Exercice 1

1. La vitesse moyenne est de $60$ km/h. $60$ km sont donc parcourus en $60$ min.
   En $10$ minutes, la voiture parcourt alors $10$ km.
   En $1$h$10$min, la voiture va parcourir $70$ km.
   Réponse B
   $\quad$
2. $200 \times \dfrac{40}{100}=80$ et $160 \times \dfrac{50}{100}=80$.
   Il y a autant de femmes dans les deux salles.
   Réponse C
   $\quad$
3. L’aire du carré est de $10\times 10 = 100$ cm$^2$ $=1$ dm$^2$.
   Réponse B
   $\quad$
4. $1^1+2^2+3^3=1+4+27=32$.
   Réponse A
   $\quad$
5. $2x+4=5x-2$ revient à $4+2=5x-2x$ soit $6=3x$.
   Par conséquent $x=\dfrac{6}{3}=2$.
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 2

On appelle $V$ le nombre de points  en cas de victoire et $D$ celui attribué en cas de défaite.

On obtient donc le système suivant :
$\begin{cases} 21V+9D=1~350\\12V+18D=900\end{cases}$
Donc $\begin{cases} D=\dfrac{1~350-21V}{9} \\12V+18\times \dfrac{1~350-21V}{9}=900 \end{cases}$
Soit $\begin{cases} D=\dfrac{1~350-21V}{9}\\12V+2~700-42V=900\end{cases}$
D’où $\begin{cases} D=\dfrac{1~350-21V}{9}\\-30V=-1~800\end{cases}$
Par conséquent $\begin{cases}V= 60 \\D=\dfrac{1~350-21 \times 60}{9} \end{cases}$
Donc $\begin{cases} V=60\\D=10 \end{cases}$.

On gagne donc $60$ points en cas de victoire et $10$ en cas de défaite.
$\quad$

Exercice 3

Dans les triangles $BRS$ et $JRP$ on a :

– $J$ appartient au segment $[BR]$ et $P$ appartient au segment $[SR]$.
– Les droites $(JP)$ et $(BS)$ sont perpendiculaires à la droite $(BR)$ : elles sont donc parallèles entre-elles.

D’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{RJ}{RB}=\dfrac{RP}{RS}=\dfrac{JP}{BS}$

Soit $\dfrac{1,3}{34,7}=\dfrac{2,1}{BS}$

Donc $BS=\dfrac{2,1 \times 34,7}{1,3} \approx 56$ m.

La hauteur du phare est donc d’environ $56$ m.
$\quad$

Exercice 4

Thomas parcourt donc $5 \times 0,7 = 3,5$m en $3$ secondes. Sa vitesse moyenne est alors $v_1=\dfrac{3,5}{3} \approx 1,17$ m/s.

Hugo parcourt donc $7 \times 0,6 = 4,2$ m en $4$ secondes. Sa vitesse moyenne est alors $v_2=\dfrac{4,2}{4}=1,05$ m/s.

$v_1 > v_2$ : Thomas avance donc le plus vite.

$\quad$

Exercice 5

1. a. Avec le programme A on obtient les étapes suivantes :
   $$-8 \to 24\to 12$$
   Le résultat est donc bien $12$.
   $\quad$
   a. Avec le programme B on obtient les étapes suivantes :
   $$-8 \to -16\to -11 \to -33$$
   Le résultat est donc $-33$.
   $\quad$
2. Si on choisit $1$ comme nombre de départ on obtient alors :
   Programme A : $1 \to -3 \to -15$
   Programme B : $1 \to 2 \to 7 \to 21$
   Le résultat du programme B est donc supérieur à celui du programme A.
   Par conséquent Sandro se trompe.
   $\quad$
3. On appelle $x$ le nombre choisi :
   Programme A : $x \to -3x\to -3x-12$
   Programme B : $x \to 2x \to 2x+5 \to 3(2x+5)$
   On veut donc que $-3x-12=3(2x+5)$ soit $-3x-12=6x+15$
   Par conséquent $-12=9x+15$ ou encore $-27=9x$
   Ainsi $x=-\dfrac{27}{9}=-3$
   Le nombre de départ était donc $-3$.

Exercice 6

1. On appelle $N$ le nombre de chandeliers achetés.
   $N$ doit donc diviser $180$ et $108$ et être le plus grand possible.
   Par conséquent $N$ est le PGCD de $180$ et $108$.
   On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD.
   $180=1\times 108+72$
   $108=1\times 72+36$
   $72=2\times 36+0$
   Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc $N=36$.
   Ils doivent acheter $36$ chandeliers.
   $\quad$
2. $108=3\times 36$ et $180 = 5\times 36$.
   Chaque chandelier contiendra $5$ bougies dorées et $3$ bougies argentées.
   $\quad$

Exercice 7

1. Il faut $200$ livraisons pour Guillaume et $350$ pour Angelo pour qu’ils soient payés autant que David.
   S’ils reçoivent très peu de commandes, David sera le mieux payé.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
   \hline
   \begin{array}{l} \text{Nombre de livraisons par} \\ \text{mois} \end{array}&50&200&300&600 \\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Salaire de David en francs}\end{array}&70~000&70~000&70~000&70~000\\
   \hline
   \begin{array}{l} \text{Salaire de Guillaume en} \\ \text{francs} \end{array}&55~000&70~000&80~000&110~000 \\
   \hline
   \begin{array}{l} \text{Salaire d’Angelo en francs} \end{array}&10~000&40~000&60~000&120~000\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. D’après le tableau si Guillaume effectue $200$ livraisons, il aura le même salaire que celui de David.
   $\quad$
3. a. La fonction $f$ correspond au salaire de David, la fonction $g$ à celui d’Angelo et enfin la fonction $h$ à celui de Guillaume.
   $\quad$
   b.
    

   c. D’après le graphique, Angelo recevra le plus gros salaire mensuel à partir de $500$ livraisons effectuées.
   $\quad$

Exercice 8

Calculons la longueur d’une diagonale du carré.
On appelle $ABCD$ ce carré.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
On a donc : $BC^2=AB^2+AC^2=4+4=8$.
Par conséquent $BC=\sqrt{8} \approx 2,83$ m $>2,5$ m.
La nappe ne sera pas assez grande pour recouvrir entièrement la table.
$\quad$

Exercice 9

1. La probabilité que la balise contienne une clé est $\dfrac{3}{5}$.
   $\quad$
2. Il reste donc $4$ balises et $2$ clés.
   La probabilité que la deuxième balise contienne une clé est donc $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
3. Une seule des balises situées en Province des Iles ne contient pas de clé. En découvrant deux balises, l’équipe des Cagous est certaine d’avoir au moins une clé.
   La probabilité que cette équipe ait trouvé au moins une clé est donc $1$.
   $\quad$

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