \\
    & = |b – c| \\
    & = CB
    \end{align*}$
    Ainsi $AC = BC = AB$.
    Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.

Exercice 4

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Partie A : nombres triangulaires et carrés d’entiers

  1. $36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8$
    Donc $36$ est un nombre triangulaire.
    De plus $36 = 6^2$ c’est également le carré d’un entier.
    $\quad$
  2. a. $1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
    Par conséquent $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d’un entier si, et seulement s’il existe un entier naturel $p$ tel que :
    $\dfrac{n(n+1)}{2} = p^2 \ssi n(n+1) = 2p^2 \ssi n^2 + n – 2p^2 = 0$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*} n^2+n-2p^2 = 0 & \ssi 4\left(n^2 + n – 2p^2\right) = 0 \\\\
    & \ssi 4n^2 + 4n – 8p^2 = 0 \\\\
    & \ssi 4n^2 + 4n + 1 – 1 – 8p^2 = 0 \\\\
    & \ssi (2n + 1)^2 – 1 – 8p^2 = 0 \\\\
    & \ssi (2n+1)^2 – 8p^2 = 1
    \end{align*}$
    Donc le nombre $1 + 2 +\ldots + n$ est le carré d’un entier si, et seulement s’il existe un entier naturel $p$ tel que $(2n+1)^2 – 8p^2 = 1$.
    $\quad$

Partie B : étude de l’équation diophantienne associée

  1. $3^2 – 8\times 1^2 = 9 – 8 = 1$. Le couple $(3;1)$ est donc solution de $(E)$.
    $1^2 – 8 \times 0^2 = 1$. Le couple $(1;0)$ est donc solution de $(E)$.
    $\quad$
  2. Soit $(x;y)$ un couple de solution de $(E)$ alors
    $x^2 – 8y^2 = 1$.
    D’après le théorème de Bezout, les nombres $x^2$ et $y^2$ sont donc premiers entre eux.
    Supposons que $a$ soit un diviseur commun à $x$ et $y$.
    Alors $a$ divise également $x\times x = x^2$ et $y \times y = y^2$.
    Or ces deux nombres sont premiers entre eux.
    Par conséquent $x$ et $y$ le sont également.
    $\quad$

Partie C : lien avec le calcul matriciel

  1. $\quad$
    $\begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 3x + 8y \\x+ 3y \end{pmatrix}$
    Donc $x’= 3x + 8y$ et $y’ = x + 3y$.
    $\quad$
  2. $A^{-1} = \dfrac{1}{9 – 8} \begin{pmatrix} 3 &-8 \\-1& 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 &-8 \\-1& 3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    On a ainsi $\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 3x’ – 8y’ \\-x’+ 3y’ \end{pmatrix}$
    Donc $x= 3x’ – 8y’$ et $y = -x’ + 3y$.
  3. Supposons que $(x;y)$ soit solution de $(E)$ alors :
    $\begin{align*} x’^2 – 8y’^2 &= (3x+8y)^2 – 8(x+3y)^2 \\\\
    &= 9x^2 +48xy + 64y^2 – 8x^2 -48xy -72y^2 \\\\
    &= x^2 – 8y^2 \\\\
    & = 1
    \end{align*}$
    Ainsi $(x’;y’)$ est également solution de $(E)$.
    $\quad$
    Réciproquement, supposons que $(x’;y’)$ soit solution de $(E)$ alors :
    $\begin{align*} x^2-8y^2 & = (3x’-8y’)^2 – 8(-x’+3y’)^2 \\\\
    & = 9x’^2 – 48x’y’ + 64y’^2 – 8x’^2 + 48x’y’ – 72y’^2 \\\\
    &= x’^2 – 8y’^2 \\\\
    &= 1
    \end{align*}$
    Ainsi $(x;y)$ est également solution de $(E)$.
    $\quad$
  4. Initialisation :
    si $n=0$ alors $x_0=3$ et $y_0 = 1$
    D’après la question B.1 le couple $(3;1)$ est solution de l’équation $(E)$.
    Ainsi la propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité :
    Supposons la propriété vraie au rang $n$: $(x_n;y_n)$ est solution de $(E)$.
    Alors d’après la question C.3 le couple $(x’;y’)$ défini par $\begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$ est également solution de $(E)$.
    Donc $(x_{n+1};y_{n+1})$ est solution de $(E)$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion :
    La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, le couple $(x_n;y_n)$ est solution de $(E)$.
    $\quad$

Partie D : retour au problème initial

Si $N = 1 + 2 + \ldots + n$ est un nombre triangulaire supérieur à $2~015$ et également le carré d’un entier alors il vérifie $N \ge 2~015$ et $(2n +1)^2 – 8p^2 = 1$.
Si on prend $n \ge 2~015$ alors la condition $N \ge 2~2015$ est évidemment vérifiée.
Par conséquent $2n+1 \ge 4031$.
On utilise la suite de couple $(x_n;y_n)$ définie dans la partie précédente. On cherche un couple tel que $x_n \ge 4031$.

On obtient les couples suivants :

$(17;6)$
$(99;35)$
$(577;204)$
$(3~363;1~189)$
$(19~601;6~930)$

Ainsi $2n + 1 = 19~601$ soit $n= 9~800$.

On a alors $N = \dfrac{n(n+1)}{2} = 48~0824~900$ est un nombre triangulaire. De plus $N$ est le carré de $6~930$.
Ce n’est, cependant, pas le plus petit nombre cherché.
On pouvait ainsi par exemple prendre $2n+1 = 577$ soit $n=288$ et donc $N = 41~616$ carré de $204$.