DNB- Polynésie – juin 2016 – maths

Polynésie – Juin 2016

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. $83~000$ sur les $750~000$ permettent de gagner $4$ €.
    Donc la probabilité cherchée est $p=\dfrac{83~000}{750~000} = \dfrac{83}{750}$
    $\quad$
    b. $532~173$ tickets sur les $750~000$ sont perdants. Donc $217~827$ sont gagnants.
    La probabilité d’obtenir un ticket gagnant est donc $\dfrac{217~827}{750~000}$
    $\quad$
    c. $5~400+8~150+400+15+2=13~967$.
    $\dfrac{13~967}{750~000} \approx 1,86\%$.
    On a donc bien moins de $2\%$ de chance d’obtenir un ticket dont le “montant du gain” est supérieur ou égal à $10$ €.
    $\quad$
  2. Coût pour l’achat de tous les tickets : $750~000\times 2=1~500~000$ €.
    Montant des gains :
    •$2$ € :  $2\times 100~000 = 200~000$ €
    •$4$ € :  $4\times 83~000 = 332~000$ €
    •$6$ € :  $6\times 20~860 = 125~160$ €
    •$12$ € :  $12\times 5~400 = 64~800$ €
    •$20$ € :  $20\times 8~150 = 163~000$ €
    •$400$ € :  $400\times 150 = 60~000$ €
    •$1~000$ € :  $1~000\times 15 = 15~000$ €
    •$15~000$ € :  $15~000\times 2 = 30~000$ €
    Total : $989~960$ €.
    Tom gagnerait moins que ce qu’il pourrait dépenser. Il a donc tort.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On choisit $3$;
    On ajoute $1$ : on obtient $4$;
    On élève au carré : on obtient $16$;
    On enlève le carré du nombre de départ : $16-9=7$
    On obtient bien $7$.
    $\quad$
  2. a. Si le nombre choisi est $8$ on obtient les étapes suivantes :
    $8\to 9 \to 81 \to 17$ $(81-8^2=81-64=17)$.
    Le chiffre des unités est bien $7$ : l’affirmation 1 est vraie.
    $8+9=17$ : l’affirmation 2 est vraie.
    $\quad$
    Si le nombre choisi est $13$ on obtient les étapes suivantes :
    $13\to 14 \to 196 \to 27$ $(196-13^2=196-169=27)$.
    Le chiffre des unités est bien $7$ : l’affirmation 1 est vraie.
    $13+14=27$ : l’affirmation 2 est vraie.
    $\quad$
    b. Si on prend $1$ comme nombre de départ, on obtient alors :
    $1 \to 2 \to 4 \to 3$ : affirmation 1 fausse.
    L’affirmation n°1 n’est donc pas vraie pour tous les nombres.
    $ \quad$
    Si on prend un nombre $n$ on obtient alors :
    $n\to n+1 \to (n+1)^2 \to (n+1)^2-n^2$
    Or
    $\begin{align*} (n+1)^2-n^2&=n^2+2n+1-n^2 \\
    &=2n+1 \\
    &=n+(n+1)
    \end{align*}$
    L’affirmation n°2 est vraie.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans les triangles $AIJ$ et $ABE$ on a :
    – $I$ est le milieu de $[AB]$
    – $J$ est le milieu de $[AE]$
    D’après le théorème des milieux $(IJ)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABE$, $[BE]$ est le plus grand côté.
    D’une part $BE^2=100$
    D’autre part $AB^2+AE^2=36+64=100$
    Donc $BE^2=AB^2+AE^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABE$ rectangle en $A$ :
    $\sin \widehat{AEB}=\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{6}{10}$
    Donc $\widehat{AEB} \approx 37°$
    $\quad$
  4. a. Puisque $I$ et $J$ appartiennent respectivement à $[AB]$ et $[AE]$, le triangle $AIJ$ est rectangle en $A$.
    Par conséquent le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de son hypoténuse $[IJ]$.
    Le centre du cercle $(C)$ est donc le milieu de $[IJ]$.
    $\quad$
    b. D’après le théorème des milieux appliqué à la question 1. on a $IJ=\dfrac{BE}{2}=5$ cm.
    Donc le rayon du cercle est $R=\dfrac{IJ}{2}=2,5$ cm.

Ex 4

Exercice 4

  1. David a parcouru $42$ km.
    $\quad$
  2. Vitesse moyenne de David : $v_1=\dfrac{42}{3}=14$ km/h.
    Vitesse moyenne de Gwenn : $v_2=\dfrac{27}{1,5}=18$ km/h.
    $\quad$
  3. a. On doit saisir $1,75$ en $E3$.
    $\quad$
    b. $36$ min $=\dfrac{36}{60}$ h $=0,6$ h.
    Donc on doit saisir $1,6$ en $F3$.
    $\quad$
    c. On peut saisir $=B2/B3$.
    $\quad$
  4. On appelle $t$ le temps mis par Stefan.
    On a donc $25=\dfrac{35}{t}$ soit $t=\dfrac{35}{25}=1,4$h $=1$h $24$ minutes $(0,4\times 60 = 24)$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On a donc $IF = 3$ cm et $FK=3$ cm.
    DNB - Polynésie - juin 2016 - ex5
  2. La pyramide est constituée de $3$ triangles rectangles ,$IFK$, $IFJ$ et $KFJ$, et d’un triangle équilatéral, $IJK$.
    Le schéma 3 est donc le bon patron de la pyramide $FIJK$.
    $\quad$
  3. Aire de $IFK$ : $\mathscr{C}=\dfrac{IF\times KF}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5$ cm$^2$.
    Volume de la pyramide : $\mathscr{V}=\dfrac{4,5\times 3}{3}=4,5$ cm$^3$.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    &\text{Version ESSENCE}&\text{Version DIESEL} \\
    \hline
    \text{Consommation de carburant (en L)}& 1~383&1~160 \\
    \hline
    \text{Budget de carburant (en €)}&1~957&1~420 \\
    \hline
    \end{array}$$
    Consommation de carburant : $\dfrac{22~300}{100} \times 5,2 = 1~159,6$ L $\approx 1~160$ L.
    Budget associé : $1,224 \times 1~160 \approx 1~420$ €
    $\quad$
  2. La différence de prix d’achat est : $23~950-21~550 = 2~400$ €
    La différence de prix pour le budget carburant est : $1~957-1~420=537$ €
    $\dfrac{2~400}{537} \approx 4,47$.
    Au bout de $5$ ans l’économie réalisée sur le carburant compensera la différence de prix d’achat.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. $1-\dfrac{5}{17}=\dfrac{12}{17}$
    Par conséquent les mers et océans occupent $\dfrac{12}{17}$ de la superficie totale de la Terre.
    $\quad$
    L’océan pacifique occupe donc $\dfrac{\dfrac{12}{17}}{2}=\dfrac{6}{17}$ de la superficie totale de la terre.
    $\quad$
  2. On appelle $S$ la superficie de la terre.
    On a donc $\dfrac{6}{17}S=180~000~000$.
    Donc
    $\begin{align*} S&=\dfrac{180~000~000}{\dfrac{6}{17}} \\
    &= \dfrac{180~000~000 \times 17}{6} \\
    &=510~000~000
    \end{align*}$
    La superficie de la terre est donc de $510~000~000$ km$^2$.
    $\quad$

 

Énoncé

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