DNB – Pondichéry – Mai 2017 – maths

Pondichéry – Mai 2017

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} E&=(x-2)(2x+3)-3(x-2)\\
    &=2x^2+3x-4x-6-3x+6\\
    &=2x^2-4x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} E&=(x-2)(2x+3)-3(x-2)\\
    &=(x-2)\left[(2x+3)-3\right]\\
    &=(x-2)(2x+3-3)\\
    &=2x(x-2)\\
    &=2F
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On cherche à résoudre $E=0$ c’est-à-dire $2F=0$ et donc $F=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Par conséquent :
    $x=0$ ou $x-2=0$
    doit $x=0$ ou $x=2$.
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $2$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Une seule boule sur les $20$ porte le numéro $13$. La probabilité cherchée est donc $p(13)=\dfrac{1}{20}$.
    $\quad$
  2. Il y a $10$ boules paires sur les $20$.
    La probabilité cherchée est donc $p(\text{pair})=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. Les numéro multiples de $4$ sont : $4,8,12,16,20$.
    La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ est donc $p(\text{multiple de } 4)=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$.
    Les numéros diviseurs de $4$ sont : $1,2,4$.
    La probabilité d’obtenir un diviseur de $4$ est donc $p(\text{diviseur de } 4)=\dfrac{3}{20}$.
    La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ est donc la plus grande des deux.
    $\quad$
  4. Les nombres premiers compris entre $1$ et $20$ sont : $2,3,5,7,11,13,17,19$.
    La probabilité de tirer un boule portant un numéro qui soit un nombre premier est donc $p(\text{premier})=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Voici les nombres obtenus à l’issue de chacune des étapes.
    $5\underset{\text{étape }1}{\longrightarrow}30\underset{\text{étape }2}{\longrightarrow}40\underset{\text{étape }3}{\longrightarrow}20$
    On obtient bien $20$.
    $\quad$
    b. $7\underset{\text{étape }1}{\longrightarrow}42\underset{\text{étape }2}{\longrightarrow}52\underset{\text{étape }3}{\longrightarrow}26$
    On obtient bien $26$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le nombre choisi au départ.
    On a donc :
    $x\underset{\text{étape }1}{\longrightarrow}6x\underset{\text{étape }2}{\longrightarrow}6x+10\underset{\text{étape }3}{\longrightarrow}3x+5$
    On veut donc résoudre l’équation $3x+5=8$
    Soit $3x=3$
    D’où $x=1$
    Julie a choisi au départ le nombre $1$.
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, l’expression obtenue à la fin du programme est $3x+5$.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le nombre choisi par Maxime et Julie.
    A l’issue du programme de calcul de Maxime on trouve $5(x+2)$.
    On veut donc résoudre l’équation $5(x+2)=3x+5$
    Soit $5x+10=3x+5$
    D’où $2x+10=5$
    Par conséquent $2x=-5$
    Donc $x=-2,5$
    Si Maxime et Julie choisissent le nombre $-2,5$ alors les deux programmes fournissent le même résultat.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. La fréquence cardiaque de Denis est $f=\dfrac{18}{15}=\dfrac{18\times 4}{15\times 4}=\dfrac{72}{60}$.
    Il y a donc $72$ battements par minutes.
    $\quad$
  2. On cherche le nombre d’intervalles de $0,8$ secondes présents dans $60$ secondes : $\dfrac{60}{0,8}=75$.
    Il y a $75$ intervalles de $0,8$ secondes soit une fréquence cardiaque de $76$ battements par minute.
    $\quad$
  3. a. L’étendue des fréquences cardiaques enregistrées est $182-65=117$.
    $\quad$
    b. On appelle $d$ la durée de son entraînement.
    On a donc $130=\dfrac{3~640}{d}$
    Soit $d=\dfrac{3~640}{130}=28$ minutes.
    L’entraînement a duré $28$ minutes.
    $\quad$
  4. a. $f(32)=220-32=188$.
    La FCMC de Denis est bien égale à $188$ pulsations/minute.
    $\quad$
    b. $f(15)=220-15=205$.
    La FCMC d’une personne de $15$ ans est donc supérieure à celle de Denis.
    $\quad$
  5. Il a pu saisir :
    $=191,5-0,007\times A2\wedge 2$
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. La production totale d’électricité en France en 2014 est :
    $P=25,8+67,5+31+415,9=540,2$ TWh.
    $\quad$
    b. $\dfrac{31}{540,2}\approx 5,7\%$
    $\quad$
  2. Tom a regardé le pourcentage d’augmentation : $+10,3\%$.
    Alice a regardé la variation de production : $415,9-403,8=12,1$ TWh. Cette variation est supérieure à celle des Autres énergies : $31-28,1=2,9$ TWh.
    $\quad$
  3. a. $2~500$ m$= 250~000$ cm
    Volume du puits :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\pi}{3}\times 250~000\times \left(23^2+23\times 10+10^2\right) \\
    &=\dfrac{\pi}{3}\times 250~000\times 859 \\
    &=\dfrac{214~750~000\pi}{3} \\
    &\approx 224~885~674 \text{ cm}^3 \\
    &\approx 225 \text{ m}^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Le volume de la terre extraite est donc :
    $\begin{align*} V’&=225\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right) \\
    &=225 \times 1,3 \\
    &=292,5 \text{ m}^3
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

Pente de la route descendant du col du Grand Colombier :
A l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle on détermine dans un premier temps le déplacement horizontal $d$.
Donc $d^2+280^2=1~500^2$
Soit $d^2+78~400=2~250~000$
Par conséquent $d^2=2~171~600$
Donc $d=\sqrt{2~171~600}$
La pente est alors égale à :
$p_1=\dfrac{280}{\sqrt{2~171~600}}\approx 19\%$

Pente d’une route descendant de l’Alto de l’Angliru :
On détermine tout d’abord le dénivelé dans le triangle rectangle.
$\tan 12,4=\dfrac{D}{146}$
Soit $D=146\tan 12,4 \approx 32,1$ m.
La pente est alors égale à :
$p_2=\dfrac{32,1}{146}\approx 22\%$.

$\quad$

On obtient donc le classement suivant, dans l’ordre décroissant :

  • Route descendant du château des Adhémar, à Montélimar
  • Tronçon d’une route descendant de l’Alto de l’Angliru (région des Asturies, Espagne)
  • Tronçon d’une route descendant du col du Grand Colombier (Ain)

$\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. $20\times 5 = 100$
    Mais $0,8\times 5=4 \neq 1,6$
    Le tarif d’affranchissement n’est donc pas proportionnel à la masse d’une lettre.
    $\quad$
  2. Une enveloppe pèse : $\dfrac{175}{50}=3,5$ g
    Surface d’une feuille A4 : $21\times 29,7=623,7$ cm$^2$ $= 0,062~37$ m$^2$.
    Masse d’une feuille A4 : $80\times 0,062~37 = 4,989~6$ g
    Masse du courrier d’Alban : $3,5+4,989~6\times 4=23,458~4$ g
    Il devra donc payer $1,60$ € pour affranchir ce courrier.
    $\quad$

 

Énoncé

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