Bac STMG – Métropole – Septembre 2014

Métropole – Septembre 2014

Correction – Mathématiques – Bac STMG

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Exercice 1

  1. $1,40 \times \left( 1 + \dfrac{3}{100} \right) = 1,40 \times 1,03 = 1,442 €$ . Réponse b
    $\quad$
  2. Le prix entre ces deux années a été multiplié par $1,03 \times 1,1 = 1,133$. Il a donc subi une augmentation de $13,3\%$. Réponse b$\quad$
  3. On cherche donc la valeur de $T$ telle que $\left(1 + \dfrac{T}{100}\right)^2 = 1,1236$.
    Soit $1 + \dfrac{T}{100} = \sqrt{1,1236}$ et finalement $T = 100\left(\sqrt{1,1236}-1\right) = 6$.
    Répons a
    $\quad$
  4. Soit $p$ le prix cherché. On a alors $1,05^4x = 1,4$ soit $x = \dfrac{1,4}{1,05^4} \approx 1,15$. Réponse d

$\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. a. $p(R) = 0,1$. $\quad$ $p_R(M) = 0,3$, $\quad$ $p_{\overline{R}}(M) = 0,15$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    stmg-metropole-sept2014-ex2
  2. a. $R\cap M$ : Le client a acheté un réfrigérateur et un four à micro-ondes.
    $\quad$
    b. $p(R \cap M) = 0,1 \times 0,3 = 0,03$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $p(M) = p(R \cap M) + p\left(\overline{R} \times M \right) $ $= 0,03 + 0,9 \times 0,15$ $ = 0,03 + 0,135$ $ = 0,165$.
    $\quad$
    d. On cherche à calculer $p_M\left(\overline{R}\right)$ $ = \dfrac{p\left(\overline{R} \cap M \right)}{p(M)}$  $=\dfrac{0,9 \times 0,15}{0,165}$ $ \approx 0,818$.

$\quad$

  1. On cherche à calculer $P(240 \le X \le 260) = P(\mu – 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
    $\quad$
  2. On veut donc calculer $P(X \le 240) = 0,5 – P(240 \le X \le 250) \approx 0,02$.

$\quad$

Exercice 3

Partie A : Etude de deux modèles d’évolution

  1. Hypothèse $1$
    a. $u_1$ représente le nombre d’habitants de la ville en $2014$.
    $u_1 = 15~000+1~000 = 16~000$ et $u_2 = 16~000+1~000 = 17~000$.
    $\quad$
    b. La différence entre deux termes est constante. Il s’agit donc d’une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 15~000$ et de raison $r=1~000$.
    $\quad$
    c. On a ainsi $u_n = 15~000+1~000n$.
    $\quad$
    d. On calcule donc $u_5 = 15~000+1~000 \times 5 = 20~000$.
    $\quad$
    e. On cherche la valeur de $n$ pour que $15~000+1~000n = 30~000$ soit $1~000n =15~000$ et donc $n = 15$.
    C’est donc en $2028$ que la population atteindra $30~000$ habitants.
    $\quad$
  2. Hypothèse 2
    a.
    $v_1 = 15~000 \times 1,047 = 15~705$ et $v_2 = 15~705 \times 1,047 \approx 16~443$.
    $\quad$
    b. La raison de la suite est donc $r= 1,047$.
    $\quad$
    c. On a ainsi $v_n = 15~000 \times 1,047^n$.
    $\quad$
    d. En $2028$ on a alors $u_15 = 15~000 \times 1,047^{15} \approx 29~874$.
    Selon ce modèle il y aura $29~874$ habitants en $2028$.
    $\quad$
    e. $15~000 \times 1,5 = 22~500$. L’écart entre cette estimation et celle trouvée à la question précédente est très important. Le modèle précédent n’est donc pas en accord avec la prévision des experts.

$\quad$

Partie B – Analyse des résultats sur tableur

  1. Elle peut saisir $=B3+1000$
    $\quad$
  2. Elle peut saisir $=B4*1,047$

$\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. $f'(x) = -1 + \dfrac{64}{x^2} = \dfrac{-x^2+64}{x^2}$.
    $\quad$
  2. a. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $64-x^2$. Or $64 – x^2 = (8 – x)(8+x)$.
    Sur $[4;16]$, $8+x$ est toujours positif et $8-x$ est positif sur $[4;8]$, négatif sur $[4;16]$ et s’annule en $8$.
    On obtient ainsi le tableau de signe fourni.
    $\quad$
  3. $\quad$
    stmg-metropole-sept2014-ex4

 

Partie B

  1. On a $B'(x) = -2x + 20$. Par conséquent $B'(x) = 0$ quand $x= 10$.
    La fonction $B$ est donc croissante sur $[0;10]$ et décroissante sur $[10;16]$.
    Elle admet un maximum pour $x= 10$ et $B(10) = 36$.
    Le bénéfice total maximal est donc de $3~600 €$ lorsque l’entreprise vend $10$ tonnes d’engrais par jour.
    $\quad$
  2. $\dfrac{B(x)}{x} = -x + 20 – \dfrac{64}{x} = f(x)$.
    Le bénéfice maximal unitaire a donc lieu pour $x=8$ et vaut $400€$.
    Le bénéfice total maximal et le bénéfice unitaire maximal sont donc différents.