DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2015

Nouvelle-Calédonie – Décembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. Il n’y a pas lien particulier entre l’âge de quelqu’un et son poids.
    Réponse C : on ne peut pas savoir
    $\quad$
  2. On appelle $\ell$ la largeur du rectangle. Donc $24=2(\ell+8)$ soit $12 = \ell +8$ et donc $\ell = 4$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. Il  y a $3$ réponses possibles équiprobables. Une seule des réponses est bonne. La probabilité de choisir la bonne réponse est donc de $\dfrac{1}{3}$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. Le volume de la boule est $V=\dfrac{4}{3}\pi\times 3^3 \approx 113$ cm$^3$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. L’équation $(x+1)(5x-10)=0$ est une équation produit.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    Donc $x+1=0$ ou $5x-10=0$ soit $x=-1$ ou $x=2$.
    Réponse C
    $\quad$

Exercice 2 : Rampe d’accès

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

Donc $\tan \widehat{CAB}=\dfrac{BC}{AB}$ soit $\tan 3 = \dfrac{30}{AB}$

Par conséquent $AB=\dfrac{30}{\tan 3} \approx 572$ cm

$\quad$

Exercice 3 : Langues en voie de disparition

  1. $\dfrac{43}{100} \times 6~000 = 2~580$
    Cela représente donc bien un total de $2~580$ langues.
    $\quad$
  2. $2580-231=2~349$
    Ainsi $2~349$ langues sont en voie de disparition.
    $\quad$
  3. $\dfrac{231}{6~000}=0,0385$.
    Par conséquent $3,85\%$ des langues répertoriées dans le monde sont déjà éteintes.
    $\quad$

Exercice 4 : Problème de carrelage

On se place dans un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$ tel que $BC=15$.
D’après le théorème de Pythagore, on a $BC^2 = AB^2+AC^2$ soit $225 = 2AB^2$.
Par conséquent $AB^2=112,5$ et $AB=\sqrt{112,5} \approx 10,61$ cm.
Cette longueur est inférieur à la longueur du côté du carré.

On peut donc découper deux triangles rectangles isocèles dont l’hypoténuse a une longueur de $15$ cm, en procédant de la sorte :

DNB - Nouvelle Calédonie - décembre 2015 - ex 4

$\quad$

Exercice 5 : Boîte de chocolat

  1. Il y a $24$ chocolats dans la boîte .
    La probabilité de choisir un chocolat au lait est de $\dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}$.
    $\quad$
  2. Il reste donc $21$ chocolats dans la boîte dont $7$ chocolats noirs.
    La probabilité de choisir un chocolat noir est donc de $\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. On va supposer qu’il a pris les deux chocolats successivement.
    La probabilité que le premier chocolat soit blanc est de $\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}$.
    Il reste alors $5$ chocolats blancs parmi $23$.
    La probabilité que le second chocolat soit blanc est donc de $\dfrac{5}{23}$.
    Ainsi la probabilité que les deux chocolats soient blancs est de $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{23} = \dfrac{5}{92}$.
    $\quad$

Exercice 6 : Polygones réguliers

  1. L’angle au centre d’un polygone régulier à $n$ côtés mesure $\dfrac{360}{n}$.
    a. Dans un carré $n=4$ donc $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{4} = 90°$.
    $\quad$
    b. Dans un pentagone $n=5$ alors $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{5}=72°$.
    $\quad$
    c. Dans un héxagone $n=6$ alors $\widehat{AOB} = \dfrac{360}{6} = 60°$.
    $\quad$
  2. On appelle $A$, $B$ et $C$ trois sommets consécutifs du polygone régulier tel que $\widehat{ABC}=140°$.
    La demi-droite $[OB)$ est donc une bissectrice de cet angle.
    Ainsi $\widehat{OBA}=70°$.
    Puisque le triangle $AOB$ est isocèle en $O$, cela signifie donc que $\widehat{AOB} = 180 – 2\times 70 = 40°$.
    On appelle $n$ le nombre de côté du polygone régulier.
    Ainsi $\dfrac{360}{n} = 40$ donc $n=\dfrac{360}{40} = 9$.
    Par conséquent, le périmètre du polygone régulier est de $9 \times 5 = 45$ cm.
    $\quad$

Exercice 7 : Commande de livres

On appelle $M$ le nombre de livres de mathématiques et $F$ le nombre de livres de français.
On doit donc résoudre le système :

$\begin{cases} M+F=30\\\\3~000M+2~000F=80~000\end{cases}$ soit $\begin{cases} M=30-F\\\\3~000(30-F)+2~000F=80~000\end{cases}$
$\quad$

Par conséquent $\begin{cases} M=30-F\\\\90~000-1~000F=80~000\end{cases}$ donc $\begin{cases}M=30-F\\\\1~000F=10~000\end{cases}$
$\quad$

D’où $\begin{cases} F=10\\\\M=30-10 \end{cases}$ soit $\begin{cases} F=10 \\\\M=20\end{cases}$
$\quad$

$20$ livres de mathématiques et $10$ livres de français ont été achetés.

$\quad$

Exercice 8 : Clip musical

  1. Voici les différents prix pour l’achat d’un seul clip.
    Prix avec le premier choix : $4€$.
    Prix avec le deuxième choix : $10+2 = 12€$.
    Prix avec le troisième choix : $50€$.
    Le premier choix est donc le moins cher.
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de clips}&1&2&5&10&15\\\\
    \hline
    \begin{array}{l}
    \text{Prix en euros pour} \\ \text{le téléchargement} \\ \text{direc} \end{array} &4&8&20&40&60 \\\\
    \hline
    \begin{array}{l}
    \text{Prix en euros pour le} \\ \text{téléchargement} \\ \text{membre} \end{array} & 12 &14& 20&30&40\\\\
    \hline
    \begin{array}{l}
    \text{Prix en euros pour le} \\ \text{téléchargement} \\ \text{premium} \end{array} & 50 &50& 50&50&50\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. On appelle $x$ le nombre de clips achetés.
    On veut résoudre l’inéquation $4x>10+2x$ soit $2x>10$ donc $x>5$.
    C’est donc à partir de $6$ clips que le tarif membre est plus avantageux. Pour $5$ titres, les deux premiers choix reviennent au même prix.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ correspond au troisième choix, la fonction $g$ correspond au premier choix et la fonction $h$ correspond au deuxième choix.
    $\quad$
    b. On obtient les courbes :
    DNB - Nouvelle Calédonie - décembre 2015 - ex 8
    La fonction $f$ étant constante; sa représentation graphique est une droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0;50)$.
    La fonction $g$ est linéaire; sa représentation graphique $\mathscr{C}_g$ est donc une droite passant par l’origine du repère et le point de coordonnées $(15;60)$.
    La fonction $h$ est affine; sa représentation graphique $\mathscr{C}_h$ est donc une droite passant par les points de coordonnées $(1;10)$ et $(15;40)$.
    $\quad$
    c. On lit les coordonnées du point d’intersection entre les droites $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_h$.
    Il s’agit du point de coordonnées $(20;50)$.
    Le tarif premium devient intéressant à partir de $20$ clips achetés par mois.
    $\quad$

Exercice 9 : Marionnette

  1. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires à la même droite $(CB)$; elles sont donc parallèles.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $DEC$ :
    • $D$ appartient à $[AC]$;
    • $E$ appartient à $[BC]$;
    • les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès, on a :
    $$\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}$$
    Soit $\dfrac{CE}{8} = \dfrac{0,3}{1,2}$
    Donc $CE = \dfrac{8 \times 0,3}{1,2} = 2$.
    La marionnette doit donc être placée à $2$ m de la source de lumière.
    $\quad$