Bac STMG – Antilles Guyane – septembre 2014

Antilles Guyane – Septembre 2014 – Bac STMG

Mathématiques – Correction

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Exercice 1

  1. $\dfrac{445 – 251}{251} $ $\approx 0,773$ Réponse b
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $T$ telle que $\left(1+\dfrac{T}{100}\right)^5=1,773$
    Donc $1+\dfrac{T}{100} = \sqrt[5]{1,773}$ soit $T = 100 \left(\sqrt[5]{1,773} – 1 \right)$ Réponse b$\quad$
  3. $\dfrac{445 \times 100}{251} \approx 177$. Réponse d
    $\quad$
  4. $y=39,5x+204,9$ Réponse a
    $\quad$
  5. $445 \times 1,12^3 \approx 625$. Réponse d$\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. $p(F_3) = 1 – 0,6 – 0,3 = 0,1$.
    $\quad$
  2. a. $\quad$
    STMG-antilles-sept2014-ex2
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align} p(D) &= p(F_1 \cap D) + p(F_2 \cap D) + p(F_3 \cap D) \\\\
    &= 0,6 \times 0,06 + 0,3 \times 0,04 + 0,1 \times 0,02 \\\\
    &= 0,05
    \end{align}$
    $\quad$
    c. Par conséquent $p\left(\overline{D}\right) = 1-0,05 = 0,95$.
    $\quad$
  3. On cherche $p_D(F_1) = \dfrac{p(D \cap F_1)}{p(D)}$ $=\dfrac{0,6 \times 0,06}{0,05}$ $=0,72$
    $\quad$

Partie B

  1. Les $3$ tirages sont indépendants, aléatoires et identiques. A chaque tirage, il y a $2$ issues : $D$ et $\overline{D}$. De plus $p(D) = 0,05$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(3;0,05)$.
    $\quad$
  2. On veut déterminer $P(X=1) = \binom{3}{1}0,05^1\times 0,95^2$ $\approx 0,135$.
    $\quad$
  3. $P(X \ge 1) = 1 – P(X=0)$ $ = 1 – 0,95^3$ $\approx 0,143$.

$\quad$

Partie C

  1. $p(79 \le L \le 81)$ $=p(80 – 2\times 0,5 \le L \le 80 + 2\times 0,5)$ $\approx 0,954$
    $\quad$
  2. Cela signifie donc que, pour la production $f_2$, $p(D)  \approx 0,05$ ce qui est légèrement supérieur aux $0,04$ de la partie A.

$\quad$

Exercice 3

Partie A : lecture graphique

  1. La production de $12$ tonnes d’acier coûte environ $1100 €$.
    $\quad$
  2. $16$ tonnes d’acier sont produites par jour pour un coût total de $1600 €$.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. a. $12$ tonnes d’acier sont vendues $12 \times 100 = 1200€$.
    $\quad$
    b. $R(x)=100x$.
    $\quad$
    c. $B(x) = R(x) – C(x)$ $= 100x – (x^3-24x^2+217x+200$ $=-x^3+24x^2-117x-200$.
    $\quad$
  2. a. $B'(x) = -3x^2+48x-117$.
    $\quad$
    b. Calculons le discriminant $\Delta = 48^2 – 4 \times (-3) \times (-117) = 900$ $>0$.
    Il y a donc $2$ racines $x_1 = \dfrac{-48 – \sqrt{900}}{-6} = 13$ et $x_2 = \dfrac{-48 + \sqrt{900}}{-6} = 3$.
    Le coefficient $a=-3<0$.
    Par conséquent $B'(x)$ est du signe de $a$, c’est-à-dire négatif, sur $[0;3]$ et $[13;18]$ et positif sur $[3;13]$ et s’annule en $3$ et $13$.
    $\quad$
    c. $\quad$
    STMG-antilles-sept2014-ex3
  3. a. On peut écrire $=100*A2$.
    $\quad$
    b. On peut écrire $=B2-C2$.
    $\quad$
  4. a. Pour qu’il y ait profit, il faut que le bénéfice soit positif. Cela est possible pour des production de $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, $15$ tonnes d’acier par jour.
    $\quad$
    b. Le bénéfice est maximal pour une production journalière de $13$ tonnes.
    $\quad$
  5. a. Faux le bénéfice pour $13$ tonnes est supérieur à celui réalisé pour $18$ tonnes par exemple.
    $\quad$
    b. Faux Le bénéfice pour $5$ tonnes est $-310€$ alors que celui pour $10$ tonnes est $30€$.