Correction – Exercice 1

Exercice 1

Les suites suivantes sont-elles monotones?

  1.  $u_n = \dfrac{n-1}{n+1}$
    $\quad$
  2. $v_n = \dfrac{n+3}{2n}$
    $\quad$
  3. $w_n = \sqrt{n}-n$

Correction

  1. $\quad$
    $\begin{align} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{n+1-1}{n+1+1} – \dfrac{n-1}{n+1} \\\\
    &=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}\\\\
    &=\dfrac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\\\
    &=\dfrac{n^2+n-(n^2+2n-n-2)}{(n+1)(n+2)}\\\\
    &=\dfrac{n^2+n-(n^2+n-2)}{(n+1)(n+2)}\\\\
    &=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}
    \end{align}$
    Or pour tout $n \in \N$ $(n+1) > 0$ et $(n+2) > 0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n >0$.
    La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} v_{n+1}-v_n &= \dfrac{n+1+3}{2(n+1)}-\dfrac{n+3}{2n} \\\\
    &=\dfrac{n+4}{2(n+1)}-\dfrac{n+3}{2n}\\\\
    &=\dfrac{n(n+4)-(n+3)(n+1)}{2n(n+1)}\\\\
    &=\dfrac{n^2+4n-(n^2+4n+3)}{2n(n+1)}\\\\
    &=\dfrac{-3}{2n(n+1)}
    \end{align}$
    Or pour tout entier $n > 0$, $(n+1)>0$.
    Par conséquent la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par $f(x) =\sqrt{x}-x$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1$ $=\dfrac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
    Or pour tout $x> \dfrac{1}{4}$, $f'(x)<0$.
    Puisque $w_n = f(n)$, cela signifie donc que pour tout entier naturel $n\ge 1$ la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.
    On constate que $w_0=w_1=0$. La suite $(w_n)$ est donc décroissante sur $\N$ et strictement décroissante sur $\N^*$.