DNB- Pondichery – avril 2016 – maths

Pondichéry – Avril 2016

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

La distance à parcourir entre la sortie 11 et la sortie est de : $13+6+16+16 = 51$ km

Pour aller de la sortie 3 au point de rendez-vous, il lui faut $3$ minutes. Elle doit donc arriver au point de rendez-vous à $16$h$57$.

Elle est rentrée sur l’autoroute à $16$h$33$. Cela signifie donc que son trajet sur l’autoroute a une durée de $24$ minutes soit $\dfrac{24}{60}=0,4$ heures.

Sa vitesse moyenne sur l’autoroute est donc de $\dfrac{51}{0,4}=127,5$ km/h.

$\quad$

Exercice 2

  1. Les surface d’exploitation comprises entre $100$ et $200$ ha et celles supérieures à $200$ ha ont vu leur nombre augmenter.
    $\quad$
  2. On peut saisir =somme$(B3:B7)$.
    $\quad$
  3. On obtiendra en $C8$ le nombre d’exploitations agricoles en 2010 soit $495$.
    $\quad$
  4. $15\times \left(1+\dfrac{40}{100}\right) = 15\times 1,4=21$.
    Il est donc exact de dire que le nombre d’exploitations de plus de $200$ ha a augmenté de $40\%$.
    $\quad$

Exercice 3

  1. Il doit donc fabriquer $10\times 50 = 500$ bonbons au chocolat et $8\times 50 = 400$ bonbons au caramel.
    $\quad$
  2. La probabilité qu’il obtienne un bonbon au chocolat est de $\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}$.
    $\quad$
  3. Il restera après le premier bonbon, 17 bonbons dans la boîte.
    Il reste au moins $9$ bonbons au chocolat dans cette boîte soit plus de la moitié des bonbons.
    Il est donc plus probable qu’il prenne un bonbon au chocolat la deuxième fois.
    $\quad$
  4. a. $473$ n’est pas divisible par $10$. Il ne peut donc pas constituer des boîtes contenant $10$ bonbons au chocolat en utilisant tous les bonbons.
    $\quad$
    b. On appelle $N$ le nombre de boîtes qu’il pourra faire.
    $N$ doit être le plus grand possible et diviser $473$ et $387$.
    C’est donc le PGCD de ces deux nombres.
    On utilise l’algorithme d’Euclide pour le déterminer :
    $473 = 1 \times 387 + 86$
    $387 = 4 \times 86 + 43$
    $86 = 2 \times 43 + 0$
    Le PGCD est le dernier reste non nul soit, ici, $43$.
    Il peut donc faire $43$ boîtes.
    Il y aura alors dans chacune de ces boîtes $\dfrac{473}{43}=11$ bonbons au chocolat et $\dfrac{387}{43}=9$ bonbons au caramel.
    $\quad$

Exercice 4

  1. Les points $B, C, D$ et $G$ sont alignés car $ABCH$ et $ABGF$ sont des rectangles.
    Donc $BC=BG-DG=12,5-7=5,5$ km.
    $\quad$
    $GE=GF-EF=6-0,75=5,25$ km.
    $\quad$
    Dans le triangle $DEG$ rectangle en $G$ on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} DE^2&=DG^2+GE^2 \\
    &=7^2+5,25^2 \\
    &=79,562~5\\
    DE&=\sqrt{79,562~5} \\
    &= 8,75
    \end{align*}$.
    La distance totale parcourue est donc $6+5,5+8,75+0,75 = 21$ km

    $\quad$

  2. La consommation sera donc de $1,1\times 21 = 23,1$ L.
    Les $20$ L ne seront donc pas suffisants.
    Le pilote ne doit pas faire confiance en l’inspecteur G.
    $\quad$

Exercice 5

  1. $\quad$
    $\begin{align*} h(t)&=(-5t-1,35)(t-3,7) \\
    &=-5t^2-18,5t-1,35t+4,995 \\
    &=-5t^2+19,85t+4,995
    \end{align*}$
    Affirmation fausse
    $\quad$
  2. $h(0)=-1,35\times(-3,7)=4,995$.
    Affirmation fausse
    $\quad$
  3. $h(4)=-6,405<0$.
    Le saut dure donc bien moins de $4$ secondes (la hauteur ne peut pas être négative).
    On pouvait également dire que, sur le graphique, la moto touche le sol entre $3,5$ et $4$ secondes après le saut.
    Affirmation vraie
    $\quad$
  4. $h(3,5)=(-5\times 3,5-1,35)(3,5-3,7)=3,77$.
    Donc $3,5$ est bien un antécédent de $3,77$ .
    Affirmation vraie
  5. Sur le graphique, la hauteur maximale est atteinte approximativement à $1,7$ seconde.
    Affirmation fausse
    $\quad$

Exercice 6

  1. Étiquette 1 : On cherche la valeur de $x$ telle que $120\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=105$.
    Donc $1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{105}{120}$.
    Par conséquent  $ \dfrac{x}{100}=1-\dfrac{105}{120}=0,125$
    Et $x=12,5$
    La remise est donc de $12,5\%$ sur la première étiquette.
    $\quad$
    Étiquette 3 : L’article coûtait $25$€ et la remise est de $12,5$€. Il s’agit donc d’une baisse de $50\%$.
    $\quad$
    La baisse de l’étiquette 2 n’étant que de $30\%$, c’est donc sur la troisième étiquette qu’il y a le plus fort pourcentage de remise.
    $\quad$
  2. Il y a une remise $15$€ sur l’étiquette 1 et de $12,5$€ sur l’étiquette 3.
    La remise de l’étiquette 2 vaut $0,3 \times 45 = 13,5$€.
    Par conséquent la plus forte remise en euros n’est pas la plus forte remise en pourcentage.
    $\quad$

Exercice 7

  1. $(2x-3)^2=(2x)^2-2\times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2-12x+9$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $(x+1)(2x-5)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins s’annule.
    Donc $x+1=0$ ou $2x-5=0$
    Soit $x=-1$ ou $x=2,5$
    Réponse C
    $\quad$
  3. Si $a>0$ alors $\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$
    Réponse B
    $\quad$

Exercice 8

  1. Volume du plus grand prisme : $\dfrac{3,4\times 3,2}{2}\times 0,2=1,088$ m$^3$.
    Volume du plus petit prisme : $\dfrac{1,36\times 1,28}{2}\times 0,2=0,17408$ m$^3$.
    Volume total : $1,088+0,17408=1,26208$ m$^3$.
    $\quad$
  2. On veut donc $1262,08$ L de béton.
    Pour $100$ L de béton il faut $1$ sac de ciment.
    $\dfrac{1262,08}{100}=12,6208$.
    Il faut donc utiliser $13$ sacs de ciment.
    $\quad$
  3. $\dfrac{1262,08}{100}\times 17=214,5536$
    Il faut donc $214,5536$ L d’eau pour cet ouvrage.
    $\quad$