Bac STMG – Pondichéry – Avril 2016

Pondichéry – Avril 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. D’après la calculatrice, la droite $D$ a pour équation :
    $y=-3,08x+177,7$.
    $\quad$
  2. a.
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex1
    b. En 2020, on a $x=25$ donc $y=-3,1 \times 25+177,7=100,2>95$
    Selon ce modèle, la France n’atteindra pas cet objectif.
    $\quad$

Partie B

  1. Le taux d’évolution global entre 1995 et 2013 est :
    $$t=\dfrac{117-173}{173}\approx -32,4\%$$
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $t$ telle que :
    $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)^18=1-0,324$ soit $1-\dfrac{t}{100}=0,676^{1/18}$
    Par conséquent $-\dfrac{t}{100}=0,676^{1/18}-1$
    Et donc $t=100-100\times 0,676^{1/18} \approx 2,2$
    Le taux moyen annuel d’évolution des émissions moyennes de CO$_2$ est d’environ $-2,2\%$.
    $\quad$

Partie C

  1. a. $u_1=u_0\times (1-0,021)=117\times 0,979 \approx 114,5$.
    $\quad$
    b. $u_2=u_1\times 0,979 \approx 112,1$
    $\quad$
  2. On passe d’un terme de la suite au suivant en le multipliant par $0,979$.
    Il s’agit donc d’une suite géométrique de raison $0,979$.
    $\quad$
  3. Ainsi $u_n=117 \times 0,979^n$.
    $\quad$
  4. En 2020, $n=7$.
    Donc $u_7=117\times 0,979^7 \approx 100,8 > 95$
    L’objectif européen d’émissions moyennes ne sera donc pas respecté.
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. $\quad$
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex2
  2. a. $S\cap T$ est l’événement “La personne a plus de $50$ ans et trie le papier”.
    $\quad$
    b. $p(S\cap T)=0,35\times 0,6=0,21$.
    $\quad$
  3. On veut calculer $p(J\cap T)=0,25 \times 0,8=0,2$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p&=p(J\cap T)+p(M\cap T)+p(S\cap T) \\
    &=0,2+0,4\times 0,7+0,21\\
    &=0,69
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer $p_T(J)=\dfrac{p(J\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,2}{0,69}\approx 0,29$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant, parmi ces trois personnes, le nombre de personnes triant le papier.
    Les tirages sont indépendants avec remise, identiques et ne possède que deux issues : $T$ et $\overline{T}$. De plus $p(T)=p=0,69$
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,69$.
    On veut calculer $P(X\ge 1)=1-p(X=0)=1-(1-0,69)^3\approx 0,97$.
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{1~500}&=\left[0,69-\dfrac{1}{\sqrt{1~500}};0,69+\dfrac{1}{\sqrt{1~500}}\right] \\
    &\approx [0,66;0,72]
    \end{align*}$
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. $f'(x)=0,11\times 2x-0,66 = 0,22x-0,66$
    $\quad$
  2. $0,22x-0,66=0 \ssi 0,22x=0,66\ssi x=3$
    $0,22x-0,66>0 \ssi 0,22x>0,66\ssi x>3$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex3
  3. Le minimum est donc $0,87$. Il est atteint pour $x=3$.
    $\quad$

Partie B

  1. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    f(x)&1,3&1&0,9&1&1,3&1,9&2,6&3,6&4,8&6,3&7,9\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b.
    Bac STMG - Pondichery - avril 2016 -ex3.1
    c.
    C’est en 2014 que le modèle semble le plus éloigné de la réalité.
    $\quad$
  2. En 2016 $x=13$ et $f(13)\approx 11,9$
    Ce modèle permet d’estimer qu’environ $11,9$ millions de disques vinyles seront vendus aux Etats-Unis en 2016.
    $\quad$