DNB – Amérique du Sud – décembre 2016 – maths

Amérique du Sud – Décembre 2016

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $7^6\times 7^6=7^{6+6}=7^{12}$
    $\quad$
  2. On appelle $S$ la superficie cherchée.
    On a donc $S\times \left(1+\dfrac{40}{100}\right)=210$
    Soit $1,4S=210$
    Par conséquent $S=\dfrac{210}{1,4}=150$ m$^2$.
    $\quad$
  3. Il existe $4$ diviseurs de $6$ compris entre $1$ et $6$ : $1$, $2$, $3$ et $6$.
    Il y $6$ tirages possibles.
    Par conséquent, la probabilité cherchée est $p=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Si la vitesse à l’atterrissage est de $320$ km.h$^{-1}$ alors la distance de freinage “confort” est d’environ $2~400$ m.
    $\quad$
    b. La vitesse d’atterrissage d’un avion dont la distance de freinage rapide est de $1~500$m est d’environ $360$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. Si l’avion atterrit à $260$ km.h$^{-1}$ alors la distance de freinage “confort” est d’environ $1~600$ m.
    Il va donc dépasser les sorties 1 et 2.
    $\quad$
    b. Si le pilote doit emprunter la sortie 1, il ne faut pas que la distance de freinage “rapide” soit supérieure à $900$ m.
    Il ne faut donc pas que la vitesse d’atterrissage soit supérieure à $280$ km.h$^{-1}$ d’après le graphique.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $108=36\times 3$ et $225=75\times 3$.
    Carole peut donc utiliser des carreaux de $3$ cm de côté.
    $\quad$
    $108=18\times 6$ et $225=37\times 6 + 3$.
    Carole sera obligée de couper des carreaux sur la longueur. Elle ne pourra donc utiliser des carreaux de $6$ cm de côté.
    $\quad$
  2. On appelle $N$ la dimension des carreaux cherchée.
    $N$ doit diviser à la fois $108$ et $225$ et doit également être maximale.
    $N$ est donc le PGCD de $108$ et $225$.
    On utilise l’algorithme d’Euclide pour le déterminer.
    $225=108\times 2+9$
    $108=12\times 9+0$
    Le PGCD est le dernier reste non nul. C’est donc $9$.
    La dimension maximale des carreaux que Carole peut poser est donc $9$ cm.
    $\quad$.
    $108=12\times 9$ et $225=25\times 9$.
    Elle utilisera donc $12\times 25=300$ carreaux.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Dans les triangles $JTM$ et $CMS$ :
– $T$ appartient au segment $[SM]$ et $J$ appartient au segment $[CM]$.
– les droites $(TJ)$ et $(SC)$ sont parallèles car perpendiculaires à la droite $(CM)$

D’après le théorème de Thalès, on a :

$\dfrac{MJ}{MC}=\dfrac{MT}{MS}=\dfrac{JT}{CS}$

Ainsi $\dfrac{50}{1~000}=\dfrac{190}{SC}$

Donc $SC=\dfrac{190\times 1~000}{50}=3~800$.

La statue mesure donc $38$ m de haut.

Ex 5

Exercice 5

  1. Le 09/02/2016, le tarif pratiqué est celui de la Haute saison.
    Un adulte paiera donc $62$ Réals.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le prix de la visite pour un enfant ayant entre 6 ans et 11 ans.
    On obtient donc l’équation : $329=4\times 62+3x$
    Par conséquent $329=248+3x$
    D’où $329-248=3x$
    Soit $3x=81$
    Donc $x=\dfrac{81}{3}=27$
    Un enfant ayant entre 6 et 11 ans paye $27$ Réals.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. $317$ m $=31~700$ cm, $279$ m $=27~900$ cm et $32$ m $=3~200$ cm.
    $\dfrac{31~700}{300}\approx 106$ cm, $\dfrac{27~900}{300}=93$ cm et $\dfrac{3~200}{300}\approx 11$ cm.
    La reproduction sera donc une forme ovale de dimensions $106$ cm et $93$ cm pour une hauteur de $11$ cm.
    $\quad$
  2. a. La superficie de la reproduction sera donc de $\dfrac{69~500}{300^2}\approx 0,77$ cm$^2$.
    $\quad$
    b. $1$ m$^2$ $>0,77$ m$^2$.
    Il pourra donc réaliser sa reproduction.
    $\quad$

 

Ex 7

Exercice 7

  1. Dans le triangle $OUS$ rectangle en $O$ on a : $OS=396-220=176$.
    Donc $\sin \widehat{OUS}=\dfrac{176}{762}$.
    Ainsi $\widehat{OUS}\approx 13°$.
    $\quad$
  2. $6$ min $30$ s $= 390$ s.
    La vitesse moyenne cherchée est donc $v=\dfrac{762}{390}\approx 2$ m/s.
    $\quad$
  3. a. Cette formule permet de calculer le nombre total de visiteur sur une journée.
    $\quad$
    b. On appelle $N$ ne nombre de visiteurs cherché.
    On a $122+140+N+63+75+118=615$
    Donc $518+N=615$
    Ainsi $N=615-518=97$.
    Il y a donc eu $97$ visiteurs entre 12h00 et 14h00.
    $\quad$
  4. Une formule doit commencer par le signe “=”.
    Si on utilise la formule “=MOYENNE(B2:G2)” on calcule le nombre moyen de visiteurs par tranche de 2h.
    On va donc utiliser la formule “=MOYENNE(B2:G2)/2”.
    $\quad$

Énoncé

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