DNB – Polynésie – Septembre 2014

Polynésie – Brevet – Septembre 2014

Mathématiques – Correction

Le sujet de ce brevet et disponible ici.

Exercice 1

Calcul n°$1$ 

$\dfrac{5}{6} – \dfrac{3}{4} = \dfrac{10}{12} – \dfrac{9}{12} =\dfrac{1}{12}$

Calcul n°$2$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Calcul n°$3$

$8\times 10^{15} + 2\times 10^{15} = (8 + 2) \times 10^{15} = 10 \times 10^{15} = 1 \times 10^{16}$

 

Exercice 2

  1.  $\dfrac{80}{45} = \dfrac{16 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{16}{9}$.
    Il s’agit donc d’un écran de format $\dfrac{16}{9}$
    $\quad$
  2. Si on considère deux côtés consécutifs de l’écran ainsi que la diagonale associée on obtient un triangle rectangle dans lequel on peut appliquer le théorème de Pythagore. On appelle D la longueur de la diagonale. On obtient ainsi :
    $D^2 = 30,5^2+22,9^2 = 1454,66$ donc $D = \sqrt{1454,66} \approx 38,14$ cm.
    Or $15$ pouces $= 15 \times 2,54 = 38,1$.
    La mention $15$ pouces est donc bien adaptée à cet écran.
    $\quad$
  3. On appelle $l$ la largeur cherchée. On a donc $\dfrac{14,3}{l} = \dfrac{4}{3}$
    Par conséquent $l = \dfrac{14,3 \times 3}{4} = 10,7$ cm arrondi au mm près.
    $\quad$
    On pouvait également de nouveau utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la largeur manquante. On obtient alors $l=10,6$ cm au mm près.

 

Exercice 3

  1. Ces valeurs nous permettent uniquement de déterminer des fréquences d’apparition des couleurs sur ces $40$ tirages.
    Une autre série de $40$ tirages pourrait fournir des résultats différents voire même inclure une autre couleur.
    On ne peut donc rien affirmer quant au contenu de la bouteille.
    $\quad$
  2. La probabilité de faire apparaître une bille rouge est donc :
    $$ p = 1 – \dfrac{3}{8} – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$$
    Par conséquent il y a $\dfrac{1}{8} \times 24 = 3$ billes rouges dans cette bouteille.
    $\quad$

 

Exercice 4

  1. $[AB]$ est un diamètre du cercle $(C)$ et $T$ un point du même cercle. Le triangle $ATB$ est donc rectangle en $T$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ATB$ rectangle en $T$ on a : $\tan \widehat{BAT} = \dfrac{TB}{TA} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$
    Donc $\widehat{BAT} \approx 37°$ au degré près.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $ATB$ et $KFT$ on a :
    – $T$ appartient au segment $[AF]$ et $[BK]$
    – $\dfrac{TB}{TK} = \dfrac{9}{3} = 3$ et $\dfrac{TA}{TF} = \dfrac{12}{4} = 3$.
    Les rapports sont donc égaux. Par conséquent, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(KF)$ sont parallèles.
    $\quad$
  4. L’aire du triangle $TKF$ est $\mathscr{A} = \dfrac{TK \times TF}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$

 

Exercice 5

  1. a. Le “point de départ” de la courbe a pour coordonnées $(0;1)$. La flèche a été tirée à une hauteur de $1$ m.
    $\quad$
    b. La courbe coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(10;0)$.
    La flèche retombe au sol à $10$ m de Julien.
    $\quad$
    c. La hauteur maximale semble être $3$ m.
    $\quad$
  2. a $f(5) = -0,1 \times 5^2 + 0,9 \times 5 + 1 = 3$.
    $\quad$
    b. Graphiquement, le sommet de cette courbe semble être compris entre $4$ et $5$. On va donc calculer $f(4,5)$.
    $f(4,5) = -0,1 \times 4,5^2+0,9\times 4,5 + 1 = 3,025$.
    La flèche s’élève donc à plus de $3$ m de haut.

 

Exercice 6

  1. $\quad$
    polynésie-dnb-sept2014-ex6
  2. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
    D’une part $AC^2 = 9,2^2 = 84,64$
    D’autre part $AB^2+BC^2 = 5^2+7,6^2=82,76$.
    Par conséquent $AC^2 \neq AB^2+BC^2$.
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.
    $\quad$
  3. a. Pour que la distance $BP$ soit la plus petite possible, il faut que $P$ soit le pied de la hauteur issue de $B$ dans le triangle $ABC$.
    $\quad$
    b. Le périmètre de $ABP$ est :
    $\begin{align} \mathscr{P}_1 &= AP+BP+AB \\\\
    & = 5 + BP + 5 \\\\
    &= 10 + BP
    \end{align}$
    $\quad$
    Le périmètre de $BPC$ est :
    $\begin{align} \mathscr{P}_2 &= PC+BP+BC \\\\
    & = (9,2 – 5) + BP + 7,6 \\\\
    &= 11,8 + BP
    \end{align}$
    $\quad$
    Par conséquent le triangle $BPC$ possède le plus grand périmètre.
    $\quad$
    c. Pour que les deux triangles ait le même, il faut que $AP+BP+AB=PC+BP+BC$
    Par conséquent $AP+AB=PC+BC$
    Or $PC = 9,2 – AP$
    On obtient ainsi : $AP + 5 = 9,2 – AP+7,6$
    Donc $2AP = 11,8$ et $AP = 5,9$.
    Si le point $P$ est situé à $5,9$ cm de $A$ alors les deux triangles ont le même périmètre.

 

Exercice 7

  1. a. Etape $1$ : $10 – 0,5 = 9,5$ $\quad$ Etape $2$ : $9,5 \times 2 \times 10 = 190$
    $\quad$
    b. Avec le programme B on obtient :
    Etape $1$ : $10^2 = 100$ $\quad$ Etape $2$ : $100 \times 2 = 200$ $\quad$ Etape $3$ : $200 – 10 = 190$.
    $\quad$
  2. a. En $C2$ on a écrit : $”=2*A2*A2-A2″$
    $\quad$
    b. Il semblerait que les deux programmes fournissent le même résultat.
    $\quad$
    c. On appelle $x$ le nombre choisi.
    Programme A : $(x-0,5) \times 2x = 2x^2 -x$
    Programme B : $2x^2-x $
    On obtient bien effectivement le même résultat avec les deux programmes.
    $\quad$
  3. On veut donc que $2x^2-x = 0$ soit $x(2x-1) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $2x-1 = 0$ soit $x=0,5$.
    Il y a donc deux solutions : $0$ et $0,5$.

 

Exercice 8

Dépenses liées à la maison en $2013$ : $250 \times 4 + 450 + 550 \times 4 + 300 + 150 \times 2 = 4200$
En $2014$ ils paieront $4200 \times \left(1 + \dfrac{6}{100} \right) = 4200 \times 1,06 = 4505$ euros.

$\quad$

Coût du prêt : $700 \times 12 = 8400$ euros.

Le coût total de la maison en $2014$ est donc de $8400 + 4505 =12905$ euros.

Concernant la location :
première période : $4 \times 750 = 3000$ euros
Deuxième période : $7x$ euros
Troisième période : $5 \times 750 = 3750$ euros.
Recette globale $ 6750 + 7x$.

On veut donc que $6750+7x \ge 12905$ soit $7x \ge 12905-6750$  et donc $x \ge \dfrac{6155}{7} \approx 880$.

Pour couvrir les frais engendrés par la maison sur l’année $2014$ il faut que sur la deuxième période, la maison soit louée au moins $880$ euros par semaine.