Bac S – Métropole – Juin 2016

Métropole – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : obligatoire et spécialité.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On utilisera dans cette partie l’arbre pondéré suivant :

bac S - métropole - juin 2016 - ex1

  1. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap A)+P(S\cap B) \\
    &= 0,4 \times 0,8+0,6\times 0,95 \\
    &=0,89
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer $P_S(A)=\dfrac{P(S\cap A)}{P(S)}=\dfrac{0,4\times 0,8}{0,89}\approx 0,36$
    $\quad$

Partie B

  1. $n=400 \geqslant 30$, $f=0,92$ donc $nf=368 \geqslant 5$ et $n(1-f)=32 \geqslant 5$
    Un intervalle de confiance est alors :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,92-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,92+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,87;0,97]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    Donc son amplitude est :
    $\begin{align*} a&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
    \end{align*}$
    On veut donc que :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,02 &\ssi \dfrac{2}{0,02} \leqslant\sqrt{n}\\
    &\ssi 100 \pp \sqrt{n} \\
    &\ssi n \geqslant 10~000
    \end{align*}$
    On doit donc avoir un échantillon d’au moins $10~000$ individus.
    $\quad$

Partie C

  1. a. $P(T\leqslant a) = \displaystyle \int_0^a f(x) \mathrm{d}x$ correspond donc à l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=a$ quand $a>0$
    $\quad$
    b. Pour tout $t \geqslant 0$,
    $ \begin{align*} P(T\leqslant t) &= \displaystyle \int_0^t f(x) \mathrm{d}x \\
    &=\big[-\e^{\lambda x}\big]_0^t \\
    &=-\e^{-\lambda t}-(-1) \\
    &=1-\e^{-\lambda t}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. $\lim\limits_ {t \to +\infty} -\lambda t = -\infty$ donc, par composition, $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-\lambda t}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} P(T \leqslant t) = 1$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre :
    $\begin{align*} P(T \leqslant 7)=0,5 &\ssi 1-\e^{-7\lambda }=0,5 \\
    &\ssi -\e^{-7\lambda } = -0,5 \\
    &\ssi \e^{-7\lambda}=0,5 \\
    &\ssi -7 \lambda = \ln 0,5 \\
    &\ssi \lambda = \dfrac{\ln 0,5}{-7}
    \end{align*}$
    Donc $\lambda \approx 0,099$
    $\quad$
  3. a. On veut calculer $P(T \geqslant 5)  = 1 -P(X <5) = \e^{-0,099 \times 5} \approx 0,61$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P_{T\geqslant 2}(T \geqslant 7) &=P_{T\geqslant 2}(T \geqslant 5+2) \\
    &=P(T \geqslant 5) \\
    &\approx 0,61
    \end{align*}$
    Car il s’agit d’une variable aléatoire à durée de vie sans vieillissement.
    $\quad$
    c. $E(T) = \dfrac{1}{0,099} \approx 10$.
    Cela signifie que la durée de vie moyenne d’un tel composant électronique est de $10$ ans.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Affirmation 1 : fausse
$\vect{AB}(2;-2;-2)$ et $\vect{AC}(-2;-2;-2)$
Or $\dfrac{2}{-2} \neq \dfrac{-2}{-2}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les points $A,B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
$\quad$

Affirmation 2 : vraie
$\vec{n}.\vect{AB}=0\times 2+1\times (-2)+(-1) \times -2 = 0$
$\vec{n}.\vect{AC}=0\times (-2)+1\times (-2)+(-1) \times -2 = 0$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal à ce plan.
$\quad$

Affirmation 3 : vraie
$\vect{EF}(-1;-1;1)$ donc $\vec{n}.\vect{EF}=0\times (-1)+1\times (-1) + (-1) \times 1=-2 \neq 0$
Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Cela signifie donc que la droite $(EF)$ et le plan $(ABC)$ sont sécants.
Le point $M$, milieu de $[BC]$, appartient naturellement au plan $(ABC)$.
Voyons s’il appartient également à $(EF)$.
On a $M(1;0;1)$
$\vect{EM}(2;2;-2)$ donc $\vect{EM}=-2\vect{EF}$.
Ces deux vecteurs sont colinéaires. Donc les points sont alignés et $M$ appartient bien à $(EF)$.
$\quad$

Affirmation 4 : fausse
Une représentation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases}x=1+2t\\y=2-2t \quad t\in \R\\z=3-2t\end{cases}$
On a $\vect{CD}(3;1;-2)$ donc une représentation paramétrique de $(CD)$ est $\begin{cases} x=-1+3k \\y=k \quad k\in \R \\z=1-2k\end{cases}$
Regardons si ces deux droites sont sécantes. Pour cela on va résoudre le système :
$\begin{align*} \begin{cases} 1+2t=-1+3k\\2-2t=k\\3-2t=1-2k \end{cases} &\ssi \begin{cases} k=2-2t \\1+2t=-1+3(2-2t)\\3-2t=1-2(2-2t) \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} k=2-2t \\1+2t=-1+6-6t\\3-2t=1-4+4t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} k=2-2t \\-4=-8t \\6=6t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} k=2-2t \\t=0,5 \\t=1 \end{cases}
\end{align*}$
Ce qui est impossible.
Ce système ne possède donc pas de solution et les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas sécantes.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=x &\ssi x-\ln\left(x^2+1\right) \\
    &\ssi -\ln\left(x^2+1\right)=0 \\
    &\ssi x^2+1=1 \\
    &\ssi x^2=0 \\
    &\ssi x=0
    \end{align*}$
    La solution de l’équation $f(x)=x$ est donc $0$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{2x}{x^2+1} \\
    &=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}\\
    &=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}
    \end{align*}$
    Ainsi $f'(x) \geqslant 0$ en tant que quotient de nombres positifs.
    Et $f'(x)=0 \ssi x-1=0 \ssi x=0$
    La fonction $f’$ ne s’annule donc qu’en $1$ et, pour tout réel $x$ on a $f'(x) \geqslant 0$.
    La fonction $f$ est par conséquent strictement croissante sur $\R$.
    $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2+1=+\infty$ or $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} -\ln \left(x^2+1\right)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    La limite en $+\infty$ est admise.
    $\quad$
  3.  $f(0)=0-\ln(1)=0$
    $f(1)=1-\ln(2) <1$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ donc, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$ on a :
    $f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1)$ soit $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$.
    $\quad$
  4. a.Cet algorithme fournir le premier entier naturel à partir duquel, pour un $A$ donné, on a $f(x)\geqslant A$.
    $\quad$
    b. On a $f(109) \approx 99,6$ et $f(110) \approx 100,6$.
    Donc l’algorithme affichera $110$

Partie B

  1. Initialisation :  $u_0=1$ donc $u_0\in[0;1]$.
    La propriété est vraie au rang $0$
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n\in [0;1]$
    Donc $u_{n+1}=u_n-\ln\left(u_n^2+1\right) = f \left(u_n\right)$
    or, d’après la question A.3 si $\in [0;1]$ alors $f(x) \in [0;1]$.
    Donc $u_{n+1} \in [0;1]$
    La propriété est par conséquent vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \in [0;1]$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=u_n-\ln\left(u_n^2+1\right) -u_n \\
    &=-\ln\left(u_n^2+1\right)
    \end{align*}$
    Or $u_n^2 \geqslant 0$ donc $u_n^2+1 \geqslant 1$ et, par croissance de la fonction logarithme, $\ln\left(u_n^2+1\right) \geqslant 0$
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n \leqslant 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc.
    $\quad$
  4. $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$.
    D’après la question A.1. on a alors $\ell = 0$
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Attention : modification du sujet de spécialité dans l’algorithme. Il faut lire 5 fois $-\dfrac{P}{Q}$ et non $+\dfrac{P}{Q}$

  1. a. Si $(x,y)$ est un couple d’entier relatifs alors :
    $15x-12y=3\times (5x-4y)$ est un multiple de $3$ et est donc divisible par $3$.
    $\quad$
    b. Soit $(x,y)$ les coordonnées d’un point de la droite $\Delta_1$.
    Alors :
    $\begin{align*} y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{2}{3} &\ssi 12y=15x-8 \\
    &\ssi 15x-12y=8
    \end{align*}$
    Or $8$ n’est pas divisible par $3$.
    Aucun des points de la droite $\Delta_1$ n’a ses deux coordonnées entières.
    $\quad$
    Généralisation
  2. a. Le couple $\left(x_0,y_0\right)$ vérifie $y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$
    Donc $ny_0=mx_0-\dfrac{pn}{q}$
    Soit $ny_0-mx_0=-\dfrac{pn}{q}$
    Puisque $n, y_0, m$ et $x_0$ dont des entiers naturels alors $ny_0-mx_0$ aussi et par conséquent $\dfrac{np}{q}$ l’est également.
    Cela signifie que $q$ divise $np$.
    $\quad$
    b. $p$ et $q$ sont premiers entre eux et $q$ divise $np$ par conséquent, d’après le théorème de Gauss, $q$ divise $n$.
    $\quad$
  3. a. $n$ et $m$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que :
    $an+bm=1$
    Puisque $n=qr$ on obtient $aqr+bm=1$
    Il suffit donc de prendre $u=a$ et $v=-b$ pour obtenir $qru-mv=1$.
    $\quad$
    b. On veut trouver un couple d’entiers relatifs $\left(x_0,y_0\right)$ tels que :
    $\begin{align*} y_0=\dfrac{mx_0}{n}-\dfrac{p}{q} &\ssi ny_0=mx_0-\dfrac{np}{q} \\
    &\ssi ny_0-mx_0=-pr \end{align*}$
    Or il existe un couple d’entiers relatifs $(u,v)$ tel que :
    $\begin{align*} qru-mv=1 &\ssi -pr(qru-mv)=-pr \\
    &\ssi -prnu+prmv=-pr
    \end{align*}$
    Prenons alors $y_0=-pru$ et $x_0=-prv$
    $\quad$
  4. Si $y=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{7}{4}$
    Alors $m=3$, $n=8$, $p=7$ et $q=4$.
    pgcd$(3,8)=1$ et pgcd$(7,4)=1$
    $4$ divise $8$ donc cette droite possède bien un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
    $\quad$
  5. a. Si $Q$ ne divise pas $N$ alors on ne rentre pas dans la boucle Tant que et l’algorithme s’arrête.
    Si $Q$ divise $N$ alors d’après la question 3.b. il existe pour tous les entiers relatifs $m,n,p,q$ tels que
    pgcd$(m,n)=$pgcd$(p,q)=1$ et $q$ divise $n$ un couple d’entiers relatifs $\left(x_0;y_0\right)$ tels que $y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$.
    On va donc trouver un entier relatif $x_0$ tel que $\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$ est entier.
    Cet entier est soit positif, soit négatif.
    La boucle Tant que s’arrête si l’une des deux conditions n’est pas vérifiée ce qui, d’après ce qui vient d’être dit, arrivera au moins une fois.
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet de trouver un point de $\Delta$ dont les coordonnées sont entières.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $ETA$ rectangle en $E$ on a : $\tan \alpha = \tan \widehat{ETA}=\dfrac{EA}{ET} = \dfrac{25}{x}$.
    $\quad$
    Dans le triangle $ETB$ rectangle en $E$ on a : $\tan \beta = \tan \widehat{ETB}=\dfrac{EB}{ET} = \dfrac{30,6}{x}$.
    $\quad$
  2. La fonction $\tan$ est dérivable sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Ainsi $\tan'(x)=\dfrac{\cos x \times \cos x-\sin x \times (-\sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
    Car, pour tout réel $x$ on a $\sin^2 x+\cos^2 x=1$.
    Un carré étant toujours positif, $\tan'(x) > 0$ et la fonction $\tan$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \tan \gamma &=\tan \widehat{ATB} \\
    &=\tan(\beta-\alpha) \\
    &=\dfrac{\tan \beta-\tan \alpha}{1+\tan \beta \times \tan \alpha} \\
    &= \dfrac{\dfrac{30,6}{x}-\dfrac{25}{x}}{1+\dfrac{30,6}{x}\times \dfrac{25}{x}} \\
    &=\dfrac{5,6}{x+\dfrac{765}{x}} \\
    &=\dfrac{5,6x}{x^2+765}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction $\tan$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ donc $\gamma$ est maximal quand $\tan \gamma$ l’est c’est-à-dire quand $x \mapsto 5,6\dfrac{x}{x^2+765}$ est maximale et donc, du fait de la décroissance de la fonction inverse, quand $x \mapsto \dfrac{x^2+765}{x}$ est minimale ce qui revient à $f$ minimale.
    $f$ est dérivable sur $]0;50]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a donc $f'(x)=1-\dfrac{765}{x^2}=\dfrac{x^2-765}{x^2}$.
    Donc sur l’intervalle $]0;50]$, $f'(x) \leqslant 0$ sur $\left]0;\sqrt{765}\right]$ et $f'(x) \geqslant 0$ sur $\left[\sqrt{765};50\right]$.
    La fonction $f$ admet alors un minimum pour $x_0=\sqrt{765} \approx 28$.
    Ce minimum est unique.
    $\quad$
    En prenant $x=28$ m on trouve $\tan \gamma \approx 0,101$ et donc $\gamma \approx 0,10$ radian.

Énoncé obl

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Énoncé spé

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