Bac STMG – Pondichéry avril 2017

Pondichéry – Avril 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Une équation de la droite réalisant un ajustement affine du nuage de points à pour équation $y=58,34x+87,62$.
    $\quad$
  2. a. Si $x=4$ alors $y=58,3\times 4+87,6=320,8$.
    Selon cet ajustement, pour $4~000$ euros de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élèverait à $320~800$ clients.
    L’estimation est donc cohérente.
    $\quad$
    b. On cherche à résoudre l’équation :
    $\begin{align*} 58,3x+87,6=400 &\ssi 58,3x=312,4\\
    &\ssi x=\dfrac{312,4}{58,3}
    \end{align*}$
    Ainsi $x \approx 5,4$.
    Il faut donc engager environ $5~400$ euros pour espérer $400~000$ clients au cours d’un mois.
    $\quad$
    c. Si $x=5$ alors $y=58,3\times 5+87,6=379,1$
    Selon le modèle si on engage $5~000$ euros pour la campagne publicitaire alors on peut espérer $379~100$ clients. Cette estimation est très éloignée de la réalité, $330~000$ clients seulement.
    Cela signifie donc que le modèle choisi n’est pas adapté.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $u_1=u_0+0,03\times u_0=1,03\times u_0=558~260$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,03u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=542~000$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=542~000\times 1,03^n$.
    $\quad$
    d. En C3 on a pu saisir $=C2*1,03$
    $\quad$
  2. En 2021, on a $n=5$.
    Donc $u_{5}=542~000\times 1,03^{5} \approx 628~327$
    Il y aura donc environ $628~327$ enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2021.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U&542~000&558~260&575~008&592~258&610~026&628~327\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    U<625~000?&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{VRAI}&\text{FAUX}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Cet algorithme permet de calculer le nombre d’années qui s’écouleront avant que le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dépasse $625~000$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Lectures graphiques

  1. Pour $5$ pièces produites par jour les charges s’élèvent à $1~500$ euros.
    $\quad$
  2. On peut produire $8$ pièces par jour pour si le montant des charges est de $2~000$ euros.
    $\quad$
  3. L’entreprise réalise un bénéfice si l’entreprise produit entre $8$ et $23$ pièces.
    $\quad$

Partie B : Étude du bénéfice

  1. Pour $x$ pièces vendues le chiffre d’affaires est de $247x$.
    $\begin{align*} B(x)&=247x-C(x)\\
    &=247x-x^3+30x^2-400x-100\\
    &=-x^3+30x^2-153x-100
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $B'(x)=-3x^2+30\times 2x-153=-3x^2+60x-153$.
    $\quad$
  3. Le discriminant est $\Delta = 60^2-4\times (-3)\times (-153)=1~764>0$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-60-\sqrt{1~764}}{-6}=17$ et $x_2=\dfrac{-60+\sqrt{1~764}}{-6}=3$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$.
    Par conséquent $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[3;17]$ et $B'(x)<0$ sur $[0;3]\cup[17;25]$.
    $\quad$
  4. On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  5. Le bénéfice est maximal si l’entreprise produit $17$ pièces. Le bénéfice est alors de $1~056$ euros.
    $\quad$

Partie C : Coût moyen

  1. $C_M(16)=\dfrac{C(16)}{16}= 182,25$
    $C_M(17)=\dfrac{C(17)}{17}\approx 184,77$
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $[3,17]$, le bénéfice augmente mais le coût moyen augmente sur l’intervalle $[15,2;17]$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $\dfrac{2~547-2~473}{2~473}\approx 2,99\%$
    Le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014 est donc d’environ $2,99\%$.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur global est donc de $1,029~9$.
    $1,007~4^4\approx 1,029~9$.
    Par conséquent l’augmentation annuelle moyenne entre 2010 et 2014 est d’environ de $0,74\%$.
    $\quad$
  3. $2~547 \times 1,007~4^3\approx 2~604$
    En 2017 on peut espérer $2,604$ millions de dons de sang.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé $P(H)=0,54$ et $P_H(Q)=0,37$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  3. $P(H\cap Q)=0,54\times 0,37=0,199~8$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(Q)&=P(H\cap Q)+P\left(\conj{H}\cap Q\right) \\
    &=0,199~8+0,46\times 0,48\\
    &=0,420~6
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer
    $\begin{align*} P_{\conj{Q}}(H)&=\dfrac{P\left(\conj{Q}\cap H\right)}{P\left(\conj{Q}\right)} \\
    &=\dfrac{0,55 \times 0,63}{1-0,420~6} \\
    &\approx 0,587~2
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On a $n=1~000 \pg 25$, $p=0,23$ donc $0,2\pp p \pp 0,8$.

Un intervalle de fluctuation est :

$\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,23-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,23+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
&\approx [0,198;0,262]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{254}{1~000}=0,254\in I_{1~000}$

On ne peut donc pas mettre en doute l’affirmation de l’EFS.

Énoncé

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