Bac S – Métropole – Septembre 2016

Métropole – septembre 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. $\quad$
    ts-metropole-sept-2016-ex1
  2. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(D\cap R)+p\left(D\cap \overline{R}\right) \\
    &=0,461\times 0,064+0,539\times 0,099 \\
    &=0,082~865 \\
    &\approx 0,083
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(R)&=\dfrac{p(D \cap R)}{p(D)} \\
    &\approx\dfrac{0,461 \times 0,064}{0,083} \\
    &\approx 0,355
    \end{align*}$
    Remarque : On obtient environ $0,356$ quand on garde la valeur exacte trouvée à la question 2.a.
    $\quad$

Partie 2

  1. On veut calculer $P(70\pp X \pp 110)$.
    On sait que $P(X > 110) = 0,052$.
    Or $\mu=90$ donc $P(X<70)=P(X>110)$.
    Ainsi
    $\begin{align*} P(70\pp X \pp 110) &=1-P(X<70)-P(X>110) \\
    &=1-0,052-0,052 \\
    &=0,896
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On note $Z=\dfrac{X-90}{\sigma}$.
    Cette variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(70\pp X \pp 110) =0,896 &\ssi P(-20 \pp X-90 \pp 20) = 0,896\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{20}{\sigma} \pp \dfrac{X-90}{\sigma} \pp \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,896 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{20}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right) = 0,896 \\
    &\ssi 2P\left(Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right)-1= 0,896 \\
    &\ssi 2P\left(Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right)= 1,896 \\
    &\ssi P\left(Z \pp \dfrac{20}{\sigma}\right)= 0,948
    \end{align*}$
    Par conséquent, en utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{20}{\sigma} \approx 1,626$.
    Donc $\sigma \approx \dfrac{20}{1,626}$ soit $\sigma \approx 12,3$
    $\quad$
  3. A l’aide de la calculatrice, on trouve :
    $P(X<60) = 0,5-P(60<X<90)\approx 0,006$.
    $\quad$

Partie 3

  1. La fréquence observée est $f=\dfrac{716}{10~000}=0,071~6$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{10~000}&=\left[0,071~6-\dfrac{1}{\sqrt{10~000}};0,071~6+\dfrac{1}{\sqrt{10~000}} \right] \\
    &=[0,061~6;0,0816]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $n$ la taille de l’échantillon étudié pour un caractère dont la fréquence d’apparition est $f$.
    L’amplitude de l’intervalle de confiance est alors :
    $\begin{align*} A&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
    \end{align*}$
    On veut donc que :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,01 &\ssi \sqrt{n}\pg\dfrac{2}{0,01} \\
    &\ssi \sqrt{n} \pg 200 \\
    &\ssi n\pg 40~000
    \end{align*}$
    Il faut donc interroger au moins $40~000$ personnes.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Si $z_0=2$ alors $z_1 = 1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
    $z_2=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1$
    $z_3=1-\dfrac{1}{-1}=2$
    $z_4=\dfrac{1}{2}$
    $z_5=-1$
    $z_6=2$
    $\quad$
    b. Si $z_0=\ic$ alors $z_1=1-\dfrac{1}{\ic}=1+\ic$
    $z_2=1-\dfrac{1}{1+\ic} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}$
    $z_3=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}}=\ic$
    $z_4=1+\ic$
    $z_5=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ic}{2}$
    $z_6=\ic$
    $\quad$
    c. On peut conjecturer que, pour tout entier naturel $n$, on a $z_{3n}=z_0$
    Initialisation : Si $n=0$ alors $z_{3n}=z_{3\times 0}=z_0$.
    La propriété est vraie au rang $n$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $z_{3n}=z_0$.
    $z_{3n+1}=1-\dfrac{1}{z_0}=\dfrac{z_0-1}{z_0}$
    $z_{3n+2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{z_0-1}{z_0}} = 1-\dfrac{z_0}{z_0-1}=\dfrac{-1}{z_0-1}$
    $z_{3n+3}=1-\dfrac{1}{\dfrac{-1}{z_0-1}} = 1+z_0-1=z_0$
    Par conséquent $z_{3(n+1)}=z_0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $z_{3n}=z_0$.
    $\quad$
  2. $2016=3\times 672$ donc $z_{2016}=z_0=1+\ic$.
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $z_0$ telle que :
    $\begin{align*} z_0=1-\dfrac{1}{z_0} &\ssi \dfrac{z_0^2-z_0+1}{z_0} = 0\\
    &\ssi z_0^2-z_0+1=0 \text{  et  } z_0\neq = 0
    \end{align*}$
    $\Delta = -3 <0$
    Il y a donc deux solutions complexes : $\dfrac{1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1+\ic\sqrt{3}}{2}$.
    Par conséquent si $z_0 \in \left\{\dfrac{1-\ic\sqrt{3}}{2};\dfrac{1+\ic\sqrt{3}}{2}\right\}$ alors $z_0=z_1$.
    La suite $\left(z_n\right)$ est alors stationnaire.

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&0&0&\text{X}\\
    \hline
    1^{\e}\text{ passage boucle Pour}&1&1&1&0&1\\
    \hline
    2^{\e}\text{ passage boucle Pour}&2&6&1&0&1\\
    \hline
    3^{\e}\text{ passage boucle Pour}&3&4&1&1&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. A chaque étape la variable $s$ détermine le nombre de pièces se trouvant du côté pile.
    Cet algorithme permet donc bien de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile.
    $\quad$
  2. a. $P\left(X_0\right)=1$, $P\left(Y_0\right)=0$ et $P\left(Z_0\right)=0$
    $\quad$
    b. On appelle $D$ la variable indiquant la face du dé obtenue.
    $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right)=P\left(D\in\left\{5;6\right\}\right) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. Si les pièces sont du côté face alors au bout de $n$ lancers alors, au lancer $n+1$, soit les pièces sont du côté face, soit une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Par conséquent $P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face, alors la seule possibilité de conserver un tel état, au lancer $n+1$, est d’obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$.
    De même $P\left(Y_n\cap X_{n+1}\right) =\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Y_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    Si, au lancer $n$, les deux pièces sont du côté pile alors, au lancer $n+1$, on ne peut avoir que deux possibilités : les deux pièces sont toujours du côté pile ou alors l’une est du côté pile et l’autre du côté face.
    Pour garder les pièces du côté pile il faut obtenir $5$ ou $6$ avec le dé.
    Donc $P\left(Z_n\cap Z_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$ et $P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right)=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    ts-metropole-sept-2016-ex3obl-1
    d. Pour tout entier naturel $n$, on a $x_n+y_n+z_n=1$ donc $z_n=1-x_n-y_n$.
    $\quad$
    e.
    D’après la formule des probabilité totale on a :
    $\begin{align*} y_{n+1}&=P\left(Y_{n+1}\right) \\
    &=P\left(X_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Y_n\cap Y_{n+1}\right)+P\left(Z_n\cap Y_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}z_n \\
    &=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}\left(1-x_n-y_n\right) \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    f. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} b_{n+1}&=y_{n+1}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{3}y_n+\dfrac{1}{6} \\
    &=-\dfrac{1}{3}\left(y_n-\dfrac{1}{2}\right)\\
    &=-\dfrac{1}{3}b_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0=0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $b_n=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    Et $y_n=b_n+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    $\quad$
    g. $-1<-\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=0$
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} y_n=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre de lancers, la probabilité d’obtenir une pièce du côté pile et une du côté face est de $50\%$.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1.  a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&0&0&0&\text{X}\\
    \hline
    1^{\e}\text{ passage boucle Pour}&1&1&1&0&0&1\\
    \hline
    2^{\e}\text{ passage boucle Pour}&2&4&1&1&0&2\\
    \hline
    3^{\e}\text{ passage boucle Pour}&3&2&0&1&0&1\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. A chaque étape la variable $s$ détermine le nombre de pièces se trouvant du côté pile.
    L’algorithme permet donc de dite si, après $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile.
    $\quad$
  2. a. Au début du jeu, toutes les pièces sont du côté face.
    Donc $p\left(X_0\right)=1$, $p\left(Y_0\right)=0$, $p\left(Z_0\right)=0$ et $p\left(T_0\right)=0$.
    $\quad$
    b.
    ts-metropole-sept-2016-ex3spe
  3. a. On a $U_0=\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a $M=\begin{pmatrix}0&\dfrac{1}{3}&0&0\\1&0&\dfrac{2}{3}&0\\0&\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=U_0\times M^n$
    Initialisation : Si $n=0$ alors $U_0\times M^0=U_0\times I_4=U_0$ où $I_4$ est la matrice identité.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=U_0\times M^n$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=U_n\times M \\
    &=U_0\times M^n\times M \\
    &=U_0\times M^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=U_0 \times M^n$.
    $\quad$
  5. a. On veut calculer $y_5=\dfrac{-3\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^5+3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^5-(-1)^5\times 3+3}{8}$
    Soit $y_5 \approx 0,753$.
    $\quad$
    b. Première affirmation : fausse
    Si $n$ est pair alors $(-1)^n=1$ et $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{1}{3^n}$
    Donc $t_n=\dfrac{-1+\dfrac{3}{3^n}-\dfrac{3}{3^n}+1}{8}=0$
    $\quad$
    Deuxième affirmation : fausse
    On a vu que si $n$ est pair alors $t_n=0$
    Si $n$ est impair alors $(-1)^n=-1$ et $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=-\dfrac{1}{3^n}$
    Donc $t_n=\dfrac{1-\dfrac{3}{3^n}-\dfrac{3}{3^n}+1}{8}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3^{n-1}}}{4}<4$ si $n\pg 1$
    $\quad$
    Troisième affirmation : vraie
    $t_7\approx 0,249~66 >0,249 $
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie 1

  1. La fonction $v_1$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align*} v_1′(t)&=5\times \dfrac{0,3\e^{0,3t}\left(e^{0,3t}+1\right)-0,3\e^{0,3t}\left(\e^{0,3t}-1\right)}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2} \\
    &=5\times 0,3 \times \dfrac{\e^{0,6t}+\e^{0,3t}-\e^{0,6t}+\e^{0,3t}}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2}\\
    &=1,5 \times \dfrac{2\times \e^{0,3t}}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2} \\
    &=3\times \dfrac{\e^{0,3t}}{\left(\e^{0,3t}+1\right)^2} \\
    &>0
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle étant effectivement strictement positive sur $\R$ et donc sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    Par conséquent la fonction $v_1$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On va donc déterminer $\lim\limits_{t \to +\infty} 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t}+1}$.
    $\dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t}+1} = \dfrac{\e^{0,3t}\left(1-\e^{-0,3t}\right)}{\e^{0,3t}\left(1+\e^{-0,3t}\right)}=\dfrac{1-\e^{-0,3t}}{1+\e^{-0,3t}}$
    Or $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-0,3t}=0$
    Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t}+1} = 5$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} v_1(t)=5$.
    La fonction $v_1$ est strictement croissante et sa limite en $+\infty$ est $5$.
    Par conséquent, pour tout $t \pg 0$, on a $v_1(t)\pp 5$.
    Le colis ne sera donc pas endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement.
    $\quad$

Partie 2

  1. $v_2(10)=32,7\left(1-\e^{-3}\right) \approx 31,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} v_2(t)=30 &\ssi 32,7\left(1-\e^{-0,3t}\right) = 30 \\
    &\ssi 1-\e^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7} \\
    &\ssi -\e^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7}-1\\
    &\ssi \e^{-0,3t}=\dfrac{2,7}{32,7}\\
    &\ssi -0,3t=\ln \dfrac{2,7}{32,7}\\
    &\ssi t=\dfrac{\ln \dfrac{2,7}{32,7}}{-0,3}
    \end{align*}$
    Par conséquent $t\approx 8,3$ s.
    Cela signifie qu’au bout de $8,3$ secondes environ le colis a atteint la vitesse de $30$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} d(T)&=\int_0^T v_2(t)\dt \\
    &=\int_0^T \left(32,7-32,7\e^{-0,3t}\right)\dt \\
    &=\left[32,7t-\dfrac{32,7}{-0,3}\e^{-0,3t}\right]_0^T \\
    &=32,7T+109\e^{-0,3T}-109 \\
    &=109\left(\e^{-0,3T}+0,3T-1\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer $d(20) = 109\left(\e^{-6}+6-1\right) = 109\left(\e^{-6}+5\right)\approx 545$ m.
    Le colis a donc parcouru environ $545$ mètres avant d’atteindre le sol.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $d(T)=700$
    Soit $109\left(\e^{-0,3T}+0,3T-1\right)=700$
    A l’aide de la fonction table de la calculatrice on trouve $\approx 24,7 < T <24,8$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    6 points

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.

Partie 1

On estime qu’en 2013 la population mondiale est composée de $4,6$ milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que $46,1\%$ des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et $53,9\%$ en zone urbaine.
En 2013, d’après la fédération internationale du diabète, $9,9\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et $6,4\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.
On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

  • $R$ l’événement : “la personne choisie habite en zone rurale”,
  • $D$ l’événement: “la personne choisie est atteinte de diabète”.
  1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
    $\quad$
    b. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu’elle habite en zone rurale ?
    $\quad$

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à $60$ mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à $110$ mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme “normale” si elle est comprise entre $70$ mg. dL$^{-1}$ et $110$ mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre $60$ et $70$ mg.rdL$^{-1}$ ne font pas l’objet d’un suivi particulier.
On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d’établir que la probabilité qu’il soit en hyperglycémie est $0,052$ à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$.
On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d’un adulte d’une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

 

  1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun “normale” ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
    $\quad$

Partie 3

Afin d’estimer la proportion, pour l’année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard $10~000$ personnes.
Dans l’échantillon étudié, $716$ personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

  1. À l’aide d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
    $\quad$
  2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $0,01$ ?
    $\quad$

Exercice 2    4 points

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \pg 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de $0$ et de $1$, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$$

  1. a. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    b. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \ic$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
    $\quad$
    c. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l’entier naturel $n$ ?
    Prouver cette conjecture.
    $\quad$
  2. Déterminer $z_{2~016}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \ic$.
    $\quad$
  3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face d’une pièce et $1$ code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1-a$ code le côté de la pièce A après l’avoir retournée.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ &$b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ &Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pg 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad $ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad \quad$ Fin Si
    $\quad$ Fin Si
    $\quad$ $s$ prend la valeur $a + b$
    Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $6$ et $4$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$
    e. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    f. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
    Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
    $\quad$
    g. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
    Interpréter le résultat.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $3$ pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les $3$ pièces sont toutes du côté face.

  1. Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face et $1$ code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1-a$ code l’autre côté de la pièce A.
    Variables :
    $\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$, $s$ sont des entiers naturels
    $\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    $\quad$ &Saisir $n$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
    $\qquad$ Si $d \pp 2$
    $\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
    $\qquad \quad$ sinon Si $d \pp 4$
    $\qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
    $\qquad \qquad$ sinon $c$ prend la valeur $1-c$
    $\qquad \quad$ Fin Si
    $\qquad$ Fin Si
    $\qquad$ $s$ prend la valeur $a + b + c$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $s$
    $\quad$
    a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $4$ et $2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
    \hline
    \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&&\text{X}\\
    \hline
    1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
    $\bullet$ $X_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face”
    $\bullet$ $Y_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face”
    $\bullet$ $Z_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l’autre est du côté face”
    $\bullet$ $T_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile”.
    De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
    a. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$, $2$ ou $3$ pièces du côté pile.
    $\quad$
    b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :

     

  3. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}x_n& y_n& z_n& t_n\end{pmatrix}$.
    a. Donner la matrice $U_0$.
    $\quad$
    b. À l’aide de l’arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
    $\quad$
  5. On admet que, pour tout entier $n \pg 1$,
    $x_n = \dfrac{(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ ;
    $\quad$
    $y_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-(-1)^n \times 3 + 3}{8}$;
    $\quad$
    $z_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}$ ;
    $\quad$
    $t_n = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$.
    $\quad$
    a. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au bout de $5$ lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
    $\quad$
    b. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte
    $\bullet$ Première affirmation :
    “À l’issue d’un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile”.
    $\bullet$ Deuxième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$”.
    $\bullet$ Troisième affirmation:
    “Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$”.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t} + 1}$$

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
    $\quad$
  2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
    On admet que $t$ secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d’atteindre le sol, à $v_1(t)$.
    On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m.s$^{-1}$.
    Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1-\e^{- 0,3t}\right)$$

  1.  Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de $10$ secondes ? Arrondir à $0,1$ m.s$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
    $\quad$
  3. On sait que la chute du colis dure $20$ secondes.
    On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\dt$$
    a. Montrer que, pour tout réel $T$ de l’intervalle $[0;20]$, $d(T) = 109\left(\e^{-0,3 T} + 0,3 T-1\right)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à $1$ m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
    $\quad$
  4. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,1$ s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de $700$ mètres.
    $\quad$