Bac STMG – Pondichéry avril 2017

Pondichéry – Avril 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Une équation de la droite réalisant un ajustement affine du nuage de points à pour équation $y=58,34x+87,62$.
    $\quad$
  2. a. Si $x=4$ alors $y=58,3\times 4+87,6=320,8$.
    Selon cet ajustement, pour $4~000$ euros de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élèverait à $320~800$ clients.
    L’estimation est donc cohérente.
    $\quad$
    b. On cherche à résoudre l’équation :
    $\begin{align*} 58,3x+87,6=400 &\ssi 58,3x=312,4\\
    &\ssi x=\dfrac{312,4}{58,3}
    \end{align*}$
    Ainsi $x \approx 5,4$.
    Il faut donc engager environ $5~400$ euros pour espérer $400~000$ clients au cours d’un mois.
    $\quad$
    c. Si $x=5$ alors $y=58,3\times 5+87,6=379,1$
    Selon le modèle si on engage $5~000$ euros pour la campagne publicitaire alors on peut espérer $379~100$ clients. Cette estimation est très éloignée de la réalité, $330~000$ clients seulement.
    Cela signifie donc que le modèle choisi n’est pas adapté.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $u_1=u_0+0,03\times u_0=1,03\times u_0=558~260$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,03u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=542~000$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=542~000\times 1,03^n$.
    $\quad$
    d. En C3 on a pu saisir $=C2*1,03$
    $\quad$
  2. En 2021, on a $n=5$.
    Donc $u_{5}=542~000\times 1,03^{5} \approx 628~327$
    Il y aura donc environ $628~327$ enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2021.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U&542~000&558~260&575~008&592~258&610~026&628~327\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    U<625~000?&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{FAUX}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet de calculer le nombre d’années qui s’écouleront avant que le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dépasse $625~000$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Lectures graphiques

  1. Pour $5$ pièces produites par jour les charges s’élèvent à $1~500$ euros.
    $\quad$
  2. On peut produire $8$ pièces par jour pour si le montant des charges est de $2~000$ euros.
    $\quad$
  3. L’entreprise réalise un bénéfice si l’entreprise produit entre $8$ et $23$ pièces.
    $\quad$

Partie B : Étude du bénéfice

  1. Pour $x$ pièces vendues le chiffre d’affaires est de $247x$.
    $\begin{align*} B(x)&=247x-C(x)\\
    &=247x-x^3+30x^2-400x-100\\
    &=-x^3+30x^2-153x-100
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $B'(x)=-3x^2+30\times 2x-153=-3x^2+60x-153$.
    $\quad$
  3. Le discriminant est $\Delta = 60^2-4\times (-3)\times (-153)=1~764>0$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-60-\sqrt{1~764}}{-6}=17$ et $x_2=\dfrac{-60+\sqrt{1~764}}{-6}=3$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$.
    Par conséquent $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[3;17]$ et $B'(x)<0$ sur $[0;3]\cup[17;25]$.
    $\quad$
  4. On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  5. Le bénéfice est maximal si l’entreprise produit $17$ pièces. Le bénéfice est alors de $1~056$ euros.
    $\quad$

Partie C : Coût moyen

  1. $C_M(16)=\dfrac{C(16)}{16}= 182,25$
    $C_M(17)=\dfrac{C(17)}{17}\approx 184,77$
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $[3,17]$, le bénéfice augmente mais le coût moyen augmente sur l’intervalle $[15,2;17]$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $\dfrac{2~547-2~473}{2~473}\approx 2,99\%$
    Le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014 est donc d’environ $2,99\%$.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur global est donc de $1,029~9$.
    $1,007~4^4\approx 1,029~9$.
    Par conséquent l’augmentation annuelle moyenne entre 2010 et 2014 est d’environ de $0,74\%$.
    $\quad$
  3. $2~547 \times 1,007~4^3\approx 2~604$
    En 2017 on peut espérer $2,604$ millions de dons de sang.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé $P(H)=0,54$ et $P_H(Q)=0,37$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  3. $P(H\cap Q)=0,54\times 0,37=0,199~8$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(Q)&=P(H\cap Q)+P\left(\conj{H}\cap Q\right) \\
    &=0,199~8+0,46\times 0,48\\
    &=0,420~6
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer
    $\begin{align*} P_{\conj{Q}}(H)&=\dfrac{P\left(\conj{Q}\cap H\right)}{P\left(\conj{Q}\right)} \\
    &=\dfrac{0,55 \times 0,63}{1-0,420~6} \\
    &\approx 0,587~2
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On a $n=1~000 \pg 25$, $p=0,23$ donc $0,2\pp p \pp 0,8$.

Un intervalle de fluctuation est :

$\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,23-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,23+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
&\approx [0,198;0,262]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{254}{1~000}=0,254\in I_{1~000}$

On ne peut donc pas mettre en doute l’affirmation de l’EFS.

Énoncé

Exercice 1    3 points

Le service marketing d’un centre commercial veut évaluer l’impact des frais engagés en publicité, par mois, sur le nombre de clients.
Pour cela, ce service s’appuie sur les données ci-dessous, relevées sur une période de $6$ mois :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Frais publicitaires } x_i \\ \text{(en milliers d’euros)}\end{array}&1,9&2,4&1,5&0,9&2,3 &1,7\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Fréquentation } y_i \text{ (en}\\ \text{milliers de clients)} \end{array}&190&250&170&150&210 &180\\
\hline
\end{array}$

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ est représenté ci-dessous.

  1. Donner à l’aide de la calculatrice une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés.
    On arrondira les coefficients au centième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation $y = 58,3x + 87,6$.
    a. On estime alors que pour $4~000$ euros de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élèverait à $321~000$ clients. Vérifier la cohérence de l’estimation annoncée.
    $\quad$
    b. Quel est le montant des frais publicitaires devant être engagés pour espérer $400~000$ clients au cours d’un mois ?
    On arrondira à la centaine d’euros.
    $\quad$
    c. Le centre commercial décide d’engager $5~000$ euros pour la campagne publicitaire du prochain mois. Lors du bilan, on dénombre $330~000$ clients ayant fréquenté le site au cours de ce mois. Comment peut-on analyser ce résultat ?
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Le diabète de type 1 est une maladie qui apparaît le plus souvent durant l’enfance ou l’adolescence. Les individus atteints par cette maladie produisent très peu ou pas du tout d’insuline, hormone essentielle pour l’absorption du glucose sanguin par l’organisme.

En 2016, $542~000$ enfants dans le monde étaient atteints de diabète de type 1. Des études récentes permettent de supposer que le nombre d’enfants diabétiques va augmenter de $3\%$ par an à partir de 2016. On note $u_n$ le nombre d’enfants diabétiques dans le monde pour l’année $(2016+n)$. Ainsi $u_0 = $542~000$.

  1. Étude de la suite $\left(u_n\right)$ :
    a. Calculer $u_1$.
    $\quad$
    b. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    d. La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, permet de calculer les termes de la suite $\left(u_n\right)$. Les cellules de la colonne $C$ sont au format “nombre à zéro décimale”. Quelle formule, saisie dans la cellule $C3$ puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir les valeurs de la colonne $C$ ?
    $\quad$
  2. Calculer le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2021.
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme suivant :
    Initialisation
    $\quad$ $U$ prend la valeur $542~000$
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $U < 625~000$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $1,03\times U$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    $\quad$
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs de $U$ à l’unité.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U& 542~000&558~260&\phantom{542~000}&\phantom{542~000}&\phantom{542~000}&\phantom{542~000}\\
    \hline
    N&0&1&&&&\\
    \hline
    U < 625~000 ?&\text{VRAI}&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b.  Que permet de calculer cet algorithme dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$

Exercice 3    6 points

Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne varie entre $0$ et $25$ pièces.

Partie A : Lectures graphiques

À l’aide du graphique donné ci-dessous, répondre aux questions suivantes :

  1. Quel est le montant des charges pour 5 pièces produites par jour ?
    $\quad$
  2. Combien de pièces sont produites par jour pour un montant des charges de $2~000$ euros ?
    $\quad$
  3. Quelles quantités produites par jour permettent à l’entreprise de réaliser un bénéfice ?
    $\quad$

Partie B : Étude du bénéfice

Le montant des charges correspondant à la fabrication de $x$ pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;25]$ par : $$C(x) = x^3-30x^2 + 400x + 100$$

On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de $247$ euros.

  1. On note $B$ la fonction bénéfice, exprimée en euros. Justifier que l’expression de $B(x)$ sur l’intervalle $[0;25]$ est : $B(x) = -x^3+30x^2-153x-100$.
    $\quad$
  2. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
    Calculer $B'(x)$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;25]$.
    $\quad$
  3. Justifier le tableau suivant :
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0;25]$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre de pièces que l’entreprise doit produire chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice maximal ?
    $\quad$

Partie C : Coût moyen

On appelle coût moyen la fonction $C_M$ définie sur l’intervalle $]0;25]$ par $C_M =\dfrac{C(x)}{x}$.

  1. Calculer $C_M(16)$ et $C_M(17)$. On arrondira au centime d’euro.
    $\quad$
  2. On donne le tableau de variations de la fonction $C_M$ :

    L’affirmation suivante est-elle vraie ? “Lorsque le bénéfice de l’entreprise augmente, le coût moyen diminue“. Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On s’intéresse au nombre de dons de sang lors de collectes organisées au sein de l’Établissement Français du Sang (EFS) depuis 2010.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} &2010& 2011& 2012& 2013& 2014\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Nombre de dons}\\\text{de sang}\\ \text{(en milliers)}\end{array}&2~473 &2~586& 2~612& 2~589&2~547\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7cm}\small{\textit{Source : site de l’EFS}}$

  1. Déterminer à $0,01\%$ près, le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014.
    $\quad$
  2. En déduire que l’augmentation annuelle moyenne entre 2010 et 2014 est de $0,74\%$ arrondie à $0,01\%$ .
    $\quad$
  3. En supposant que l’augmentation du nombre de dons suivra la même évolution, combien de dons de sang peut-on espérer collecter en 2017?
    On arrondira au millier.
    $\quad$

Partie B

Dans une région, $54\%$ des donneurs sont des hommes.
Parmi eux, $37\%$ ont moins de 40 ans.
Parmi les femmes donnant leur sang, $48\%$ ont moins de 40 ans.
On interroge au hasard un donneur de sang dans cette région et on considère les événements suivants :

  • $H$ : “la personne interrogée est un homme”
  • $Q$ : “la personne interrogée a moins de 40 ans”.

$\conj{H}$ désigne l’événement contraire de $H$ et $P_H(Q)$ la probabilité de $Q$ sachant $H$.

  1. À l’aide de l’énoncé, donner $P(H)$ et $P_H(Q)$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
  3. Calculer $P(H\cap Q)$. Interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
  4. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée ait moins de 40 ans est $0,420~6$.
    $\quad$
  5. La personne interrogée a plus de 40 ans. Déterminer la probabilité que ce soit un homme.
    On arrondira à $10^{-4}$.
    $\quad$

Partie C

L’EFS affirme que dans une région donnée : “$23\%$ de la population donne son sang au moins une fois par an”.
On interroge au hasard un échantillon de $1~000$ personnes habitant cette région. Parmi elles, $254$ ont donné au moins une fois leur sang au cours de la dernière année.
Peut-on mettre en doute l’affirmation de l’EFS ? Justifier la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation.

$\quad$