Correction : Exercice 1

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x^2$.

  1. Que peut-on dire de l’ensemble de définition de $f$?
    Calculez les images par $f$ des réels $0$; $\sqrt{2}$; $-4$.
    $\quad$
  2. Vérifiez que $4$ a deux antécédents par $f$.
    $\quad$
  3. Pourquoi $-4$ n’est-il l’image d’aucun réel?
    $\quad$
  4. Quels sont les réels qui ont $\dfrac{5}{4}$ pour image par $f$?

Correction

  1. Pour tout nombre réel $x$, $x^2$ existe. Par conséquent la fonction $f$ est définie sur $\R$.
    $\quad$
    $f(0) = 2 \times 0^2 = 0$ $\quad$ $f\left(\sqrt{2}\right) = 2 \times 2 = 4$ $\quad$ $f(-4) = 2 \times (-4)^2 = 32$.
    $\quad$
  2. On cherche à résoudre $f(x) = 4$ soit $2x^2 = 4$ et donc $x^2 = 2$.
    Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$, $2x^2 \ge 0$. Par conséquent $-4$ n’a pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre $2x^2 = \dfrac{5}{4}$ soit $x^2 = \dfrac{5}{8}$.
    Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{\dfrac{5}{8}}$ et $\sqrt{\dfrac{5}{8}}$.