Bac S – Asie – Juin 2016

Asie – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : production de fraises

On appelle :

• $A$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre A”;
• $B$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre B”;
• $F$ l’événement “la fleur donne un fruit”;

Bac S - asie - juin 2016 - ex1


Proposition 1 : vraie

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B \cap F) \\
&=0,55\times 0,88 + 0,45 \times 0,84 \\
&=0,862
\end{align*}$

$\quad$

Proposition 2 : fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(A \cap F)}{p(F)} \\
&=\dfrac{0,55 \times 0,88}{0,862} \\
& \approx 0,561
\end{align*}$

$\quad$

Partie B : conditionnement des fraises

  1. $250-237 = 13$ et $250+13=263$. Donc $P(X \geqslant 263)=P(X \leqslant 237)=0,14$.
    $\begin{align*} P(237 \leqslant X \leqslant 263)&=1-\left(P(X \leqslant 237)+P(X \geqslant 263)\right) \\
    &= 1-0,28 \\
    &=0,72
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X \leqslant 237) = 0,14 &\ssi P\left(\dfrac{X-250}{\sigma} \leqslant \dfrac{237-250}{\sigma}\right) = 0,14 \\
    &\ssi \ssi P\left(Y{\sigma} \leqslant -\dfrac{13}{\sigma}\right) = 0,14
    \end{align*}$
    c. Donc, en utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que :
    $-\dfrac{13}{\sigma} \approx -1,08$
    Par conséquent $\sigma \approx \dfrac{-1,08}{-13}$ soit $\sigma \approx 12$.
    $\quad$
  3. a. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $ \begin{align*} P(250-n \leqslant X \leqslant 250+n) \geqslant 0,95 &\ssi P\left(\dfrac{-n}{12} \leqslant \dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,95 \\
    &\ssi 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right)-1\geqslant 0,95 \\
    &\ssi 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 1,95 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,975
    \end{align*}$
    Puisque la variable aléatoire $\dfrac{X-250}{12}$ suit la loi normale centrée réduite on trouve donc, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{n}{12} \geqslant 1,960$ soit $n \geqslant 23,52$ et donc $n \geqslant 24$.
    Remarque : On pouvait remarquer qu’on nous demandait de trouver $u_{\alpha}$ tel que $P\left(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}\right) = 1-0,05$ et d’après le cours $u_{\alpha}\approx 1,96$.
    $\quad$
    b. On veut trouver la plus petite valeur de $m$ telle que :
    $\begin{align*} P(230 \leqslant X \leqslant m) \geqslant 0,95 &\ssi 1-P(X \leqslant 230)-P(X \geqslant m) \geqslant 0,95\\
    &\ssi P(X \leqslant m)-P(X \leqslant 230) \geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m)-\left(0,5-P(230 \leqslant X \leqslant 250)\right)\geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m)-0,047~8\geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m) \geqslant 0,9978 \\
    &\ssi m\geqslant 284,18
    \end{align*}$
    La plus petite valeur de $m$ cherchée est donc environ $285$

Ex 2

Exercice 2

  1. Si $a=0$ alors $f_0(x)=0$
    Par conséquent $I(0)=\displaystyle \int_0^1 f_0(x)\mathrm{d}x=0$.
    $\quad$
  2. a. $a=1$ et $f_1(x)=\e^x+1$
    On obtient ainsi la représentation suivante où $I(1)$ correspond à l’aire de la partie coloriée.
    Bac S - asie - juin 2016 - ex2 (1)
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I(1) &= \displaystyle \int_0^1 \left(\e^x+1\right)\mathrm{d}x \\
    &=\big[\e^x+x\big]_0^1 \\
    &=\e^1+1-1 \\
    &=\e \\
    &\approx 2,7
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Une primitive de $f_a$ sur $[0;1]$ est la fonction $F_a$ définie par $F_a(x)=\e^{ax}+ax$ pour tout $x\in[0;1]$.
    Par conséquent $I(a)=F_a(1)-F_a(0)=\e^a+a-1$.
    On appelle $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\e^x+x-1$
    $g$ est continue sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle et est strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissante (la fonction exponentielle et une fonction affine).
    $g(0)=1-1=0<2$
    $g(1)=\e>2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe donc une unique solution à l’équation $g(x)=2$.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve $0,792 < \alpha < 0,793$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : premier modèle – avec une suite

  1. a. $1$ kg $=1~000$ g, ce qui nous donne $u_0$.
    Chaque jour la masse des bactéries augmente de $20\%$. Elle est donc multipliée chaque jour par $1,2$ d’où le terme $1,2u_n$.
    $100$ g de bactéries sont perdues chaque jour.
    Donc la  masse, en grammes, des bactéries est représentée par la suite $\left(u_n\right)$  définie par $\begin{cases}u_0=1~000\\u_{n+1}=1,2u_n-100\end{cases}$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le premier rang à partir duquel $u_n > 30~000$.
    La calculatrice nous indique que $u_{22} \approx 28~103$ et $u_{23}\approx 33~623$ (on n’a cependant pas prouvé que la suite était croissante; ce qui serait à faire pour une étude rigoureuse).
    Au bout de $23$ jours la masse de bactérie dépasse $30$ kg.
    $\quad$
    c. Variables :
    $\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $u\leqslant 30$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $1,2u-100$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : si $n=0$, $u=1~000 \geqslant 1~000$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~000$
    $\begin{align*} u_{n+1} &=1,2u_n-100 \\
    &\geqslant 1,2 \times 1~000-100 \\
    &\geqslant 1~100 \\
    &\geqslant 1~000
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1~000$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=1,2u_n-100-u_n \\
    &=0,2u_n-100 \\
    &\geqslant 0,2 \times 1~000-100 \\
    &\geqslant 100 \\
    & \geqslant 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\
    &=1,2u_n-100-500 \\
    &=1,2u_n-600 \\
    &=1,2\left(u_n-\dfrac{600}{1,2}\right) \\
    &=1,2\left(u_n-500\right) \\
    &=1,2v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=u_0-500=500$.
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
    $v_n=500\times 1,2^n$
    et $u_n=v_n-500=500\times 1,2^n-500$
    $\quad$
    c. $1,2>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,2^n=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$

Partie B : second modèle – avec une fonction

  1. a. $f(0)=\dfrac{50}{1+49}=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $t\geqslant 0$ on a :
    $\begin{align*} f(t)-50 = \dfrac{50}{1+49\e^{-0,2t}}-50 \\
    &=50\left(\dfrac{1}{1+49\e^{-0,2t}}-1\right) \\
    &=50\times\dfrac{1-1-49\e^{-0,2t}}{1+49\e^{-0,2t}} \\
    &=\dfrac{-50\times 49\e^{-0,2t}}{1+49\e^{-0,2t}}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f(t)-50 < 0$ sur $[0;+\infty[$ soit $f(t) <50$ pour tout $t \geqslant 0$.
    $\quad$
    c. Sur $[0;+\infty[$, la fonction $t \to -0,2t$ est strictement décroissante.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ la fonction $t \to 1+49\e^{-0,2t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Remarque : On pouvait évidemment étudier le signe de la dérivée mais c’était pour changer 😉 .
    $\quad$
    d. $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,2t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} e^T=0$.
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} 1+49\e^{-0,2t}=1$.
    Et $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=50$.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que :
    • A l’instant $t=0$ jour, il y a $1$ kg de bactéries dans la cuve;
    • La masse de bactéries ne dépassera jamais $50$ kg;
    • La masse de bactéries ne cesse d’augmenter;
    • Au bout d’un grand nombre de jours, il y aura $50$ kg de bactéries dans la cuve.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(t) > 30 &\ssi \dfrac{50}{1+49\e^{-0,2t}} > 30 \\
    &\ssi 50 > 30\left(1+49\e^{-0,2t}\right) \quad \text{car } 1+49\e^{-0,2t}>0 \text{ pour tout } t \geqslant 0 \\
    &\ssi 20 > 1~470\e^{-0,2t} \\
    &\ssi \dfrac{2}{147} > \e^{-0,2t} \\
    &\ssi \ln \dfrac{2}{147} > -0,2t \\
    &\ssi -\dfrac{\ln \dfrac{2}{147}}{0,2} < t \\
    &\ssi \dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2} < t
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation $f(t)>30$ est l’intervalle $\left]\dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2};+\infty\right[$.
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2} \approx 21,48$.
    C’est donc le cinquième jour que la masse de bactéries dépassera $22$ kg.
    $\quad$

Partie C : un contrôle de qualité

On a $n=200 \geqslant 30$ et $p=0,8$ donc $np=160 \geqslant5$ et $n(1-p)=40 \geqslant 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{200}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{200}} \right] \\
&\approx [0,744;0,856]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{146}{200}=0,73 \notin I_{200}$

Au risque d’erreur de $5\%$ l’affirmation de l’entreprise doit être remise en cause.

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On considère un vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ d’un rayon.
    Un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAB)$ est $\vect{v_1}(a;b-c)$.
    Un vecteur directeur du rayon réfléchi ensuite par le plan $(OBC)$ est $\vect{v_2}(-a;b;-c)$.
    Enfin un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAC)$ est $\vect{v_3}(-a;-b-;-c)$.
    $\vec{v_3}=-\vec{v}$
    Le rayon final est donc parallèle au rayon initial.
    $\quad$
  2. a. Une représentation paramétrique de la droite $d_2$ est :
    $\begin{cases} x=2-2t\\y=3-t \quad t\in \R \\z=t \end{cases}$
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $(OBC)$ est $\vect{OA}(1;0;0)$.
    Une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
    Puisque $O$ appartient à ce plan on a $d=0$ et par conséquent une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est $x=0$.
    $\quad$
    c. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $d_2$ on obtient $\begin{cases} x=0\\y=2\\z=1\end{cases}$. Donc le point $I_2$ appartient bien à $d_2$.
    L’abscisse de $I_2$ vaut $0$. $I_2$ appartient donc également au plan $(OBC)$.
    $\vect{OA}$ et $\vect{v_2}$ ne sont clairement pas colinéaires : la droite et le plan ne sont pas parallèles.
    Par conséquent la droite $d_2$ et le plan $(OBC)$ sont sécants en $I_2$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(OAC)$ est $y=0$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d_3$ est $\begin{cases} x=2t\\y=2-t \quad t \in \R \\z=1+t \end{cases}$
    Le point d’intersection de  ce plan et de cette droite est $I_3$.
    Ses coordonnées vérifient à la fois les équations de la droite et celle du plan.
    Donc $2-t=0$ soit $t=2$.
    Par conséquent $\begin{cases} x=4\\y=0\\z=3 \end{cases}$
    Finalement $I_3(4;0;3)$.
    $\quad$
  4. a. $\vec{u}.\vect{v_1}=1\times (-2)+(-1)\times (-2)+0=0$
    $\vec{u}.\vect{v_2}=1\times (-2)+(-2)\times (-1)+0=0$
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
    C’est par conséquent un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $x-2y+d=0$.
    Le point $I_1(2;3,0)$ appartient à $\mathscr{P}$ car il appartient à $d_1$.
    Donc $2-6+d=0$ soit $d=4$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est par conséquent $x-2y+4=0$.
    $\quad$
    Le point $I_3(4;0;3)$ appartient à $d_3$
    Mais $4-2\times 0+4\neq 0$. Le point $I_3$ n’appartient pas à $\mathscr{P}$.
    Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ne sont pas situées dans un même plan.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vect{v_1}$ est un vecteur directeur de la droite $d_4$. Le point $I_3$ appartient à cette droite.
    Le point $I_3$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$ défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
    Par conséquent les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ ne sont pas situées dans un même plan.

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : quelques résultats

  1. a. $9\times 3-26\times 1 = 27-26=1$.
    Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Soit $(d;m)$ un couple solution de $(E)$.
    On a donc :
    $9d-26m=1$ et $9\times 3-26\times 1=1$
    Par différence on obtient :
    $9(d-3)-26(m-1)=0$ soit $9(d-3)=26(m-1)$.
    $\quad$
    c. $26$ et $9$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
    $d-3=26k$ et $m-1=9k$
    Soit $d=3+26k$ et $m=1+9k$
    $\quad$
    Réciproquement, soit $k$ un entier relatif.
    $9(3+26k)-26(1+9k)=27-9\times 26k-26+26\times 9k = 1$.
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme :
    $\begin{cases} d=26k+3\\m=9k+1\end{cases}$, avec $k\in \Z$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un nombre entier. Si $n=26k-1$ alors $26k-n\times 1 = 1$.
    D’après le théorème de Bezout, $n$ et $26$ sont donc premiers entre eux.
    $\quad$
    b. Soit $k$ un entier relatif.
    $\begin{align*}9d-28&= 9(26k+3)-28 \\
    &=26 \times 9k + 27-28 \\
    &=26 \times 9k-1 \\
    &=26k’-1
    \end{align*}$
    Avec $k’=9k$.
    D’après la question précédente,  $9d-28$ et $26$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

Partie B : cryptage et décryptage

  1. ES est associé à la matrice colonne $C=\begin{pmatrix}4\\18\end{pmatrix}$.
    $AC=\begin{pmatrix}108\\82\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$.
    Donc ESPION est codé par EELZWH.
    $\quad$
  2. Méthode de décryptage
    a. Le déterminant de $A$ est $d=9\times 3-4\times 7 = -1\neq 0$. Donc $A$ est inversible.
    On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$
    Alors $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    Ainsi l’inverse de $A$ est la matrice $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On considère deux matrices colonnes $X$ et $Y$.
    Si $AX=Y$ alors $X=A^{-1}Y$.
    XQ est associé à la matrice $C_1=\begin{pmatrix} 23\\16\end{pmatrix}$
    Donc $A^{1}C_1=\begin{pmatrix}-5\\17\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 21\\17\end{pmatrix}$ qui est associée à VR.
    GY est associé à la matrice $C_2=\begin{pmatrix} 6\\24\end{pmatrix}$
    Donc $A^{1}C_2=\begin{pmatrix}78\\-174\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\8\end{pmatrix}$ qui est associée à AI.
    $\quad$
    Le mot XQGY se décrypte en VRAI.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises.
Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : production de fraises

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; $55\%$ des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et $45\%$ dans la serre B.
Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à $0,88$ ; dans la serre B, elle est égale à $0,84$.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Proposition 1:
La probabilité qu’une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à $0,862$.
$\quad$
Proposition 2 :
On constate qu’une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit.
La probabilité qu’elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à $0,439$.
$\quad$

Partie B : conditionnement des fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d’une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=250$ et d’écart-type $\sigma$.
La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:

  1. On donne $P(X \pp 237)=0,14$. Calculer la probabilité de l’événement “la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes”.
    $\quad$
  2. On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.
    a. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?
    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left (Y \pp -\dfrac{13}{\sigma}\right )=0,14$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l’entier.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut $12$. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.
    a. Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l’intervalle $[250-n;250+n]$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu’une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
    $\quad$
    b. On considère dans cette question qu’une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l’intervalle $[230;m]$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu’une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
    $\quad$

Exercice 2    3 points

Soit $a$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$. On note $f_a$ la fonction définie sur $\R$ par: $$f_a(x) = a \e^{ax} + a$$
On note $I(a)$ l’intégrale de la fonction $f_a$ entre $0$ et $1$: $$I(a)=\displaystyle\int_0^1 f_a(x) \dx$$

  1. On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$.
    $\quad$
  2. On pose dans cette question $a=1$.
    On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par: $$f_1(x)=\e^{x} +1$$
    a. Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.
    $\quad$
  3. Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à $2$?
    Si oui, en donner un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$

Exercice 3    7 points

Une société produit des bactéries pour l’industrie.
En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de $20\%$ en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement $1$ kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, $100$ g de bactéries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire $30$ kg de bactéries.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: premier modèle – avec une suite

On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante: $$u_0=1~000 \text{ et, pour tout entier naturel } n, u_{n+1}=1,2 u_n-100$$

  1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
    On précisera en particulier ce que représente $u_n$.
    $\quad$
    b. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera $30$ kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
    $\quad$
    c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.
    Recopier et compléter cet algorithme.
    Variables
    $\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
    Traitement
    $\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $\ldots\ldots\ldots$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~000$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie B: second modèle – avec une fonction

On constate qu’en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais $50$ kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty]$ par : $$ f(t)= \dfrac{50}{1 + 49 \e^{-0,2 t}}$$
où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.

  1. a. Calculer $f(0)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout réel $t\pg 0$, $f(t) < 50$.
    $\quad$
    c. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.
    $\quad$
  3. En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera $30$ kg.
    Résoudre l’inéquation d’inconnue $t$: $f(t) > 30$.
    En déduire la réponse au problème.
    $\quad$

Partie C: un contrôle de qualité

Les bactéries peuvent être de deux types: le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l’industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d’un point de vue commercial.

L’entreprise affirme que $80\%$ des bactéries produites sont de type A.

Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de $200$ bactéries en fin de production.
L’analyse montre que $146$ d’entre elles sont de type A.
L’affirmation de l’entreprise doit-elle être remise en cause ?
$\quad$

Exercice 4    4 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de “coin de cube”, les faces réfléchissantes tournées vers l’intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie.

Les points $O, A, B$ et $C$ sont des sommets d’un cube, de telle sorte que le repère $\left (O;\vect{OA},\vect{OB},\vect{OC}\right )$ soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l’exercice.

Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans $(OAB)$, $(OBC)$ et $(OAC)$. Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.

Règles de réflexion d’un rayon lumineux (admises):

  • lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi par le plan $(OAB)$, un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}(a;b;- c)$;
  • lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi par le plan $(OBC)$, un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}(-a;b;c)$;
  • lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi par le plan $(OAC)$, un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}(a;- b;c)$ ;

  1. Propriété des catadioptres
    En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ est réfléchi successivement par les plans $(OAB)$, $(OBC)$ et $(OAC)$, le rayon final est parallèle au rayon initial.
    $\quad$
    Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{v_1}(-2;-1;-1)$ qui vient frapper le plan $(OAB)$ au point $I_1(2;3;0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v_2}(-2;-1;1)$ et passant par le point $I_1$.
    $\quad$
  2. Réflexion de $d_2$ sur le plan $(OBC)$
    a. Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$.
    $\quad$
    b. Donner, sans justification, un vecteur normal au plan $(OBC)$ et une équation cartésienne de ce plan.
    $\quad$
    c. Soit $I_2$ le point de coordonnées $(0;2;1)$.
    Vérifier que le plan $(OBC)$ et la droite $d_2$ sont sécants en $I_2$.
    $\quad$
    On note $d_3$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan $(OBC)$. $d_3$ est donc la droite de vecteur directeur $\vec{v_3}(2;-1;1)$ passant par le point $I_2(0;2;1)$.
    $\quad$
  3. Réflexion de $d_3$ sur le plan $(OAC)$
    Calculer les coordonnées du point d’intersection $I_3$ de la droite $d_3$ avec le plan $(OAC)$.
    $\quad$
    On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan $(OAC)$. Elle est donc parallèle à la droite $d_1$.
    $\quad$
  4. Étude du trajet de la lumière
    On donne le vecteur $\vec{u}(1;-2;0)$, et on note $\mathscr P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
    a. Démontrer que le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr P$.
    $\quad$
    b. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan?
    $\quad$
    c. Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidat/e/s ayant suivi l’enseignement de spécialité 

L’objet du problème est l’étude d’une méthode de cryptage, dite “chiffrement de Hill”, dans un cas particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme $\begin{pmatrix}a&b\\c&s\end{pmatrix}$, dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre $0$ et $25$, et tels que $ad-bc$ soit premier avec $26$.
Cette matrice est connue seulement de l’émetteur et du destinataire.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : quelques résultats

  1. On considère l’équation $(E) : 9d-26m=1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.
    a. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le couple $(d,m)$ est solution de l’équation $(E)$ si et seulement si : $$9(d-3) = 26 (m-1)$$
    $\quad$
    c. En déduire que les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : $$\begin{cases}d =26k+3\\m=9k+1\end{cases}\text{ avec }k \in \Z$$
    $\quad$
  2. Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26k-1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  3. En déduire que les nombres $9d-28$, avec $d=26k+3$ et $k \in \Z$, sont premiers avec $26$.
    $\quad$

Partie B : cryptage et décryptage

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$.
On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$


Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres) Exemple : avec le mot $\boldsymbol{MATH}$

  1. On regroupe les lettres par paires : $MA\quad TH$
  2. On remplace les lettres par les valeurs associées à l’aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. $MA \to C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$ et $TH \to C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$
  3. On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$ : $AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$ $AC_2 = \begin{pmatrix}199\\ 154\end{pmatrix}$
  4. On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par $26$ : $108 = 4\times 26+4$, $84= 3 \times 26 + 6$. On obtient : $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$
  5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix} \to EG$ et $\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix} \to RY$

  1. En cryptant par cette méthode le mot “$PION$”, on obtient “$LZWH$”. En détaillant les étapes pour les lettres “$ES$”, crypter le mot “$ESPION$”.
    $\quad$
  2. Méthode de décryptage
    Notation :
     lorsqu’on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation “$\equiv$” pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire :$$\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix} \text{ modulo } 26 \text{ car } 108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et } 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26$$
    Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x’$ et $y’$ des nombres entiers relatifs.
    On sait que si $x \equiv x’$ modulo $26$ et $y \equiv y’$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax’ + by’$ modulo $26$.
    Ce résultat permet d’écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: $$B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26$$
    a. Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse.
    $\quad$
    b. Décrypter le mot : $XQGY$.
    $\quad$