Bac S – Asie – Juin 2016

Asie – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : production de fraises

On appelle :

• $A$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre A”;
• $B$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre B”;
• $F$ l’événement “la fleur donne un fruit”;

Bac S - asie - juin 2016 - ex1


Proposition 1 : vraie

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B \cap F) \\
&=0,55\times 0,88 + 0,45 \times 0,84 \\
&=0,862
\end{align*}$

$\quad$

Proposition 2 : fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(A \cap F)}{p(F)} \\
&=\dfrac{0,55 \times 0,88}{0,862} \\
& \approx 0,561
\end{align*}$

$\quad$

Partie B : conditionnement des fraises

  1. $250-237 = 13$ et $250+13=263$. Donc $P(X \geqslant 263)=P(X \leqslant 237)=0,14$.
    $\begin{align*} P(237 \leqslant X \leqslant 263)&=1-\left(P(X \leqslant 237)+P(X \geqslant 263)\right) \\
    &= 1-0,28 \\
    &=0,72
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X \leqslant 237) = 0,14 &\ssi P\left(\dfrac{X-250}{\sigma} \leqslant \dfrac{237-250}{\sigma}\right) = 0,14 \\
    &\ssi \ssi P\left(Y{\sigma} \leqslant -\dfrac{13}{\sigma}\right) = 0,14
    \end{align*}$
    c. Donc, en utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que :
    $-\dfrac{13}{\sigma} \approx -1,08$
    Par conséquent $\sigma \approx \dfrac{-1,08}{-13}$ soit $\sigma \approx 12$.
    $\quad$
  3. a. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $ \begin{align*} P(250-n \leqslant X \leqslant 250+n) \geqslant 0,95 &\ssi P\left(\dfrac{-n}{12} \leqslant \dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,95 \\
    &\ssi 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right)-1\geqslant 0,95 \\
    &\ssi 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 1,95 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,975
    \end{align*}$
    Puisque la variable aléatoire $\dfrac{X-250}{12}$ suit la loi normale centrée réduite on trouve donc, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{n}{12} \geqslant 1,960$ soit $n \geqslant 23,52$ et donc $n \geqslant 24$.
    Remarque : On pouvait remarquer qu’on nous demandait de trouver $u_{\alpha}$ tel que $P\left(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}\right) = 1-0,05$ et d’après le cours $u_{\alpha}\approx 1,96$.
    $\quad$
    b. On veut trouver la plus petite valeur de $m$ telle que :
    $\begin{align*} P(230 \leqslant X \leqslant m) \geqslant 0,95 &\ssi 1-P(X \leqslant 230)-P(X \geqslant m) \geqslant 0,95\\
    &\ssi P(X \leqslant m)-P(X \leqslant 230) \geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m)-\left(0,5-P(230 \leqslant X \leqslant 250)\right)\geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m)-0,047~8\geqslant 0,95 \\
    &\ssi P(X \leqslant m) \geqslant 0,9978 \\
    &\ssi m\geqslant 284,18
    \end{align*}$
    La plus petite valeur de $m$ cherchée est donc environ $285$

Ex 2

Exercice 2

  1. Si $a=0$ alors $f_0(x)=0$
    Par conséquent $I(0)=\displaystyle \int_0^1 f_0(x)\mathrm{d}x=0$.
    $\quad$
  2. a. $a=1$ et $f_1(x)=\e^x+1$
    On obtient ainsi la représentation suivante où $I(1)$ correspond à l’aire de la partie coloriée.
    Bac S - asie - juin 2016 - ex2 (1)
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I(1) &= \displaystyle \int_0^1 \left(\e^x+1\right)\mathrm{d}x \\
    &=\big[\e^x+x\big]_0^1 \\
    &=\e^1+1-1 \\
    &=\e \\
    &\approx 2,7
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Une primitive de $f_a$ sur $[0;1]$ est la fonction $F_a$ définie par $F_a(x)=\e^{ax}+ax$ pour tout $x\in[0;1]$.
    Par conséquent $I(a)=F_a(1)-F_a(0)=\e^a+a-1$.
    On appelle $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\e^x+x-1$
    $g$ est continue sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle et est strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissante (la fonction exponentielle et une fonction affine).
    $g(0)=1-1=0<2$
    $g(1)=\e>2$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe donc une unique solution à l’équation $g(x)=2$.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve $0,792 < \alpha < 0,793$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : premier modèle – avec une suite

  1. a. $1$ kg $=1~000$ g, ce qui nous donne $u_0$.
    Chaque jour la masse des bactéries augmente de $20\%$. Elle est donc multipliée chaque jour par $1,2$ d’où le terme $1,2u_n$.
    $100$ g de bactéries sont perdues chaque jour.
    Donc la  masse, en grammes, des bactéries est représentée par la suite $\left(u_n\right)$  définie par $\begin{cases}u_0=1~000\\u_{n+1}=1,2u_n-100\end{cases}$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le premier rang à partir duquel $u_n > 30~000$.
    La calculatrice nous indique que $u_{22} \approx 28~103$ et $u_{23}\approx 33~623$ (on n’a cependant pas prouvé que la suite était croissante; ce qui serait à faire pour une étude rigoureuse).
    Au bout de $23$ jours la masse de bactérie dépasse $30$ kg.
    $\quad$
    c. Variables :
    $\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $u\leqslant 30$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $1,2u-100$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : si $n=0$, $u=1~000 \geqslant 1~000$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~000$
    $\begin{align*} u_{n+1} &=1,2u_n-100 \\
    &\geqslant 1,2 \times 1~000-100 \\
    &\geqslant 1~100 \\
    &\geqslant 1~000
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1~000$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=1,2u_n-100-u_n \\
    &=0,2u_n-100 \\
    &\geqslant 0,2 \times 1~000-100 \\
    &\geqslant 100 \\
    & \geqslant 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\
    &=1,2u_n-100-500 \\
    &=1,2u_n-600 \\
    &=1,2\left(u_n-\dfrac{600}{1,2}\right) \\
    &=1,2\left(u_n-500\right) \\
    &=1,2v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=u_0-500=500$.
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
    $v_n=500\times 1,2^n$
    et $u_n=v_n-500=500\times 1,2^n-500$
    $\quad$
    c. $1,2>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,2^n=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$

Partie B : second modèle – avec une fonction

  1. a. $f(0)=\dfrac{50}{1+49}=1$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $t\geqslant 0$ on a :
    $\begin{align*} f(t)-50 = \dfrac{50}{1+49\e^{-0,2t}}-50 \\
    &=50\left(\dfrac{1}{1+49\e^{-0,2t}}-1\right) \\
    &=50\times\dfrac{1-1-49\e^{-0,2t}}{1+49\e^{-0,2t}} \\
    &=\dfrac{-50\times 49\e^{-0,2t}}{1+49\e^{-0,2t}}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f(t)-50 < 0$ sur $[0;+\infty[$ soit $f(t) <50$ pour tout $t \geqslant 0$.
    $\quad$
    c. Sur $[0;+\infty[$, la fonction $t \to -0,2t$ est strictement décroissante.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ la fonction $t \to 1+49\e^{-0,2t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Remarque : On pouvait évidemment étudier le signe de la dérivée mais c’était pour changer 😉 .
    $\quad$
    d. $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,2t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} e^T=0$.
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} 1+49\e^{-0,2t}=1$.
    Et $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=50$.
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que :
    • A l’instant $t=0$ jour, il y a $1$ kg de bactéries dans la cuve;
    • La masse de bactéries ne dépassera jamais $50$ kg;
    • La masse de bactéries ne cesse d’augmenter;
    • Au bout d’un grand nombre de jours, il y aura $50$ kg de bactéries dans la cuve.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(t) > 30 &\ssi \dfrac{50}{1+49\e^{-0,2t}} > 30 \\
    &\ssi 50 > 30\left(1+49\e^{-0,2t}\right) \quad \text{car } 1+49\e^{-0,2t}>0 \text{ pour tout } t \geqslant 0 \\
    &\ssi 20 > 1~470\e^{-0,2t} \\
    &\ssi \dfrac{2}{147} > \e^{-0,2t} \\
    &\ssi \ln \dfrac{2}{147} > -0,2t \\
    &\ssi -\dfrac{\ln \dfrac{2}{147}}{0,2} < t \\
    &\ssi \dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2} < t
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation $f(t)>30$ est l’intervalle $\left]\dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2};+\infty\right[$.
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{147}{2}}{0,2} \approx 21,48$.
    C’est donc le cinquième jour que la masse de bactéries dépassera $22$ kg.
    $\quad$

Partie C : un contrôle de qualité

On a $n=200 \geqslant 30$ et $p=0,8$ donc $np=160 \geqslant5$ et $n(1-p)=40 \geqslant 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{200}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{200}} \right] \\
&\approx [0,744;0,856]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{146}{200}=0,73 \notin I_{200}$

Au risque d’erreur de $5\%$ l’affirmation de l’entreprise doit être remise en cause.

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On considère un vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ d’un rayon.
    Un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAB)$ est $\vect{v_1}(a;b-c)$.
    Un vecteur directeur du rayon réfléchi ensuite par le plan $(OBC)$ est $\vect{v_2}(-a;b;-c)$.
    Enfin un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAC)$ est $\vect{v_3}(-a;-b-;-c)$.
    $\vec{v_3}=-\vec{v}$
    Le rayon final est donc parallèle au rayon initial.
    $\quad$
  2. a. Une représentation paramétrique de la droite $d_2$ est :
    $\begin{cases} x=2-2t\\y=3-t \quad t\in \R \\z=t \end{cases}$
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $(OBC)$ est $\vect{OA}(1;0;0)$.
    Une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
    Puisque $O$ appartient à ce plan on a $d=0$ et par conséquent une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est $x=0$.
    $\quad$
    c. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $d_2$ on obtient $\begin{cases} x=0\\y=2\\z=1\end{cases}$. Donc le point $I_2$ appartient bien à $d_2$.
    L’abscisse de $I_2$ vaut $0$. $I_2$ appartient donc également au plan $(OBC)$.
    $\vect{OA}$ et $\vect{v_2}$ ne sont clairement pas colinéaires : la droite et le plan ne sont pas parallèles.
    Par conséquent la droite $d_2$ et le plan $(OBC)$ sont sécants en $I_2$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(OAC)$ est $y=0$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d_3$ est $\begin{cases} x=2t\\y=2-t \quad t \in \R \\z=1+t \end{cases}$
    Le point d’intersection de  ce plan et de cette droite est $I_3$.
    Ses coordonnées vérifient à la fois les équations de la droite et celle du plan.
    Donc $2-t=0$ soit $t=2$.
    Par conséquent $\begin{cases} x=4\\y=0\\z=3 \end{cases}$
    Finalement $I_3(4;0;3)$.
    $\quad$
  4. a. $\vec{u}.\vect{v_1}=1\times (-2)+(-1)\times (-2)+0=0$
    $\vec{u}.\vect{v_2}=1\times (-2)+(-2)\times (-1)+0=0$
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
    C’est par conséquent un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $x-2y+d=0$.
    Le point $I_1(2;3,0)$ appartient à $\mathscr{P}$ car il appartient à $d_1$.
    Donc $2-6+d=0$ soit $d=4$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est par conséquent $x-2y+4=0$.
    $\quad$
    Le point $I_3(4;0;3)$ appartient à $d_3$
    Mais $4-2\times 0+4\neq 0$. Le point $I_3$ n’appartient pas à $\mathscr{P}$.
    Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ne sont pas situées dans un même plan.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vect{v_1}$ est un vecteur directeur de la droite $d_4$. Le point $I_3$ appartient à cette droite.
    Le point $I_3$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$ défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
    Par conséquent les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ ne sont pas situées dans un même plan.

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : quelques résultats

  1. a. $9\times 3-26\times 1 = 27-26=1$.
    Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Soit $(d;m)$ un couple solution de $(E)$.
    On a donc :
    $9d-26m=1$ et $9\times 3-26\times 1=1$
    Par différence on obtient :
    $9(d-3)-26(m-1)=0$ soit $9(d-3)=26(m-1)$.
    $\quad$
    c. $26$ et $9$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
    $d-3=26k$ et $m-1=9k$
    Soit $d=3+26k$ et $m=1+9k$
    $\quad$
    Réciproquement, soit $k$ un entier relatif.
    $9(3+26k)-26(1+9k)=27-9\times 26k-26+26\times 9k = 1$.
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme :
    $\begin{cases} d=26k+3\\m=9k+1\end{cases}$, avec $k\in \Z$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un nombre entier. Si $n=26k-1$ alors $26k-n\times 1 = 1$.
    D’après le théorème de Bezout, $n$ et $26$ sont donc premiers entre eux.
    $\quad$
    b. Soit $k$ un entier relatif.
    $\begin{align*}9d-28&= 9(26k+3)-28 \\
    &=26 \times 9k + 27-28 \\
    &=26 \times 9k-1 \\
    &=26k’-1
    \end{align*}$
    Avec $k’=9k$.
    D’après la question précédente,  $9d-28$ et $26$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

Partie B : cryptage et décryptage

  1. ES est associé à la matrice colonne $C=\begin{pmatrix}4\\18\end{pmatrix}$.
    $AC=\begin{pmatrix}108\\82\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$.
    Donc ESPION est codé par EELZWH.
    $\quad$
  2. Méthode de décryptage
    a. Le déterminant de $A$ est $d=9\times 3-4\times 7 = -1\neq 0$. Donc $A$ est inversible.
    On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$
    Alors $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
    Ainsi l’inverse de $A$ est la matrice $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On considère deux matrices colonnes $X$ et $Y$.
    Si $AX=Y$ alors $X=A^{-1}Y$.
    XQ est associé à la matrice $C_1=\begin{pmatrix} 23\\16\end{pmatrix}$
    Donc $A^{1}C_1=\begin{pmatrix}-5\\17\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 21\\17\end{pmatrix}$ qui est associée à VR.
    GY est associé à la matrice $C_2=\begin{pmatrix} 6\\24\end{pmatrix}$
    Donc $A^{1}C_2=\begin{pmatrix}78\\-174\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\8\end{pmatrix}$ qui est associée à AI.
    $\quad$
    Le mot XQGY se décrypte en VRAI.
    $\quad$

Énoncé

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